фрактална структура. Фрактали и фрактални структури Фрактална структура на метални повърхностни слоеве

Фрактал - безкрайно себеподобен геометрична фигура, всеки фрагмент от който се повтаря при отдалечаване.

Мултифракталът е сложна фрактална структура, която се получава с помощта на няколко последователни алгоритма.

За да се опише фрактал, са необходими само три параметъра: фракталната размерност D, размерите на първичния блок (R t in) и обекта като цяло.

Фракталната размерност дава възможност за количествено описание на различни структури, които са много сложни и съдържат голям брой точкови, линейни, повърхностни и обемни дефекти.

Редовният фрактал е фрактал, който се характеризира с точно самоподобие и това е идеален модел, т.к. винаги се приема известна дерогация.

Фрактален клъстер е хаотичен фрактал.

Фракталност на дефектите в структурата на материалите

Новите идеи за формата на реални природни обекти, за структурите в биологията и материалознанието се основават на концепцията за фракталите, която за първи път е формулирана от Б. Манделброт. Той въведе понятието не само фрактална, но и фрактална геометрия, която се различава от евклидовата по дробни размери, и обърна внимание на факта, че контурите, повърхностите и обемите на обектите около нас не са толкова равномерни, гладки и перфектни, колкото е. често се мисли. Всъщност при внимателен преглед се оказва, че те са неравни, грапави, разязвени с множество дупки с най-странна форма, надупчени с пукнатини и пори, покрити с мрежа от бръчки, драскотини и т.н.

За да определи количествено тези отклонения от идеалността (извито контур, набръчкване на повърхността, обемно счупване и порьозност), B. Mandelbrot ще използва дробни размери. Това ново количествено определяне, дробното измерение на Хаусдорф-Безекович, приложено към идеални обекти от класическата евклидова геометрия, дава същите числови стойности като известното топологично измерение (равно на нула за точка, едно за гладка линия, две за фигура и повърхност, три за тяло и пространство) (вижте топологичната линия на фиг. "Елементи на реалната структура на материалите").

Но в случай на оценка на морфологията на реалните структури, новото измерение имаше по-фина чувствителност към всякакви несъвършенства в реални обекти. По този начин отсечката по права линия, отсечката от синусоида и най-сложният меандър са неразличими при използване на топологичното измерение - всички те имат топологична размерност, равна на единица, докато размерът им по скалата на Хаусдорф-Безекович е различен и позволява числото за измерване на степента на извивост на линията.

Размерът на Hausdorff-Bezekovich се увеличава с увеличаване на извивостта на линията или грапавостта на повърхността. Тази промяна в размерите не е придружена от скокове, както в топологията, а плавно променя стойността си с увеличаване на дефекта.

И така, на пресечната точка на математиката и физиката, когато изучават поведението на сложни динамични системи, те получават новото си раждане фракталите са обекти с дробна (фрактална) размерност.

Много естествени фрактали (разломни повърхности на скали и метали, облаци, турбулентни потоци, пяна, гелове, частици сажди и др.) са лишени от явно геометрично сходство, но упорито възпроизвеждат статистическите свойства на цялото във всеки фрагмент. Такова статистическо сходство или средно самоподобие разграничава фракталите сред много природни обекти.

Истинската снежинка (шест вида) е дендритен леден кристал. Това е типичен самоподобен фрактал, който възниква по време на първичната кристализация на всички метали и сплави.

Описанието на снежинка с помощта на фрактална геометрия ще изисква само три параметъра: фракталното измерение D, размерите на първичния блок (R m in) и снежинката като цяло (R m ax). Фракталното измерение на компютъра и реалните снежинки е еднакво (D = 1,71).

Фрактали в материалознанието

Централният въпрос на съвременното материалознание е изучаването на структурата на материала и установяване на връзка между структурните параметри и свойствата на материала. Основните количествени връзки при втвърдяване при разтваряне на чужди атоми, при утаяване на дисперсни фази, при рафиниране на зърното формират парадигмата на съвременното материалознание от структурни дефекти на материалите до техните свойства.

Традиционно анализът на структурата на материалите на макро-, мезо- и микроскопично ниво се извършва чрез количествени измервания на структурни компоненти с помощта на топологични размери. В този случай се допускат значителни условни приближения на много сложни, реални структури към прости фигури от евклидова геометрия.

