Dessutom var Euler under de sista 12 åren av sitt liv allvarligt sjuk, blev blind och fortsatte, trots en allvarlig sjukdom, att arbeta och skapa.

Statistiska beräkningar visar att Euler i genomsnitt gjorde en upptäckt per vecka.

Det är svårt att hitta ett matematiskt problem som inte har berörts i Eulers verk.

Alla matematiker från efterföljande generationer studerade med Euler på ett eller annat sätt, och det var inte för inte som den berömda franska vetenskapsmannen P.S. Laplace sa: "Läs Euler, han är oss allas lärare."

Lagrange säger: "Om du verkligen älskar matematik, läs Euler; exponeringen av hans verk kännetecknas av fantastisk klarhet och noggrannhet." Faktum är att elegansen av beräkningar förs till högsta grad av honom. Condorcet avslutade sitt tal på akademin till Eulers minne med följande ord: "Så, Euler slutade leva och räkna!" Att leva för att räkna - så tråkigt det verkar utifrån! Det är brukligt att föreställa sig matematik som torr och döv för allt världsligt, för vad vanliga människor är intresserade av.

Med namnet Euler, är problemet med tre hus och tre brunnar.

GRAFTEORI

En av topologins grenar. En graf är ett geometriskt diagram, som är ett system av linjer som förbinder några givna punkter. Punkterna kallas hörn, och linjerna som förbinder dem kallas kanter (eller bågar). Alla problem inom grafteorin kan lösas både i grafisk och matrisform. Vid skrivning i matrisform betecknas möjligheten att sända ett meddelande från en given vertex till en annan med ett, och dess frånvaro betecknas med noll.

Ursprunget till grafteorin på 1700-talet. förknippas med matematiska pussel, men en särskilt stark drivkraft till dess utveckling gavs på 1800-talet. och främst på 1900-talet, när möjligheterna för dess praktiska tillämpningar upptäcktes: för att beräkna radioelektroniska kretsar, lösa den sk. transportuppgifter etc. Sedan 50-talet. Grafteori används alltmer inom socialpsykologi och sociologi.

Inom grafteorin bör nämnas verk av F. Harry, J. Kemeny, K. Flament, J. Snell, J. French, R. Norman, O. Oizer, A. Beivelas, R. Weiss m.fl. I USSR, enligt T. g. arbete Φ. M. Borodkin och andra.

Språket i Graph Theory är väl lämpat för analys av olika slags strukturer och överföring av tillstånd. I enlighet med detta kan vi urskilja följande typer av sociologiska och sociopsykologiska problem lösta med hjälp av Graph Theory.

Formalisering och konstruktion av en generell strukturell modell av ett socialt objekt på olika nivåer dess komplexitet. Till exempel organisationsscheman, sociogram, jämförelse av släktskapssystem i olika samhällen, analys av gruppers rollstruktur m.m. Vi kan anta att rollstrukturen omfattar tre komponenter: personer, befattningar (i en förenklad version - befattningar) och uppgifter som utförs i denna tjänst. Varje komponent kan representeras som en graf:

Det är möjligt att kombinera alla tre graferna för alla positioner, eller bara för en, och som ett resultat får vi en tydlig uppfattning om den specifika strukturen för c.l. denna roll. Så, för rollen som position P5 har vi en graf (Fig.). Att väva in informella relationer i den angivna formella strukturen kommer att komplicera grafen avsevärt, men det kommer att bli mer en exakt kopia verklighet.

2) Analys av den erhållna modellen, urval av strukturella enheter (delsystem) i den och studie av deras samband. På så sätt kan till exempel delsystem i stora organisationer separeras.

3) Studiet av nivåerna i strukturen hos hierarkiska organisationer: antalet nivåer, antalet anslutningar som går från en nivå till en annan och från en person till en annan. Utifrån detta löses följande uppgifter:

a) kvantiteter. bedömning av en individs vikt (status) i en hierarkisk organisation. Ett av de möjliga alternativen för att bestämma status är formeln:

där r (p) är statusen för en viss person p, k är värdet på underordningsnivån, definierat som det minsta antalet steg från en given person till sin underordnade, nk är antalet personer på en given nivå k . Till exempel i den organisation som representeras av följande. räkna:

vikt a=12+27+34=28; 6=1 3+2 3=9 osv.

b) bestämma gruppens ledare. Ledaren kännetecknas vanligtvis av en större koppling till andra medlemmar i gruppen än andra. Liksom i föregående problem kan även här olika metoder användas för att välja ledare.

Det enklaste sättet ges av formeln: r=Σdxy/Σdqx, dvs. kvoten av att dividera summan av alla avstånd från var och en till alla andra med summan av individens avstånd till alla andra.

4) Analys av effektiviteten av detta system, vilket också inkluderar sådana uppgifter som att hitta den optimala strukturen för organisationen, öka gruppsammanhållningen, analysera det sociala systemet ur dess hållbarhetssynpunkt; studie av informationsflöden (meddelandeöverföring för att lösa problem, gruppmedlemmarnas inflytande på varandra i gruppsamlingsprocessen); med hjälp av TG löser de problemet med att hitta ett optimalt kommunikationsnät.

Såsom tillämpat på grafteori, såväl som på alla matematiska apparater, är påståendet sant att de grundläggande principerna för att lösa ett problem bestäms av en innehållsteori (i detta fall sociologi).

En uppgift : Tre grannar delar tre brunnar. Är det möjligt att dra icke-korsande stigar från varje hus till varje brunn. Stigarna kan inte passera genom brunnar och hus (Fig. 1).

Ris. 1. Om problemet med hus och brunnar.

För att lösa detta problem använder vi satsen som bevisades av Euler 1752, som är en av de viktigaste inom grafteorin. Det första arbetet med grafteori tillhör Leonhard Euler (1736), även om termen "graf" introducerades först 1936 av den ungerske matematikern Denes Koenig. Grafer kallades scheman som består av punkter och förbinder dessa punkter med linjesegment eller kurvor.

Sats. Om en polygon är uppdelad i ett ändligt antal polygoner på ett sådant sätt att två polygoner i partitionen antingen inte har gemensamma punkter, eller har gemensamma hörn eller har gemensamma kanter, då är likheten

V - P + G = 1, (*)

där B är det totala antalet hörn, P är det totala antalet kanter, G är antalet polygoner (ytor).

Bevis. Låt oss bevisa att likheten inte förändras om vi ritar en diagonal i någon polygon av den givna partitionen (Fig. 2, a).

a) b)

Efter att ha ritat en sådan diagonal kommer den nya partitionen att ha B-hörn, P + 1 kanter, och antalet polygoner kommer att öka med en. Därför har vi

B - (P + 1) + (G + 1) \u003d B - P + G.

Med denna egenskap ritar vi diagonaler som delar in de inkommande polygonerna i trianglar, och för den resulterande partitionen visar vi att relationen är tillfredsställbar.

För att göra detta kommer vi konsekvent att ta bort de yttre kanterna och minska antalet trianglar. I det här fallet är två fall möjliga:

för att ta bort triangeln ABC måste du ta bort två kanter, i vårt fall AB och BC;

för att ta bort triangel MKN måste en kant tas bort, i vårt fall MN.

I båda fallen kommer jämställdheten inte att förändras. Till exempel, i det första fallet, efter att ha tagit bort triangeln, kommer grafen att bestå av B-1 hörn, P-2 kanter och G-1 polygon:

(B - 1) - (P + 2) + (G -1) \u003d B - P + G.

Att ta bort en triangel förändrar alltså inte likheten.