Фракталната размерност дава възможност за количествено описание на различни структури, които са много сложни и съдържат голям брой точкови, линейни, повърхностни и обемни дефекти. Фракталната геометрия дава възможност да се опише неуредена морфология - грапави повърхности, порести среди, сложни контури на излишни фази и др. Често такива структури имат свойството на самоподобие.

Основният принцип на фракталния анализ предвижда определяне на фракталния размер на изследваната структура с широкото използване на оптична микроскопия, електронно сканираща и трансмисионна микроскопия и други методи на количествена металография.

Основната парадигма на съвременната материалознание: "От реалната структура на материала до неговите физични и механични свойства":

Горният ред - примери за модели на дефекти в микро- и мезоструктурата на материала (отляво надясно) еластична деформация на кристалната решетка от разтворени, примесни атоми, забавяне на движеща се дислокация от диспергирани излишни фази (частици), забавяне на дислокационни купчини по граници на зърното;

Долен ред - примери, отразяващи промяната на някои физико-механични свойства под влияние на конструктивни дефекти в горния ред.

Ориз. 1.17.Зависимостта на свойствата на материалите от структурата е основната парадигма на съвременната материалознание

Самоподобието на структурите се потвърждава от геометричен анализ на получените модели и измерването им при различни мащаби на увеличение. За да се установи фракталността на структурата, е необходимо да се провери наличието на самоподобие и да се изчисли фракталната размерност.

По-нататъшното определяне на връзката между свойствата на материала и неговата фрактална размерност изисква определени нови фундаментални подходи в анализа на фракталните структури.

Фрактографските изследвания на повърхностите на счупване на материалите чрез определяне на тяхната фрактална размерност са най-ефективните за оценка на естеството на счупване при удар или натоварване от умора.

) — (от лат. фрактус- дробна, счупена) структура, която има свойството на самоподобие, тоест се състои от такива фрагменти, чийто структурен мотив се повтаря при промяна на мащаба.

Описание

Фракталната структура се характеризира със стойността на степента на запълване на пространството със структура (измерение), която не е целочислена стойност. Така, н-размерните фрактали заемат междинно положение между н-измерна и ( н+ 1)-мерни обекти. За конструиране на регулярни фрактални обекти се използват рекурсивни функции.

В естествените фракталоподобни структури, за разлика от обикновените фрактали, няма дробно измерение, а самоподобието се наблюдава само до определен мащаб. Естествени примери за обекти с фрактална структура са купести облаци, корони на дървета и светкавици. Например, при короната на дърво всеки от големите клони се разделя на поне два по-малки клона, след което разделянето се повтаря отново и отново (виж фиг.). В резултат на това всеки от разклоненията може да се разглежда като отделен повтарящ се мотив на фракталната структура.

Геометрията на някои наносистеми, например на молекули и фрактали, е описана с добра точност с помощта на рекурсивни функции, което прави възможно моделирането на техните микро- и макроскопични свойства.

Илюстрации

Авторите

• Шляхтин Олег Александрович
• Стрелецки Алексей Владимирович

Източници

1. Федер Е. Фрактали. - М.: Мир, 1991. - 254 с.
2. Третяков Ю. Д. Дендрити, фрактали и материали // Сорос Образователен вестник. 1998. бр.11. с. 96–102.
3. Paytgen H.-O., Richter P.H. Красотата на фракталите. - М.: Мир, 1993. - 176 с.

Геворг Симонян, кандидат химични науки, доцент

Ереван държавен университет, Армения

Участник в шампионата: Национален шампионат по изследователски анализи - "Армения";

Открит европейско-азиатско първенство по изследователска аналитика;

Статията дава подробно обяснение на термините фрактал, фрактална размерност и дендрит. Дадени са множество примери за дендритни и фрактални структури на химични процеси и химични съединения.

Ключови думи:фрактал, дендрид, химично съединение.

Статията предоставя подробно обяснение на термините фрактал, фрактална размерност и дендрит. Дадени са множество примери за дендритни и фрактални структури на химични процеси и химични съединения.

ключови думи:фрактал, дендрит, химично съединение.

Концепцията за фрактал е въведена в научна употреба от Беноа Манделброт. Фрактал - от латинската дума фрактус, натрошен камък, нацепен, неправилна среда. Това по същество е неевклидова геометрия - негладка, грапава, назъбена, корозирала от проходи и дупки, груби и подобни обекти. Фракталните обекти са тези обекти, които имат свойствата на самоподобие или инвариантност на мащаба. Самоподобни могат да бъдат някои фрагменти от системата, чиито структури се повтарят в различни мащаби. Оказа се, че фракталите имат необичайни свойства. Например, "снежинката на Кох" има периметър с безкрайна дължина, въпреки че ограничава ограничена площ. Освен това той е толкова „бодлив“, че е невъзможно да се начертае допирателна към него в която и да е точка от контура (фиг. 1).

Ориз. 1. Кох снежинка

Прието е да се прави разлика между правилни и неправилни фрактали, от които първите са плод на въображението, подобно на кривата на Кох, а вторите са продукт на природата или човешката дейност. Неправилните фрактали, за разлика от обикновените фрактали, запазват способността си за самоподобие в ограничени граници, определени от действителния размер на системата.

Фракталната структура се характеризира с фрактална фракционна размерност. Фракталната размерност (D) е характеристика на нестабилното, хаотично поведение на системите. Последният показва степента, до която пространството е запълнено с обект или структура. Това измерение е въведено от Ф. Хаусдорф. За разлика от обикновените геометрични изображения - точка, права, квадрат, куб, които имат целочислена размерност (съответно 0, 1, 2 и 3), фракталните структури имат нецелочислена размерност. И така, за кривата на Кох D = lg 4 / lg 3 = 1,2618. Фракталната размерност на снежинката е 1,71, тоест, подобно на кривата на Кох, тя заема междинно положение между едно- и двумерни обекти.

Преди появата на термина "фрактали" в минералогията, а след това и в химията, се използва терминът "дендрит" и "дендритни форми". Дендритът е разклонена и разклоняваща се формация, която възниква по време на ускорена или ограничена кристализация при неравновесни условия, когато кристалът се разделя според определени закони. Те се разклоняват и растат в различни посоки, като дърво. Процесът на образуване на дендрити обикновено се нарича дендритен растеж. В процеса на дендритно развитие на обект, кристалографската закономерност на оригиналния кристал се губи с нарастването му. Дендритите могат да бъдат триизмерни обемни (в отворени кухини) или плоски двуизмерни (ако растат в тънки пукнатини в скали). Примерите за дендрити включват ледени шарки върху прозоречно стъкло, снежинки и живописни манганови окиси, които изглеждат като дървета в пейзажен халцедон и в тънки пукнатини в розов родонит. В зоните на окисление на рудните находища самородната мед, сребро и злато имат разклонени дендритни форми, докато самородният бисмут и редица сулфиди образуват решетъчни дендрити. За барит, малахит и много други минерали, например, "пещерни цветя" от арагонит и калцит в карстови пещери са известни бъбрековидни или кораловидендрити. Дендритите, като специфичен продукт на кристализация от разтвори, несъмнено притежават фрактални свойства, въпреки че практически всички сложни продуктиприродата и човешката дейност. По този начин статията показва, че фракталното самоподобие е характерно и за обектите петролни находища, съдържаща резервоари и самото масло. Когато водата се инжектира под налягане в нефтоносна формация, се наблюдават вискозни пръсти, които имат фрактална структура. При наводняване асфалтените се събират в големи клъстери с изразена фрактална структура.. Така, при концентрации на асфалтени от 0,1 g/L до 0,15 g/L, олигомери се образуват от асфалтенови мономери. При концентрация 1–3 g/l се получават подреждащи структурни наноколоиди с размер 2–10 nm от олигомери, които се състоят от 4–6 мономера. Наноколоидите в концентрационен диапазон 7-10 g/l преминават в частици, по-големи от 10 nm. Накрая при концентрация 25-30 g/l се образуват рехави фрактални структури.Показваме и особеностите на фракталните структури на биополимерите, като полизахариди - гликоген и хитозан, протеини, ДНК, лигнин. Показано е, че структурата на гликоген-животински нишесте е дендритна. Установено е, че в присъствието на бензоена киселина хитозанът образува филм, чиито клъстери имат фрактална размерност от 1,55 до 1,9. Показано е, че протеиновата повърхност проявява организация на две нива. Фракталното измерение на микронивото се колебае около 2,1, докато фракталното измерение за различни протеинови семейства варира от 2,2 до 2,8. Установено е, че ДНК образува сгъната фрактална глобула, в която веригата никога не е вързана на възел. Показано е, че макромолекулите на лигнина са фрактални агрегати, чиято фрактална размерност е ~2,5 в случай на растеж по механизма клъстер-частица и ~1,8 по механизма клъстер-клъстер.кониферилов алкохол , в DMSO лигнинът е под формата на фрактална глобула.Товаработата е обсъждане на особеностите на фракталните структури на химичните процеси и химикалите.