Om vi fortsätter med denna process att ta bort trianglar kommer vi så småningom fram till en partition som består av en enda triangel. För en sådan partition B = 3, P = 3, Γ = 1 och därför,

Detta betyder att likheten gäller även för den ursprungliga partitionen, varav vi slutligen får att relationen gäller för polygonens givna partition.

Observera att Euler-relationen inte beror på formen på polygonerna. Polygoner kan deformeras, förstoras, förminskas eller till och med böja sina sidor, så länge som sidorna inte går sönder. Euler-relationen förändras inte.

Vi fortsätter nu att lösa problemet med tre hus och tre brunnar.

Lösning. Låt oss anta att det kan göras. Vi markerar husen med punkterna D1, D2, D3 och brunnarna med punkterna K1, K2, K3 (Fig. 1). Vi kopplar ihop varje punkthus med varje punktbrunn. Vi får nio kanter som inte skär varandra i par.

Dessa kanter bildar en polygon i planet, uppdelad i mindre polygoner. Därför, för denna partition, måste Euler-relationen B - P + G = 1 vara uppfylld.

Låt oss lägga till ytterligare en yta till de övervägda ytorna - den yttre delen av planet med avseende på polygonen. Då kommer Euler-relationen att ha formen B - P + G = 2, med B = 6 och P = 9.

Därför är Г = 5. Var och en av de fem ytorna har minst fyra kanter, eftersom, enligt problemets tillstånd, ingen av vägarna ska direkt ansluta två hus eller två brunnar. Eftersom varje kant ligger i exakt två ytor måste antalet kanter vara minst (5 4)/2 = 10, vilket motsäger villkoret att deras antal är 9.

Den resulterande motsägelsen visar att svaret i problemet är negativt. - det är omöjligt att dra icke-korsande stigar från varje hus till varje kolumn

Grafteori i kemi

Tillämpningen av grafteori för konstruktion och analys av olika klasser av kemiska och kemisk-teknologiska grafer, som också kallas topologi, modeller, d.v.s. modeller som endast tar hänsyn till arten av anslutningen av hörn. Bågarna (kanterna) och hörn av dessa grafer speglar kemiska och kemisk-teknologiska begrepp, fenomen, processer eller objekt och följaktligen ett kvalitativt och kvantitativt samband eller ett visst förhållande mellan dem.

Teoretiska uppgifter. Kemiska grafer gör det möjligt att förutsäga kemiska transformationer, förklara essensen och systematisera några grundläggande begrepp inom kemi: struktur, konfiguration, bekräftelser, kvantmekaniska och statistisk-mekaniska interaktioner av molekyler, isomerism, etc. Kemiska grafer inkluderar molekylära, bipartita och signalgrafer av kinetiska reaktionsekvationer. Molekylära grafer som används i stereokemi och strukturell topologi, kemi av kluster, polymerer, etc., är oriktade grafer som visar strukturen hos molekyler. Topparna och kanterna på dessa grafer motsvarar motsvarande atomer och de kemiska bindningarna mellan dem.

I stereokemi org. c-c använder oftast molekylära träd - spänner över träd av molekylära grafer som bara innehåller alla hörn som motsvarar atomer. Genom att sammanställa uppsättningar av molekylära träd och fastställa deras isomorfism kan du bestämma molekylära strukturer och hitta Totala numret isomerer av alkaner, alkener och alkyner. Molekylära grafer gör det möjligt att reducera problem relaterade till kodning, nomenklatur och strukturella egenskaper (förgrening, cyklicitet, etc.) av molekyler av olika föreningar till analys och jämförelse av rent matematiska egenskaper och egenskaper hos molekylära grafer och deras träd, samt som deras motsvarande matriser. För att identifiera antalet korrelationer mellan strukturen av molekyler och de fysikalisk-kemiska (inklusive farmakologiska) egenskaperna hos föreningar, mer än 20 sk. Topologiska index för molekyler (Wiener, Balaban, Hosoyya, Plat, Randich, etc.), som bestäms med hjälp av matriser och numeriska egenskaper hos molekylära träd. Till exempel korrelerar Wiener-indexet W \u003d (m3 + m) / 6, där m är antalet hörn som motsvarar C-atomer, med molekylära volymer och brytningar, bildningsentalpier, viskositet, ytspänning, kromatografiska konstanter för föreningar, oktantal för kolväten, och till och med fysiologi. drogaktivitet. Viktiga parametrar för molekylära grafer som används för att bestämma de tautomera formerna av ett givet ämne och deras reaktivitet, såväl som i klassificeringen av aminosyror, nukleinsyror, kolhydrater och andra komplexa naturliga föreningar, är den genomsnittliga och fulla (H) informationskapaciteten . En analys av de molekylära graferna för polymerer, vars hörn motsvarar monomera enheter, och kanterna till kemiska bindningar mellan dem, gör det möjligt att förklara till exempel: effekterna av utesluten volym, vilket leder till kvaliteter. förändringar i de förutsagda egenskaperna hos polymerer. Med hjälp av Graph Theory och principerna för artificiell intelligens har mjukvara utvecklats för informationssökningssystem inom kemi, samt automatiserade system för identifiering av molekylära strukturer och rationell planering av organisk syntes. För den praktiska implementeringen på en dator av operationer för att välja rationella sätt att kemiska. transformationer baserade på retrosyntetiska och syntoniska principer använder grenade grafer på flera nivåer för att söka efter lösningar, vars hörn motsvarar de molekylära graferna för reaktanter och produkter, och bågarna representerar transformationer.

För att lösa flerdimensionella problem med analys och optimering av kemisk-tekniska system (CTS) används följande kemisk-teknologiska grafer: flödes-, informationsflödes-, signal- och tillförlitlighetsgrafer. För studier i kemi. fysik av störningar i system som består av ett stort antal partiklar, använd den sk. Feynman-diagram är grafer vars hörn motsvarar elementära interaktioner av fysiska partiklar, kanterna på deras vägar efter kollisioner. I synnerhet gör dessa grafer det möjligt att undersöka mekanismerna för oscillerande reaktioner och bestämma stabiliteten hos reaktionssystem. kurvornas hörn motsvarar enheter där värmekostnaderna för fysiska flöden förändras, och dessutom till källorna och sänkorna för systemets termiska energi; bågarna motsvarar fysiska och fiktiva (fys.-kemisk omvandling av energi i apparater) värmeflöden, och bågarnas vikter är lika med flödenas entalpier. Material- och termiska grafer används för att sammanställa program för automatiserad utveckling av algoritmer för att lösa system av ekvationer av material och termiska balanser för komplexa CTS. Informationsflödesgrafer visar den logiska informationsstrukturen för ekvationssystem mat. XTS-modeller; används för att utveckla optimala algoritmer för att beräkna dessa system. En tvådelad informationsgraf är en oriktad eller riktad graf vars hörn motsvarar resp. ekvationerna fl -f6 och variablerna q1 - V, och grenarna speglar deras förhållande. Informationsgraf - en digraf som visar ordningen för att lösa ekvationer; grafens hörn motsvarar dessa ekvationer, källorna och mottagarna för XTS-informationen och informationsgrenarna. variabler. Signalgrafer motsvarar linjära ekvationssystem av matematiska modeller av kemisk-teknologiska processer och system. Tillförlitlighetsgrafer används för att beräkna olika tillförlitlighetsindikatorer X.