Статията показва, че при кристализацията на сплави от сребърен бромид с калиев бромид се образуват дендритни кристали. Плоски цинкови дендрити с фрактален размер 1,7 са получени чрез електролиза на разтвор на ZnSO 4 на границата с n-бутилацетат. Електролизата в твърдо състояние на AgBr дава сребърни дендритни структури.Трябва да се отбележи, че в последните временаконцепцията за дендрита е надхвърлила далеч отвъд областта на образуването на кристали. Като пример, дендритен полиарил етер, който е силно разклонен аналог на линейните полиарилови етери. Дендример, неорганичен супермолекулен комплекс от 1090 атома, включително 22 рутениеви йона , също е синтезиран. Въвеждането на пектин в разтвор на амониев хлорид води до образуването на гигантски дендрити, а малка примес на урея допринася за образуването на кристали със заоблени ръбове, наречени "кучешки зъб". Овчинников и колеги. предложи метод за получаване на водна система от разклонени фрактални клъстери на базата на L-цистеин и сребърен нитрат, включително смесване на разтвор на L-цистеин и разтвор на сребърен нитрат, така че първоначалната концентрация на L-цистеин в първоначалната смес е в диапазона от 1,14 10 -4 М до 1,17 10 -2 М, а концентрацията на сребърния нитрат е 1,2÷2 пъти по-висока от концентрацията на L-цистеин, поддържайки получената смес в термостат, защитен от светлина при температура 10÷60°C за 0,3-48 часа При въвеждане на малки количества разреден на солна киселинаспонтанната самоорганизация на разтвора възниква с образуването на гелна структура.

В рамките на модела масло-вода, кинетиката на реакцията на водоразтворим N-[три(хидроксиметил)метил]акриламид с мастноразтворим дециламин в двуфазна система вода-хептан в отсъствието и присъствието на е изследвано повърхностно активното вещество. Показано е, че реакционният продукт има фрактална структура.

В химията има много забавни експерименти за получаване на метални дендрити, като например "Сатурново дърво", "Меркурийно дърво" и "Дърфманово дърво".

"Сатурново дърво" понякога се нарича дървото на Парацелз, лекарят алхимик, основателят на фармацевтичната химия. Приготвяне на едно от неговите лекарства чрез разтваряне в оцетна киселинаметално олово, той решил да добави живак и затова внесъл парчета цинк в съда (в онези дни много химични елементи, включително много често срещани метали, все още не са идентифицирани истински и се смяташе, че цинкът съдържа много живак, поради което е толкова топим). Тъй като нямаше време да продължи експеримента, Парацелз напусна съда за няколко дни и колко беше изумен, когато видя лъскави клонки с неизвестна природа върху парчета цинк! Ученият смята, че живакът, след като се втвърди, излиза от парчетата цинк. По-късно красивото „дърво” е наречено „сатурново” с алхимичното име на олово. За да отгледате „сатурново дърво”, воден разтвор от 25–30 g оловен ацетат в 100 ml вода се излива във висока чаша или стъклен цилиндър и в него се потапя плоча, почистена с фина шкурка.или цинкова пръчка. Вместо това можете да окачите няколко парчета цинк на конец, също почистен с шкурка. С течение на времето върху цинковата повърхност растат разклонени и лъскави оловни кристали, враснали един в друг. Появата им се причинява от реакцията на редукция на оловото от сол от по-химично активен метал.

Zn + Pb (CH 3 COO) 2 \u003d Pb + Zn (CH 3 COO) 2.

На Парацелз се приписва и получаването на калаени кристали върху парчета цинк - „дървото на Юпитер“. За отглеждането на такова "дърво" воден разтвор от 30 - 40 g калаен хлорид SnCl 2 в 100 ml вода се излива във висок стъклен съд и се потапя цинкова плоча.

Zn + SnCl 2 \u003d Sn + ZnCl 2.

Сребърно "Дърфманово дърво" се получава чрез изливане на 10% воден разтвор на сребърен нитрат AgNO 3 в стъклена чаша с капка живак на дъното. Първо, живакът е покрит със сив филм от сребърна амалгама (сплав от живак със сребро) и след 5 - 10 секунди върху него бързо започват да растат блестящи игловидни сребърни кристали. След няколко минути иглите започват да се разклоняват и след час в съда израства искрящо сребърно дърво. Тук е много важно стриктно да се спазва препоръчителната концентрация на сребърен нитрат: при по-ниско съдържание на AgNO 3 не се наблюдава растеж на метални сребърни кристали, а при по-високо съдържание кристализацията на среброто протича без образуването на разклонени кристали.

Hg + 2AgNO 3 \u003d 2Ag + Hg (NO 3) 2

Интересни многоцветни силикатни дендрити се получават чрез смесване на натриев силикат и соли на някои метали. И така, разтвор на търговско силикатно лепило (натриев силикат Na 2 SiO 3), разреден с равен обем вода, се излива в чаша. На дъното на чашата се хвърлят кристали от хлориди: калциев хлорид CaCl 2, манганов хлорид MpCl 2, кобалтов хлорид CoCl 2, никелов хлорид NiCl 2 и други метали. След известно време в стъклото започват да растат дендрити от кристали на съответните слабо разтворими силикати, наподобяващи водорасли:

Na 2 SiO 3 + CaCl 2 → CaSiO 3 ↓ + 2NaCl

Na 2 SiO 3 + MpCl 2 → MnSiO 3 ↓ + 2NaCl

Na 2 SiO 3 + CoCl 2 → CoSiO 3 ↓ + 2NaCl

Na 2 SiO 3 + NiCl 2 → NiSiO 3 ↓ + 2NaСl

В работата са посочени стойностите на индекса на фракталност на отделни участъци от изкуствени кристали готварска сол. Открити са ефектите от анизотропията на фракталните характеристики. Изследваните повърхности се характеризират с ниски стойности на фракталната размерност (2.0-2.2), съответстващи на слаба степен на грапавост.Разглежда се въпросът за връзката между фракталните параметри и механичните характеристики.

Ако кристалите на натриев хлорид растат, когато разтворът се изпари от повърхността на пореста керамика, те често приемат формата на влакна. В случай на изпаряване на солев разтвор от повърхността на хартията е възможно да се получат израстъци от кристали под формата на клони - дендрити. Много е лесно да се проведе такъв експеримент. Необходимо е да навиете правоъгълно парче филтърна хартия в цилиндър с диаметър 2-3 см и височина 15-25 см, да поставите цилиндъра вертикално в паничка на Петри и да го фиксирате отгоре. Натриевият хлорид се изсипва в чашата почти до върха, като се добавя малко жълта кръвна сол K 4 (четвърт чаена лъжичка), след това се разбърква и се добавя вода, така че да намокри добре солта и разтворът да започне да се издига нагоре по филтърната хартия . Разтворът постепенно ще се изпари от повърхността на хартията, а свежите порции ще се издигат от чашата на нейно място (поради капилярния ефект). Когато разтворът се изпари, добавете вода в чашата и добавете сол. Постепенно по повърхността на хартията ще започнат да растат солни кристали, които след няколко дни ще придобият формата на клонки (фиг. 2). Самият хартиен цилиндър ще изглежда като бял корал. Добавянето на жълта кръвна сол благоприятства образуването на влакнести кристали на натриев хлорид. Без нея готварската сол просто образува коричка върху повърхността на хартията.

Ориз. 2. Необичайни кристали сол

Кристалите на дихидрат на NaCl 2H 2 O се образуват в солените езера в зимно време. Когато температурата спадне достатъчно, се образуват натрупвания на този минерал, който се нарича хидрохалит.

литература:

• 1. Mandelbrot B. B. Les Objects Fractals: Forme, Hasard et Dimension. Париж: Flammarion, 1975, 192 с.
• 2. Манделброт Б. Фрактална геометрия на природата. М.: Институт за компютърни изследвания, 2002, 656 стр.
• 3. Григориев Д.П. За разликата между минералогичните термини: скелет, дендрит и пойкилит. //Изв. Университети, геол. и развитие 1965, бр.8, с. 145-147.
• 4. Симонян Г.С. Фракталност на нефтените находища и нефт // Технология на нефта и газа. 2015, бр.3, с. 24-31.
• 5. Симонян Г.С., Симонян А.Г. Фракталност на биологичните системи. Фракталност на биополимерите.// Успехи на съвременното естествознание. 2015, бр.11, с. 93-97.
• 6. Третяков Ю.Д. Дендрии, фрактали и материали. // Soros Žeducational † Journal. 1998, бр. 12, с. 96-102.
• 7. Шубников А. В., Павров В. Ф. Произход и растеж на кристалите. М.: Наука, 1969, 73 с.
• 8. М. М. Овчинников, С. Д. Хижняк и П. М. Пахомов, Сб. „Физична химия на полимерите”, Твер, 2007, том 13, стр. 140-147.
• 9. М. М. Овчинников, С. Д. Хижняк и П. М. Пахомов, Сб. „Физична химия на полимерите”, Твер, 2008 г., том 14, с. 186-194.
• 10. Симонян Г.С. Реакция на Майкъл в моделна двуфазна система масло-вода. Конкретен случай в условия на безграничност: Земя в необятната вселена Материали на LXXIV Международната научно-практическа конференция и III етап от шампионата по науки за Земята и космоса, физика, математика и химия (Лондон, 19 декември - 24 декември 2013 г.) Издател и продуцент Международна академия на науките и висшето образование.2014 г. стр.60-62.
• 11. Адамян Р., Кочикян Т., Симонян Г. Лабораторна работа по химия. Ереван-2011, 164 стр. (на арменски)
• 12. В. Н. Аптуков, В. Ю. Сер. механика. математика. информатика. 2014, бр. 4(27), с. 16-21.

Вашата оценка: Несреден: 8.5 (4 гласа)

През последните години бяха публикувани много изследвания на фракталната структура на повърхностите. Всичко беше обявено за фрактално – от молекулярните повърхности на протеините до пистите на летищата. Тези изследвания прилагат пълния набор от методи на химията и физиката. Най-общо казано, наблюдаваното фрактално поведение не обхваща широки (няколко порядъка) диапазони от пространствени мащаби и може да се съмнява в надеждността на намерените оценки на фракталната размерност. Въпреки това, много добре анализиран интересна сериянаблюдения и тук обсъждаме някои нови резултати.

14.1. Наблюдава се топография на повърхността

Продажбите и Томас измерват и анализират грапавостта на повърхността на различни обекти, от обшивки на супертанкери и бетонни въздушни писти до ставни повърхности и метални повърхности с четка.

Височината на повърхността е измерена в различни точки в определена посока. Имайки голям брой измервания върху цялата налична повърхност, е възможно да се изчисли грапавостта на повърхността, определена от дисперсията

Тук ъгловите скоби означават осредняването по серия от измервания (понякога многократно повтарящи се) на топографията на повърхността. Вертикалната референтна точка е избрана така, че

Важна мярка за статистическите свойства на повърхността е корелационната функция, дефинирана от връзката

За стационарни повърхности корелационната функция може да бъде изразена чрез спектъра на мощността с помощта на трансформацията на Фурие

(щракнете, за да видите сканиране)

Пространствената честота е свързана с дължината на вълната на повърхностните неравности X чрез равенството Физическите системи имат краен обхват и съответно минимална пространствена честота. Следователно корелационната функция може да се пренапише във вида

Продажбите и Томас предполагат, че спектърът на мощност е

и наричаме константата k "отстъп". При това предположение дисперсията е

т.е. получаваме и дисперсията се увеличава с размера на повърхността, както се очаква за гаусовите случайни процеси.

На фиг. 14.1 възпроизведе резултатите от тази работа. Стойност, изобразена като функция. Ако уравнението (14.1) е вярно, тогава бихме очаквали тази диаграма да бъде права линия с наклон 2. Продажбите и Томас откриха изненадващо сближаване на резултатите за 23 типа повърхности, обхващащи 8 десетилетия на дължина на вълната. Тези автори смятат, че стойността на k уникално определя статистическите геометрични свойства на произволните компоненти на изотропна повърхност за този диапазон на дължината на вълната!

Трябва да се отбележи обаче, че апроксимацията на наблюдаваната спектрална плътност чрез зависимост (14.1) определя k и при избраната нормализиране тази зависимост приема формата на логаритмичен график, в който отделните сегменти се изместват по вертикалната ос y, така че че те са възможно най-близо до линията.При тази процедура апроксимацията ще изглежда толкова по-добре, колкото по-широк е обхватът на изходните данни.