Referenser:

1. Berzh K., T. g. och dess tillämpning, översatt från franska, M., 1962;

2. Kemeny J., Snell J., Thompson J., Introduktion till finit matematik, övers. från engelska, 2:a uppl., M., 1963;

3.Ope O., Grafer och deras tillämpning, övers. från English, M., 1965;

4. O. V. Belykh, E. V. Belyaev, Possibilities of use T. g. in sociology, i: Man and Society, vol. 1, [L.], 1966;

5. Kvantitativa metoder i sociologisk forskning, M., 1966; Belyaev E. V., Problems of sociological measurement, "VF", 1967, nr 7; Bavelas. Kommunikationsmönster i uppgiftsorienterade grupper, i boken. Lerner, D., Lasswell H., Policy sciences, Stanford, 1951;

6. Kemeny J. G., Snell J., Mathematical models in the social sciences, N. Y., 1962; Filament C., Tillämpningar av grafteori på gruppstruktur, N. Y., 1963; Oeser Ο. A., Hararu F., Rollstrukturer och beskrivning i termer av grafteori, i Viddle B., Thomas E. J., Rollteori: koncept och forskning, N. Y., 1966. E. Belyaev. Leningrad.

Sida 8, som oorganiska, ... gift med en äventyrare Juridik >> Historiska figurer

Av rektor uppgifter teorier mått och ergodisk teorier(i teorier minskar ... inom fysikområdet, kemi, fysiologi eller medicin, ... Maximalt flöde Låt det vara Graf(med orienterade kanter), ... länge kvar olöst. Ellipsoidmetoden har...

KOMMUNAL SJÄLVSTÄNDIG ALLMÄN UTBILDNINGSINSTITUTION GYMNASIESKOLA № 2

Beredd

Legkokonets Vladislav, 10A-student

Praktisk användning Grafteorier

Handledare

L.I. Noskova, matematiklärare

st.Bryukhovetskaya

2011

1.Inledning……………………………………………………………………………………………….………….3

2. Historien om framväxten av grafteorin……………………………………………….………..4

3.Grundläggande definitioner och satser för grafteorin……………………………….………6

4. Uppgifter lösta med hjälp av grafer…………………………………..…………………………..8

4.1 Berömda uppgifter……………………………………….………………………...8

4.2 Några intressanta uppgifter………………………………….…………………..9

5. Tillämpning av grafer inom olika områden av människors liv…………………………………...11

6. Problemlösning………………………………………………………………………………………...12

7. Slutsats……………………….………………………………………………………………………….13

8. Lista över referenser………….……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….

9.Bilaga……………………………………………………………………………………….………15

Introduktion

Född i att lösa pussel och underhållande spel, har grafteori nu blivit enkel, tillgänglig och kraftfullt verktyg att lösa problem relaterade till ett brett spektrum av problem. Grafer är bokstavligen överallt. I form av grafer kan man till exempel tolka vägdiagram och elektriska kretsar, geografiska kartor och molekyler av kemiska föreningar, samband mellan människor och grupper av människor. Under de senaste fyra decennierna har grafteori blivit en av matematikens snabbast utvecklande grenar. Detta drivs av kraven från ett snabbt växande applikationsområde. Det används vid design av integrerade kretsar och styrkretsar, i studiet av automater, logiska kretsar, blockdiagram program, i ekonomi och statistik, kemi och biologi, i schemaläggningsteori. Det är därför relevansÄmnet beror å ena sidan på populariteten för grafer och relaterade forskningsmetoder, och å andra sidan på ett outvecklat, integrerat system för dess implementering.

Lösningen av många livsproblem kräver långa beräkningar, och ibland ger dessa beräkningar inte framgång. Detta är vad den består forskningsproblem. Frågan uppstår: är det möjligt att hitta en enkel, rationell, kort och elegant lösning för sin lösning. Är det lättare att lösa problem om du använder grafer? Det bestämde sig ämnet för min forskning: "Praktisk tillämpning av grafteori"

syfte forskning var med hjälp av grafer för att lära sig hur man snabbt löser praktiska problem.

Forskningshypotes. Grafmetoden är mycket viktig och flitigt använd inom olika vetenskapsområden och människoliv.

Forskningsmål:

1. Att studera litteraturen och Internetresurserna i denna fråga.

2. Kontrollera grafmetodens effektivitet för att lösa praktiska problem.

3. Gör en slutsats.

Studiens praktiska betydelseär att resultaten utan tvekan kommer att väcka många människors intresse. Har inte någon av er försökt bygga ett släktträd för er familj? Och hur gör man det korrekt? Chefen för ett transportföretag måste sannolikt lösa problemet med ett mer lönsamt transportanvändning vid transport av varor från en destination till flera bosättningar. Varje elev stod inför logiska transfusionsuppgifter. Det visar sig att de lätt löses med hjälp av grafer.

Följande metoder används i arbetet: observation, sökning, urval, analys.

Historien om uppkomsten av grafteorin

Matematikern Leonhard Euler (1707-1783) anses vara grafteorins grundare. Historien om uppkomsten av denna teori kan spåras genom korrespondensen från den store vetenskapsmannen. Här finns en översättning av den latinska texten, som är hämtad från Eulers brev till den italienske matematikern och ingenjören Marinoni, skickat från Sankt Petersburg den 13 mars 1736.

"En gång fick jag ett problem om en ö som ligger i staden Koenigsberg och omgiven av en flod, över vilken sju broar kastas.

[Bilaga Fig.1] Frågan är om vem som helst kan gå runt dem kontinuerligt och bara passera en gång genom varje bro. Och så fick jag beskedet att ingen ännu hade kunnat göra detta, men ingen hade bevisat att det var omöjligt. Denna fråga, även om den var banal, föreföll mig dock värd att uppmärksammas eftersom varken geometri eller algebra eller kombinatorisk konst är tillräcklig för att lösa det. Efter mycket övervägande fann jag en lätt regel, baserad på ett ganska övertygande bevis, genom vilken man i alla problem av detta slag omedelbart kan avgöra om en sådan runda kan göras genom valfritt antal och godtyckligt placerade broar eller inte. Konigsbergsbroarna är placerade så att de kan representeras i följande figur [Bilaga Fig.2], där A betecknar en ö, och B, C och D är delar av kontinenten separerade från varandra av flodgrenar

Angående metoden han upptäckte för att lösa problem av detta slag, skrev Euler:

"Denna lösning, till sin natur, verkar ha lite med matematik att göra, och det är inte klart för mig varför denna lösning bör förväntas av en matematiker snarare än från någon annan person, för denna lösning stöds enbart av förnuftet, och det finns inget behov av att involvera för att hitta den här lösningen, några lagar som är inneboende i matematik. Så jag vet inte hur det visar sig att frågor som har väldigt lite med matematik att göra är mer benägna att lösas av matematiker än av andra."

Så är det möjligt att ta sig runt Königsbergsbroarna genom att bara passera en gång genom var och en av dessa broar? För att hitta svaret, låt oss fortsätta Eulers brev till Marinoni:

"Frågan är att avgöra om det är möjligt att ta sig runt alla dessa sju broar, passera genom var och en endast en gång eller inte. Min regel leder till följande lösning på denna fråga. Först och främst måste du titta på hur många sektioner är åtskilda av vatten - sådana , som inte har någon annan övergång från en till en annan, utom genom bron.I det här exemplet finns det fyra sådana sektioner - A, B, C, D. Därefter måste du särskilja om antalet broar som leder till dessa enskilda sektioner är jämna eller udda. Så i vårt fall leder fem broar till sektion A och tre broar till resten, dvs antalet broar som leder till enskilda sektioner är udda, och den här är redan tillräckligt för att lösa problemet. När detta är fastställt tillämpar vi följande regel: om antalet broar som leder till varje enskild sektion var jämnt, skulle den aktuella omvägen vara möjlig, och samtidigt skulle det vara möjligt att starta denna omväg från vilken sektion som helst. skulle vara udda, för endast en är n om det ej kan bli jämnt, så skulle även då övergången kunna äga rum, såsom föreskrivet, men endast början av omvägen måste säkerligen tas från en av de två sektioner, till vilka ett udda antal broar leder. Om det slutligen fanns mer än två sektioner till vilka ett udda antal broar leder, så är en sådan rörelse i allmänhet omöjlig ... om andra, allvarligare problem kunde nämnas här, skulle denna metod kunna vara ännu mer användbar och borde inte bli försummad".

Grundläggande definitioner och satser inom grafteorin

Grafteori är en matematisk disciplin skapad av matematikers ansträngningar, så dess presentation innehåller de nödvändiga rigorösa definitionerna. Så låt oss gå vidare till den organiserade introduktionen av de grundläggande begreppen i denna teori.

Definition 1. En graf är en samling av ett ändligt antal punkter, som kallas grafens hörn, och som parvis förbinder några av dessa linjers hörn, som kallas grafens kanter eller bågar.

Denna definition kan formuleras på olika sätt: en graf är en icke-tom uppsättning punkter (hörn) och segment (kanter), vars båda ändar tillhör en given uppsättning punkter

I framtiden kommer vi att beteckna grafens hörn med latinska bokstäver A, B, C, D. Ibland kommer grafen som helhet att betecknas med en enda stor bokstav.

Definition 2. De hörn på grafen som inte hör till någon kant kallas isolerade.

Definition 3. En graf som endast består av isolerade hörn kallas noll - räkna .

Notation: O "– en graf med hörn och inga kanter

Definition 4. En graf där varje par av hörn är förbundna med en kant kallas komplett.

Beteckning: U" – en graf som består av n hörn och kanter som förbinder alla möjliga par av dessa hörn. En sådan graf kan representeras som en n-gon där alla diagonaler är ritade

Definition 5. Graden av ett vertex är antalet kanter som vertexet tillhör.

Definition 6. En graf vars grader av alla k hörn är samma kallas en homogen graf av grad k .

Definition 7. Komplementet till denna graf är grafen som består av alla kanter och deras ändar som måste läggas till den ursprungliga grafen för att få komplett graf.

Definition 8. En graf som kan representeras i ett plan på ett sådant sätt att dess kanter skär varandra endast vid hörnen kallas plan.

Definition 9. En polygon i en plan graf som inte innehåller några hörn eller kanter på grafen inuti kallas dess yta.

Begreppen en plan graf och grafytor används för att lösa problem för "korrekt" färgläggning av olika kartor.

Definition 10. En bana från A till X är en sekvens av kanter som leder från A till X så att varannan intilliggande kant har en gemensam vertex och ingen kant förekommer mer än en gång.

Definition 11. En cykel är en stig där start- och slutpunkten är desamma.

Definition 12. En enkel cykel är en cykel som inte passerar genom någon av grafens hörn mer än en gång.

Definition 13. lång väg , läggs på en slinga , är antalet kanter på denna väg.

Definition 14. Två hörn A och B i en graf kallas sammankopplade (bortkopplade) om det finns (finns inte) en väg som leder från A till B i den.

Definition 15. En graf kallas sammankopplad om varannan av dess hörn är sammankopplade; om grafen innehåller minst ett par frånkopplade hörn, kallas grafen frånkopplad.

Definition 16. Ett träd är en sammankopplad graf som inte innehåller cykler.

En tredimensionell modell av ett grafträd är till exempel ett riktigt träd med sin intrikat grenade krona; floden och dess bifloder bildar också ett träd, men redan platt - på jordens yta.

Definition 17. En frånkopplad graf som enbart består av träd kallas en skog.

Definition 18. Ett träd, vars alla n hörn är numrerade från 1 till n, kallas ett träd med omnumrerade hörn.

Så vi har övervägt de viktigaste definitionerna av grafteori, utan vilka det skulle vara omöjligt att bevisa satser, och följaktligen att lösa problem.

Problem lösta med hjälp av grafer

Kända utmaningar

Problemet med resande säljare

Problemet med resande försäljare är ett av de berömda problemen i teorin om kombinatorik. Den sattes upp 1934 och de bästa matematikerna bröt tänderna för det.

Problemformuleringen är följande.
Den resande säljaren (resande handlaren) måste lämna den första staden, besöka städer 2,1,3..n en gång i en okänd ordning och återvända till den första staden. Avstånd mellan städer är kända. I vilken ordning ska städerna passeras så att den resande försäljarens stängda väg (tur) blir kortast?

Metod för att lösa resandeförsäljarproblemet

Girig algoritm "gå till närmaste (som du ännu inte har kommit in i) stad."
Denna algoritm kallas "girig" eftersom du i de sista stegen måste betala dyrt för girighet.
Betrakta till exempel nätverket i figur [app fig.3] representerar en smal romb. Låt säljaren börja från stad 1. Den ”gå till närmsta stad” tar honom till stad 2, sedan 3, sedan 4; på det sista steget måste du betala för girighet och återvända längs rombens långa diagonal. Resultatet är inte den kortaste utan den längsta turen.

Problemet med Königsbergsbroarna.

Uppgiften är formulerad enligt följande.
Staden Konigsberg ligger på stranden av floden Pregel och två öar. Olika delar av staden var sammankopplade med sju broar. På söndagarna tog stadsborna promenader runt i staden. Fråga: är det möjligt att ta en promenad på ett sådant sätt att du, efter att ha lämnat huset, kommer tillbaka och passerar exakt en gång över varje bro.
Broar över Pregelfloden ligger som på bilden[Bilaga Fig.1].

Betrakta en graf som motsvarar broschemat [bilaga fig.2].

För att svara på frågan om problemet räcker det att ta reda på om grafen är Euler. (Minst en vertex måste ha ett jämnt antal broar). Det är omöjligt att gå runt i staden att gå igenom alla broar en gång och komma tillbaka.

Flera intressanta utmaningar

1. "Rutter".

Uppgift 1

Som ni minns, jägaren döda själar Chichikov besökte kända markägare en gång var. Han besökte dem i följande ordning: Manilov, Korobochka, Nozdrev, Sobakevich, Plyushkin, Tentetnikov, General Betrishchev, Petukh, Konstanzholgo, Överste Koshkarev. Ett diagram hittades på vilket Chichikov skissade godsernas relativa läge och landsvägar koppla ihop dem. Bestäm vilken egendom som tillhör vem, om Chichikov inte passerade någon av vägarna mer än en gång [bilaga fig.4].

Lösning:

Enligt vägkartan kan man se att Chichikov började sin resa med godset E, och slutade med godset O. Vi märker att endast två vägar leder till godsen B och C, så Chichikov fick köra längs dessa vägar. Låt oss markera dem med djärva linjer. De delar av sträckan som går genom A bestäms: AC och AB. Chichikov reste inte på vägarna AE, AK och AM. Låt oss stryka över dem. Låt oss markera med en tjock linje ED ; stryk över DK . Stryk över MO och MN; markera med en fet linje MF ; stryk över FO ; vi markerar FH , NK och KO med en fet linje. Låt oss hitta den enda möjliga vägen under det givna villkoret. Och vi får: godset E - tillhör Manilov, D - Korobochka, C - Nozdrev, A - Sobakevich, V - Plyushkin, M - Tentetnikov, F - Betrishchev, N - Petukh, K - Konstanzholgo, O - Koshkarev [app fig.5].