Бери и Хани отбелязват, че статистически изотропните повърхности, на които не се разграничава мащаб и чието ниво е добре дефинирано, но недиференцируемо, наистина могат да имат фрактален спектър:

Както е показано от Манделброт, експонентът е равен на фракталната коразмерност и се изразява чрез фракталното измерение на повърхността, както следва

За Браунови повърхности, т.е. в случай на обикновени гаусови статистики, получаваме равенството (14.1), използвано от Сейлс и Томас, тъй като за такива повърхности

Ориз. 14.2. Хистограма на стойностите на индикатора за 23 серии от измервания, представени на предишната фигура.

Въпреки това, за параметър a трябва да се намери стойността, която осигурява най-доброто приближение и се оказва в диапазона от 1,07 до 3,03, което съответства на стойности на фракталната размерност от 2 до 3. В отговор на тази забележка , Sales и Thomas извършиха нова апроксимация на своите данни и изградиха хистограма на оценките на спектралния параметър a, показан на фиг. 14.2. Получените стойности се групират около гаусова стойност от 2, но се разпределят в допустим диапазон от 1 до 3. Този резултат изглежда разумен, тъй като едва ли може да се очаква, че повърхностите на сачмени лагери и повърхностите на пистата имат същите статистически свойства. Въпреки това Продажбите и Томас получиха интересни резултати и те трябва да бъдат критично проверени спрямо висококачествени данни.

Фрактални разломни повърхности. Когато метално тяло се счупи, получената повърхност на счупване е грапава и неправилна. Манделброт и др. изследват фракталната структура на такива повърхности. Те изследваха счупванията на проби от мартензитна стомана марка 300. Счупванията първо бяха никелирани и след това шлифовани успоредно на равнината на счупване. Резултатът е "остров" от стомана, заобиколен от никел; с по-нататъшно полиране островите нарастват и се сливат един с друг. Дължината на "бреговата линия" или периметърът и площта A на такива острови се измерва с помощта на "стандарт" с дължина

Фракталните повърхности, подобно на разломните повърхности, трябва да се характеризират с различни закони за подобие във и през равнината на разлома. Следователно, повредите могат да бъдат най-добрият случайсамоаффинни с локална фрактална размерност. Обаче пресечната точка на такава самоафинна повърхност с равнина дава

Ориз. 14.3. Съотношението на периметъра и площта за повърхността на счупване на мартензитна стомана марка 300. Правата линия показва приближението при

брегови линии, които несъмнено са самоподобни и имат фрактална размерност. Следователно, съотношението периметър-площ (12.2) може да се използва, записано като

На фиг. 14.3 показва резултатите на Mandelbrot et al. Апроксимацията чрез зависимост (14.3) дава оценка, от която следва, че в забележим диапазон от мащаби повърхността на разлома има фрактална размерност. Манделброт и неговите съавтори провериха оценката на фракталната размерност чрез анализиране на профилите на разломната повърхност. За да се открие неговия профил, повърхността се изрязва и се изчислява спектралната плътност на измерените профили.По отношение на (14.2) се намира стойността и след това фракталното измерение на повърхността

което е в добро съответствие с предишната оценка.

В друга серия от интересни експерименти Манделброт и др. подлагат проби от 300 мартензитна стомана на топлинна обработка при различни температури. След това количеството енергия, което

Ориз. 14.4. Връзка между измерените фрактални размери на повърхността на счупването и енергията, необходима за счупване на серия от образци от мартензитна стомана марка 300, закалена при различни температури.

трябва да бъдат вградени, за да се разрушат пробите, и беше определена фракталната размерност на разломните повърхности. На фиг. 14.4 се представят получените резултати. Ясно се вижда, че фракталните размери, съдържащи се в границите, приблизително линейно зависят от входната енергия. Връзката на тази зависимост с естеството на металургичните процеси е неясна, но след откриването на зависимостта на фракталната размерност на разлома от вложената енергия се очертава поне един подход за изследване на топографията на повърхността.