Uppgift 2

Bilden visar en karta över området [bilaga fig.6].

Du kan bara röra dig i pilarnas riktning. Varje punkt kan inte besökas mer än en gång. På hur många sätt kan du ta dig från punkt 1 till punkt 9? Vilken väg är kortast och vilken är längst.

Lösning:

Sekventiellt "stratifiera" schemat till ett träd, med början från vertex 1 [app fig.7]. Låt oss hämta ett träd. siffra möjliga sätt träffar från 1 till 9 är lika med antalet "hängande" hörn i trädet (det finns 14 av dem). Uppenbarligen är den kortaste vägen 1-5-9; den längsta är 1-2-3-6-5-7-8-9.

2 "Grupper, dejting"

Uppgift 1

Musikfestivalens deltagare, efter att ha träffats, bytte kuvert med adresser. Bevisa det:

a) ett jämnt antal kuvert skickades totalt;

b) antalet deltagare som bytt kuvert ett udda antal gånger är jämnt.

Lösning: Låt festivaldeltagarna vara A 1 , A 2 , A 3 . . . , Och n är toppen av grafen, och kanterna förbinder par av hörn som representerar killar som bytte kuvert [Bilaga Fig.8]

Lösning:

a) graden av varje vertex A i visar antalet kuvert som deltagare A i gav till sina vänner. Det totala antalet sända envelopp N är lika med summan av graderna av alla hörn i grafen N = steg. Ett 1+ steg. A 2++. . . + steg. Och n -1 + steg. Och n , N =2p , där p är antalet grafkanter, dvs. N är jämnt. Därför skickades ett jämnt antal kuvert;

b) i likheten N = steget. Ett 1+ steg. A 2++. . . + steg. Och n -1 + steg. Och n summan av udda termer måste vara jämn, och detta kan bara vara om antalet udda termer är jämnt. Och det betyder att antalet deltagare som bytt kuvert ett udda antal gånger är jämnt.

Uppgift 2

En gång kom Andrei, Boris, Volodya, Dasha och Galya överens om att gå på bio på kvällen. De bestämde sig för att komma överens om valet av biograf och seansen per telefon. Det beslutades också att om det inte gick att ringa någon så skulle bioresan ställas in. På kvällen samlades inte alla på bio och därför föll biobesöket igenom. Dagen efter började de ta reda på vem som ringde vem. Det visade sig att Andrey kallade Boris och Volodya, Volodya kallade Boris och Dasha, Boris kallade Andrey och Dasha, Dasha kallade Andrey och Volodya, och Galya kallade Andrey, Volodya och Boris. Vem kunde inte ringa och därför inte kom till mötet?

Lösning:

Låt oss rita fem punkter och beteckna dem med bokstäverna A, B, C, D, E. Det här är de första bokstäverna i namnen. Låt oss koppla ihop de prickarna som motsvarar namnen på killarna som ringde varandra.

[app fig.9]

Det kan ses på bilden att var och en av killarna - Andrey, Boris och Volodya - ringde alla andra. Det var därför de här killarna kom på bio. Men Galya och Dasha misslyckades med att ringa varandra (punkterna D och D är inte anslutna till ett segment) och därför kom de inte till bion, i enlighet med avtalet.

Användningen av grafer inom olika områden av människors liv

Utöver de exempel som ges, används grafer i stor utsträckning inom konstruktion, elektroteknik, management, logistik, geografi, maskinteknik, sociologi, programmering, automatisering av tekniska processer och industrier, psykologi och reklam. Så från allt ovan följer det praktiska värdet av grafteorin oemotsägligt, vars bevis var målet den här studien.

Inom alla områden inom vetenskap och teknik möter du grafer. Grafer är underbara matematiska objekt med vilka du kan lösa matematiska, ekonomiska och logiska problem, olika pussel och förenkla villkoren för problem inom fysik, kemi, elektronik, automation. Det är bekvämt att formulera många matematiska fakta på grafernas språk. Grafteori är en del av många vetenskaper. Grafteori är en av de vackraste och mest visuella matematiska teorierna. PÅ senare tid Grafteori får allt fler tillämpningar i tillämpade frågor. Även datorkemi har vuxit fram - ett relativt ungt kemiområde baserat på tillämpning av grafteori.

Molekylära grafer, som används i stereokemi och strukturell topologi, kemi av kluster, polymerer, etc., är oriktade grafer som visar strukturen hos molekyler [app fig.10]. Topparna och kanterna på dessa grafer motsvarar motsvarande atomer och kemiska bindningar mellan dem.

Molekylära grafer och träd: [app fig.10] a, b - multigrafer resp. eten och formaldehyd; in-mol. isomerer av pentan (träd 4, 5 är isomorfa till träd 2).

I stereokemi av organismer, mest använder ofta molekylära träd - huvudträden i molekylära grafer, som bara innehåller alla hörn som motsvarar C-atomer. träd och etableringen av deras isomorfism gör att du kan bestämma piren. strukturer och hitta det totala antalet isomerer av alkaner, alkener och alkyner

Proteinnätverk

Proteinnätverk - grupper av fysiskt interagerande proteiner som fungerar i en cell tillsammans och på ett koordinerat sätt, och kontrollerar de sammankopplade processerna som sker i kroppen [app fig. elva].

Hierarkisk systemgraf kallas ett träd. Särskiljande drag av ett träd är att det bara finns en väg mellan två av dess hörn. Trädet innehåller inte cykler och loopar.

Vanligtvis har ett träd som representerar ett hierarkiskt system en huvudpunkt, som kallas trädets rot. Varje vertex av trädet (förutom roten) har bara en förfader - objektet som det utsetts av det tillhör en toppnivåklass. Varje vertex av trädet kan generera flera avkomlingar - hörn som motsvarar klasser på lägre nivå.

För varje par av trädens hörn finns det en unik väg som förbinder dem. Den här egenskapen används för att hitta alla förfäder, till exempel i den manliga linjen, för varje person vars släktträd representeras som ett släktträd, vilket också är ett "träd" i betydelsen grafteorin.

Ett exempel på mitt släktträd [bilaga fig.12].

Ännu ett exempel. Figuren visar det bibliska släktträdet [bilaga fig.13].

Problemlösning

1. Transportuppgift. Låt det finnas en bas med råvaror i staden Krasnodar, som måste planteras i städerna Krymsk, Temryuk, Slavyansk-on-Kuban och Timashevsk i en omgång, samtidigt som man spenderar så lite tid och bränsle som möjligt och återvänder tillbaka. till Krasnodar.

Lösning:

Låt oss först skapa en graf över alla möjliga rutter. [app fig.14], med hänsyn till de verkliga vägarna mellan dessa bosättningar och avståndet mellan dem. För att lösa detta problem måste vi skapa en annan graf, ett träd [app fig.15].

För att underlätta lösningen betecknar vi städerna med nummer: Krasnodar - 1, Krymsk - 2, Temryuk - 3, Slavyansk - 4, Timashevsk - 5.

Detta resulterade i 24 lösningar, men vi behöver bara de kortaste vägarna. Av alla lösningar är bara två nöjda, dessa är 35 mil.

På samma sätt är det möjligt och jag tror att det är nödvändigt att beräkna verklig transport från en lokalitet till andra.

Logisk uppgift för transfusion. Det finns 8 liter vatten i en hink, och det finns två krukor med en kapacitet på 5 och 3 liter. det krävs att hälla 4 liter vatten i en fem-liters kastrull och lämna 4 liter i en hink, dvs hälla vatten lika i en hink och en stor kastrull.

Lösning:

Situationen vid varje ögonblick kan beskrivas med tre siffror [bilaga fig.16].

Som ett resultat får vi två lösningar: en i 7 drag, den andra i 8 drag.

Slutsats

Så för att lära dig hur man löser problem måste du förstå vad de är, hur de är ordnade, från vilka beståndsdelar de består av vilka verktyg som används för att lösa problem.

Genom att lösa praktiska problem med hjälp av grafteori blev det klart att i varje steg, i varje steg av deras lösning, är det nödvändigt att tillämpa kreativitet.

Redan från början, i det första skedet, ligger det i det faktum att du måste kunna analysera och koda problemets tillstånd. Det andra steget är en schematisk notation, som består av den geometriska representationen av grafer, och i detta skede är elementet kreativitet mycket viktigt eftersom det är långt ifrån lätt att hitta överensstämmelse mellan elementen i villkoret och motsvarande element i grafen .

När jag skulle lösa ett transportproblem eller ett problem med att sammanställa ett släktträd drog jag slutsatsen att grafmetoden verkligen är intressant, vacker och visuell.

Jag var övertygad om att grafer används i stor utsträckning inom ekonomi, management och teknik. Grafteori används också i programmering.Detta diskuterades inte i denna artikel, men jag tror att detta bara är en tidsfråga.

I detta vetenskapliga arbete beaktas matematiska grafer, deras användningsområden, flera problem löses med hjälp av grafer. Kunskaper om grunderna i grafteori är nödvändiga inom olika områden relaterade till produktionsledning, affärer (till exempel konstruktionsnätverksdiagram, postleveransscheman). Dessutom, medan jag arbetade med ett vetenskapligt arbete, behärskade jag att arbeta på en dator i en WORD-textredigerare. Alltså uppgifter vetenskapligt arbete avslutad.

Så från allt ovan följer det praktiska värdet av grafteorin oemotsägligt, vilket bevis var målet med detta arbete.

Litteratur

Berge K. Grafteori och dess tillämpningar. -M.: IIL, 1962.

Kemeny J., Snell J., Thompson J. Introduktion till finit matematik. -M.: IIL, 1963.

Ore O. Grafer och deras tillämpning. -M.: Mir, 1965.

Harary F. Grafteori. -M.: Mir, 1973.

Zykov A.A. Theory of Finita Graphs. -Novosibirsk: Nauka, 1969.

Berezina L.Yu. Grafer och deras tillämpning. -M.: Utbildning, 1979. -144 sid.

"Soros Educational Journal" nr 11 1996 (artikel "Platta grafer");

Gardner M. "Mathematical leisure", M. "Mir", 1972 (kapitel 35);

Olekhnik S. N., Nesterenko Yu. V., Potapov M. K. "Gamla underhållande problem", M. "Nauka", 1988 (del 2, avsnitt 8; bilaga 4);

Ansökan

Ris. 6

Ris. 7

Ris. åtta

Ansökan

Ris. fjorton

Ansökan

Dessutom var Euler under de sista 12 åren av sitt liv allvarligt sjuk, blind och trots svår sjukdom fortsatte att arbeta och skapa. Statistiska beräkningar visar att Euler i genomsnitt gjorde en upptäckt per vecka. Det är svårt att hitta ett matematiskt problem som inte har berörts i Eulers verk. Alla matematiker från efterföljande generationer studerade med Euler på ett eller annat sätt, och det var inte för inte som den berömda franska vetenskapsmannen P.S. Laplace sa: "Läs Euler, han är oss allas lärare." Lagrange säger: "Om du verkligen älskar matematik, läs Euler; exponeringen av hans verk kännetecknas av fantastisk klarhet och noggrannhet." Faktum är att elegansen av beräkningar förs till högsta grad av honom. Condorcet avslutade sitt tal på akademin till Eulers minne med följande ord: "Så, Euler slutade leva och räkna!" Att leva för att räkna - så tråkigt det verkar utifrån! Det är brukligt att föreställa sig matematik som torr och döv för allt världsligt, för vad vanliga människor är intresserade av. Med namnet Euler, är problemet med tre hus och tre brunnar.

GRAFTEORI

Inom grafteorin bör nämnas verk av F. Harry, J. Kemeny, K. Flament, J. Snell, J. French, R. Norman, O. Oizer, A. Beivelas, R. Weiss m.fl. I USSR, enligt T. g. arbete Φ. M. Borodkin och andra.

1) Formalisering och konstruktion av en generell strukturell modell av ett socialt objekt på olika nivåer av dess komplexitet. Till exempel organisationsscheman, sociogram, jämförelse av släktskapssystem i olika samhällen, analys av gruppers rollstruktur m.m. Vi kan anta att rollstrukturen omfattar tre komponenter: personer, befattningar (i en förenklad version - befattningar) och uppgifter som utförs i denna tjänst. Varje komponent kan representeras som en graf:

Det är möjligt att kombinera alla tre graferna för alla positioner, eller bara för en, och som ett resultat får vi en tydlig uppfattning om den specifika strukturen för c.l. denna roll. Så, för rollen som position P5 har vi en graf (Fig.). Att väva informella relationer i den specificerade formella strukturen kommer att komplicera grafen avsevärt, men det kommer att vara en mer exakt kopia av verkligheten.

2) Analys av den erhållna modellen, urval av strukturella enheter (delsystem) i den och studie av deras samband. På så sätt kan till exempel delsystem i stora organisationer separeras.

a) kvantiteter. bedömning av en individs vikt (status) i en hierarkisk organisation. Ett av de möjliga alternativen för att bestämma status är formeln:

vikt a=12+27+34=28; 6=1 3+2 3=9 osv.

Det enklaste sättet ges av formeln: r=Σdxy/Σdqx, dvs. kvoten av att dividera summan av alla avstånd från var och en till alla andra med summan av individens avstånd till alla andra.

En uppgift : Tre grannar delar tre brunnar. Är det möjligt att dra icke-korsande stigar från varje hus till varje brunn. Stigarna kan inte passera genom brunnar och hus (Fig. 1).

Ris. 1. Om problemet med hus och brunnar.

V - P + G = 1, (*)

där B är det totala antalet hörn, P är det totala antalet kanter, G är antalet polygoner (ytor).

Bevis. Låt oss bevisa att likheten inte förändras om vi ritar en diagonal i någon polygon av den givna partitionen (Fig. 2, a).

Efter att ha ritat en sådan diagonal kommer den nya partitionen att ha B-hörn, P + 1 kanter, och antalet polygoner kommer att öka med en. Därför har vi

B - (P + 1) + (G + 1) \u003d B - P + G.

Med denna egenskap ritar vi diagonaler som delar in de inkommande polygonerna i trianglar, och för den resulterande partitionen visar vi att relationen är tillfredsställbar.

För att göra detta kommer vi konsekvent att ta bort de yttre kanterna och minska antalet trianglar. I det här fallet är två fall möjliga:

för att ta bort triangeln ABC måste du ta bort två kanter, i vårt fall AB och BC;

för att ta bort triangel MKN måste en kant tas bort, i vårt fall MN.

I båda fallen kommer jämställdheten inte att förändras. Till exempel, i det första fallet, efter att ha tagit bort triangeln, kommer grafen att bestå av B-1 hörn, P-2 kanter och G-1 polygon:

(B - 1) - (P + 2) + (G -1) \u003d B - P + G.

Att ta bort en triangel förändrar alltså inte likheten.

Om vi fortsätter med denna process att ta bort trianglar kommer vi så småningom fram till en partition som består av en enda triangel. För en sådan partition B = 3, P = 3, Γ = 1 och därför,

Detta betyder att likheten gäller även för den ursprungliga partitionen, varav vi slutligen får att relationen gäller för polygonens givna partition.

Vi fortsätter nu att lösa problemet med tre hus och tre brunnar.

Dessa kanter bildar en polygon i planet, uppdelad i mindre polygoner. Därför, för denna partition, måste Euler-relationen B - P + G = 1 vara uppfylld.

Studiet av förhållandet mellan ämnens egenskaper och deras struktur är en av kemins huvuduppgifter. Strukturteorin bidrog i hög grad till dess lösning. organiska föreningar, vars skapare inkluderar den store ryske kemisten Alexander Mikhailovich Butlerov (1828-1886). Det var han som först slog fast att egenskaperna hos ett ämne inte bara beror på dess sammansättning (molekylformel), utan också på i vilken ordning atomerna i molekylen är sammankopplade. Denna ordning kallades "kemisk struktur". Butlerov förutspådde att kompositionen C 4 H 10 kan motsvara två ämnen med olika struktur - butan och isobutan, och bekräftade detta genom att syntetisera det senare ämnet.

Tanken att den ordning i vilken atomer är sammankopplade är av avgörande betydelse för materiens egenskaper har visat sig vara mycket fruktbar. Den är baserad på representationen av molekyler med hjälp av grafer, där atomer spelar rollen som hörn, och de kemiska bindningarna mellan dem är kanterna som förbinder hörnen. I den grafiska representationen ignoreras bindningarnas längder och vinklarna mellan dem. C-molekylerna som beskrivs ovan 4 H 10 visas i följande kolumner:

Väteatomer anges inte i sådana grafer, eftersom deras placering otvetydigt kan bestämmas från strukturen av kolskelettet. Kom ihåg att kol i organiska föreningar är fyrvärt, därför kan inte mer än fyra kanter avvika från varje vertex i motsvarande grafer.

Grafer är matematiska objekt, så de kan karakteriseras med siffror. Ur detta kom idén att uttrycka strukturen av molekyler med siffror som är associerade med strukturen av molekylära grafer. Dessa siffror kallas "topologiska index" i kemi. Genom att beräkna något topologiskt index för ett stort antal molekyler kan man fastställa ett samband mellan dess värden och egenskaperna hos ämnen, och sedan använda detta förhållande för att förutsäga egenskaperna hos nya, ännu inte syntetiserade ämnen. Hittills har kemister och matematiker föreslagit hundratals olika index som karakteriserar vissa egenskaper hos molekyler.

Metoder för beräkning av topologiska index

Metoder för att beräkna topologiska index kan vara mycket olika, men alla måste uppfylla ganska naturliga krav:

1) varje molekyl har sitt eget individuella index;

2) Molekyler med liknande egenskaper har liknande index.

Låt oss se hur denna idé implementeras med hjälp av exemplet med mättade kolväten - alkaner. Nyckeln till att konstruera många index är konceptet med "avståndsmatrisen" D. Detta är namnet på matrisen vars element visar antalet kanter som separerar motsvarande hörn på molekylgrafen. Låt oss konstruera denna matris för tre isomera kolväten med sammansättning C 5 H 12 . För att göra detta ritar vi deras molekylära grafer och numrerar om hörnen (i godtycklig ordning):

De diagonala elementen i avståndsmatrisen för kolväten är lika med 0. I den första kolumnen är vertex 1 förbundet med vertex 2 med en kant, så matriselementet d 12 = 1. På liknande sätt, d 13 = 2, d 14 = 3, d 15 = 4. Den första raden i avståndsmatrisen för normal pentan är: (0 1 2 3 4). Komplettera avståndsmatriser för tre grafer:

molekylkemi topologiskt index

Avståndet mellan hörn beror inte på ordningen för deras uppräkning, så avståndsmatriserna är symmetriska med avseende på diagonalen.

Det första topologiska indexet som återspeglar strukturen hos en molekylär graf (G) föreslogs 1947 av Wiener. Det definieras som summan diagonala element avståndsmatris plus halvsumman av dess off-diagonala element:

(1)

För ovanstående grafer som motsvarar pentaner C 5 H 12 , tar Wienerindex värden på 20, 18 och 16. Det kan antas att det beskriver graden av kolväteförgrening: de största värdena motsvarar de minst grenade kolvätena. Med en ökning av kolskelettets längd ökar Wienerindex, eftersom det finns fler element i avståndsmatrisen. Statistisk analys av exemplet med flera hundra kolväten visade att Wiener-indexet korrelerar med vissa fysikaliska egenskaper hos alkaner: kokpunkter, förångningsvärme, molvolym.

En annan typ av index är inte baserad på avstånd mellan hörn, utan på antalet närmaste grannar för varje vertex. Som ett exempel, låt oss beräkna Randic index, som definieras enligt följande:

(2)

där vi- graden av den i:te vertexen, det vill säga antalet kanter som sträcker sig från den. För graferna ovan är Randic index:

(3)

(4)

(5)

Detta index minskar också med ökande grad av förgrening av kolskelettet och kan användas för att beskriva fysikaliska egenskaper alkaner.

Alkaner är den tråkigaste typen av organiska molekyler ur kemisk synvinkel, eftersom de inte innehåller några "särdrag" - dubbel- och trippelbindningar eller atomer av andra element än väte och kol (sådana element kallas heteroatomer). Införandet av heteroatomer i en molekyls sammansättning kan radikalt förändra ett ämnes egenskaper. Således omvandlar tillsatsen av bara en syreatom den ganska inerta gasen etan C 2 H 6 till flytande etanol C 2 H 5 OH, som uppvisar ganska hög kemisk och biologisk aktivitet.

Följaktligen, i de topologiska indexen för molekyler som är mer komplexa än alkaner, måste närvaron av multipla bindningar och heteroatomer beaktas. Detta görs genom att tilldela vissa numeriska koefficienter - "vikter" till grafernas hörn och kanter. Till exempel, i avståndsmatrisen, kan de diagonala elementen definieras i termer av kärnladdningen Zi(kom ihåg att för kol Z = 6):

(6)

Off-diagonala element bestäms genom summering över kanter, och varje kant förbinder atomer med laddningar Zioch Zj, vikt tilldelas

(7)

där b är lika med bindningsordningen mellan atomerna (1 för en enkelbindning, 2 för en dubbelbindning, 3 för en trippelbindning). För vanliga kol-kol enkelbindningar, k = 1. Jämför propan Wiener index C 3 H 8 och tre syrehaltiga ämnen liknande sammansättning: propylalkohol C 3 H 8 O, dess isomera isopropylalkohol C 3 H 8 O och aceton C 3 H 6 Åh

För att göra detta beräknar vi avståndsmatriserna enligt de angivna reglerna. I molekylära grafer anger vi alla atomer utom väteatomer 1) Propan

2) I propylalkoholmolekylen är syre bundet till den extrema kolatomen:

För en enkel C–O-bindning är viktningsfaktorn 36/(68) = 0,75. Diagonalt element i matrisen som motsvarar syre:

d 44 = 1 – 6/8 = 0.25.

För molekyler som innehåller heteroatomer upphör Wienerindex att vara ett heltal. 3) I isopropylalkoholmolekylen är syre bundet till den mellersta kolatomen:

4) I aceton är ordningen för anslutning av atomer densamma som i isopropylalkohol, men bindningen mellan kol och syre är dubbel:

För C=O-dubbelbindningen är viktningsfaktorn 36/(268) = 0,375

Som kan ses leder tillägget av en heteroatom till strukturen av alkaner till en ökning av Wiener-indexet på grund av en ökning av storleken på avståndsmatrisen. Att lägga till flera bindningar och öka graden av förgrening av molekylen minskar detta index. Dessa regler gäller även för mer komplexa molekyler. Inledningsvis utvecklades topologiska index endast i syfte att förutsäga ämnens fysikalisk-kemiska egenskaper. Men senare började de användas för att lösa andra problem. Låt oss överväga några av dem. En av tillämpningarna för topologiska index är relaterad till klassificeringen av organiska föreningar och skapandet av organiska databaser. Problemet är att hitta ett sådant index som en-till-en karakteriserar den kemiska strukturen och från vilken denna struktur kan återställas. Det erforderliga indexet måste ha en god urskiljningsförmåga, det vill säga att särskilja sinsemellan även molekyler som är nära i struktur. Denna uppgift är skrämmande, eftersom mer än 20 miljoner organiska strukturer redan är kända. Dess lösning kommer tydligen att hittas som ett resultat av att använda sammansatta topologiska index.

1 Under de senaste decennierna har begreppen topologi och grafteori blivit utbredda inom teoretisk kemi. De är användbara för att söka efter kvantitativa relationer "struktur-egenskap" och "struktur-aktivitet", samt för att lösa grafteoretiska och kombinatoriskt-algebraiska problem som uppstår under insamling, lagring och bearbetning av information om struktur och egenskaper. ämnen.

Grafer tjänar först och främst som ett sätt att representera molekyler. I den topologiska beskrivningen av en molekyl är den avbildad som en molekylär graf (MG), där hörnen motsvarar atomer, och kanterna motsvarar kemiska bindningar (grafteoretisk modell av en molekyl). Vanligtvis betraktas endast skelettatomer i denna representation, till exempel kolväten med "raderade" väteatomer.

Valens kemiska grundämnen uppställer vissa begränsningar för graderna av hörn. Alkanträd (sammankopplade grafer som inte har cykler) har vertexgrader (r) som inte kan överstiga fyra (r = 1, 2, 3, 4).

Grafer kan specificeras i matrisform, vilket är bekvämt när man arbetar med dem på en dator.

Spårpunktsmatrisen för en enkel graf är en kvadratisk matris A = [aσχ] med elementen aσχ = 1 om hörnen σ och χ är förbundna med en kant, och σχ = 0 annars. Avståndsmatrisen är en kvadratisk matris D = med elementen dσχ definierade som det minsta antalet kanter (det kortaste avståndet) mellan hörnen σ och χ. Ibland används även närliggande och kantavståndsmatriser (A e och D e).

Typen av matriser A och D (A e och D e) beror på metoden för numrering av hörn (eller kanter), vilket orsakar olägenheter vid hantering av dem. För att karakterisera en graf används grafinvarianter - topologiska index (TI).

Antal banor med längd ett

pi = xcc 0 = m = n-1

Antal stigar av längd två

Antal tripletter av intilliggande kanter (med en gemensam vertex)

Wienertalet (W), definierat som en halvsumma av elementen i avståndsmatrisen för grafen i fråga:

etc.

Metodiken för att studera förhållandet "struktur-egenskap" genom topologiska index i det grafteoretiska tillvägagångssättet inkluderar följande steg.

Urval av studieobjekt (träningsprov) och analys av tillståndet för numeriska data på egenskapen P för ett givet intervall av föreningar.

Val av TI:er med hänsyn till deras särskiljande förmåga, korrelationsförmåga med egenskaper, etc.

Studiet av grafiska beroenden "Egenskapen P - TI för molekylgrafen", till exempel P på n - antalet skelettatomer, P på W - Wienernumret, etc.

Fastställande av ett funktionellt (analytiskt) beroende P = _DTI), t.ex.

P \u003d a (TI) + b,

P \u003d aln (TI) + b,

P \u003d a (TI) 1 + b (TI) 2 + ... + n (TI) n + c

etc. Här är a, b, c några parametrar (inte att förväxla med parametrarna för additiva kretsar.) som ska bestämmas.

Numeriska beräkningar av Р, jämförelse av beräknade värden med experimentella.

Förutsägelse av egenskaperna hos föreningar som ännu inte har studerats eller ens erhållits (utanför detta prov).

Topologiska index används också vid konstruktionen av additiv beräkning och prognos. De kan användas i utvecklingen av nya mediciner, när man utvärderar den cancerframkallande aktiviteten hos vissa kemiska substanser, för att förutsäga den relativa stabiliteten för nya (ännu ej syntetiserade) föreningar, etc.

Man bör dock komma ihåg att valet av TI ofta är slumpmässigt; de kanske inte återspeglar viktiga strukturella egenskaper hos molekyler eller duplicerad information (erhållen med hjälp av andra index), och beräkningsscheman kanske inte har en solid teoretisk grund och är svåra att tolka fysikalisk-kemiskt.

Avdelningens personal fysisk kemi TVGU har sedan många år bedrivit en beräknings- och teoretisk studie kring problemet ”Släktskap mellan ämnens egenskaper och molekylers struktur: matematisk (dator)modellering”. Fokus ligger på det riktade sökandet efter nya strukturer, algoritmer för att lösa ett antal grafteoretiska och kombinatoriska problem som uppstår i samband med insamling och bearbetning av information om ämnens struktur och egenskaper, skapande av expertsystem och databaser för informationssökning, utveckling kvantitativa metoder för beräkning och prognoser.

Vi har byggt tillsatsscheman och hittat analytiska beroenden av formen P = Y(TI) för ett antal organiska och andra molekyler. Enligt de erhållna formlerna utfördes numeriska beräkningar av de fysikalisk-kemiska egenskaperna hos föreningarna i fråga, s .

Bibliografi

Vinogradova M.G., Papulov Yu.G., Smolyakov V.M. Kvantitativa korrelationer av "strukturegenskap" hos alkaner. Additiva beräkningsscheman. Tver, 1999. 96 sid.
Kemiska tillämpningar topologi och grafteori / Ed. R. kung. M.: Mir, 1987. 560 sid.
Tillämpning av grafteori i kemi / Ed. N.S. Zefirova och S.I. Kuchanova. Novosibirsk: Nauka, 1988. 306 sid.
Stankevich M.I., Stankevich I.V., Zefirov N.S. Topologiska index i organisk kemi // Uspekhi khimii. 1988. V.57, nr 3, S.337-366.
Vinogradova M.G., Saltykova M.N. Grafteoretisk ansats för att studera sambandet mellan struktur och egenskaper hos alkylsilaner.// Fundamental Research, 2009. Nr 1. s. 17-19.
Vinogradova M.G., Saltykova M.N., Efremova A.O., Malchevskaya O.A. Relationen mellan strukturen och egenskaperna hos alkylsilaner // Moderna naturvetenskapers framgångar, nr 1, 2010. S. 136-137.
Vinogradova M.G., Saltykova M.N., Efremova A.O. Korrelationer "Struktur - egenskap" hos alkylsilaner: grafteoretisk ansats // Framgångar för modern naturvetenskap, nr 3, 2010. P.141-142.

Bibliografisk länk

Vinogradova M.G. GRAPH THEORY IN CHEMISTRY // International Journal of Applied and Fundamental Research. - 2010. - Nr 12. - P. 140-142;
URL: http://dev.applied-research.ru/ru/article/view?id=1031 (åtkomstdatum: 12/17/2019). Vi uppmärksammar dig på tidskrifterna utgivna av förlaget "Academy of Natural History"

Proteinnätverk

Metoder för beräkning av topologiska index

Bibliografisk länk