Теоретичната физика на твърдото тяло разглежда главно равновесните системи. Необратимите процеси се разглеждат само по много опростен начин – като малки смущения, например при изследване на транспортните явления. Известно е, че кондензирано състояние на материята може да съществува не само под формата на плътна непрекъсната среда, но и под формата на силно разхлабени порести структури. Структури от този вид се образуват като правило в резултат на кондензация при сложни неравновесни условия, например, когато твърдите частици, движещи се по определен закон, се слепват заедно или в резултат на взаимодействието на дислокации по време на пластична деформация на метали. Такива структури се наричат фрактални агрегати. В по-голямата си част те са неуредени, трудни за изследване, а макроскопските им свойства са слабо проучени. Фракталният агрегат на всяко вещество се образува при определени физически условия, които не са напълно изяснени. Въпреки това, това, което вече е известно, прави възможно използването на законите за образуване на фрактални агрегати за създаване на материали с необичайни физични свойства. Фракталните твърди среди, образувани в условията на разсейване на енергия в отворени системи и представляващи самоорганизирани структури, имат редица необичайни свойства, които не могат да бъдат получени с помощта на традиционните методи за формиране на структурното състояние на материята. движеща силасамоорганизацията в дисипативните системи е желанието на материята в отворените системи да намали ентропията. Характерни особености на фракталните структури - самоподобие, мащабна инвариантност, структурна йерархия, наномащабна порьозности фрактална размерност.

Фракталните системи в твърдо състояние са нов типструктурно състояние на материята, характеризиращо се с уникални физични свойства. Фракталните твърдотелни системи се образуват от атоми или молекули, както и от наноразмерни частици или клъстери. Фракталните микро- или макроскопични структури, образувани от такива частици или клъстери, представляват интерес както за изследване на фундаментални свойства, така и за използването им в новите технологии. Експериментално е установено, че фрактална структура, образувана от метални наночастици, е способна да абсорбира електромагнитно излъчванев диапазона на дължината на вълната на светлината. Показано е, че термоелектричната мощност на фракталната структура на въглерода се увеличава с почти порядък в сравнение с графита.

В много случаи фракталната структура на твърдо вещество осигурява високи специфични якостни характеристики, ниска топлопроводимост и предаване на звук. Следователно получаването и изучаването на вещества с определена фрактална структура е неотложна задача. Характерна особеност на фракталните образувания е, че структурата им се появява само при съвместно разрешаване на няколко нива, чиято разлика в мащабите затруднява представянето на визуално геометрично изображение (като пресечена брегова линия).

Въпреки че наблюдението на самите многомащабни структури е трудно, тяхното последователно описание може да бъде постигнато само в рамките на фрактална идеология. Това се дължи на факта, че такива неравновесни системи са представени като суперансамбли, състоящи се от йерархично подчинени статистически ансамбли, които от своя страна се състоят от набор от подансамбли и т.н. Следователно, говорейки за фрактали в кондензирана среда, трябва да се има предвид преди всичко използването на понятието, а не буквалното описание на наблюдаваното геометрично изображение.

Една от най-важните характеристики на фракталните структури, която ги определя физични свойства, е фрактална размерност.

Математическо определение на фракталната размерност. Обемът на фрактала в неговата пространство за гнезденевинаги е нула. Въпреки това, той може да бъде различен от нула в пространство с по-ниско измерение. Да се ​​определи размерът на това пространство д, нека разбием всичко н-размерно пространство на малки кубчета с дължина на ръба ε и обем ε н(фиг. 14.12).

Ориз. 14.12 Дефиниция на фракталната размерност

Позволявам н(ε) - минималният брой кубчета, които заедно напълно покриват фракталното множество, тогава по дефиниция

Тази стойност обикновено се нарича Хаусдорфили фрактална размерност.

Наличието на тази граница означава, че обемът на фрактала е краен в д-размерно пространство за малко ε:

н(ε)≈ Vε – д , (14.104)

където V= const.

По този начин, н(ε) не е нищо друго освен числото д-размерни кубчета, покриващи в д- размерен обем на пространството V, тъй като покриване на фрактала н-измервателните кубчета могат да бъдат почти празни

д< н, (14.105)

и за разлика от обичайното измерение дможе да бъде дробна стойност, която най-често е за фрактални множества. Очевидно за обикновените множества това определение води до добре известни резултати. Така че за мнозина низолирани точки имаме н(ε) = ни следователно

За сегмент е достатъчна гладка линия с дължина L N(ε) = Л/ε и следователно д= 1. За сайта Сдвуизмерна повърхност н(ε) = С/ε 2 и д= 2 и т.н.

Първоначално фракталът е въведен като геометричен обект в обикновеното физическо пространство. Ето защо е препоръчително да започнете разглеждането на примери за фрактали с визуалните геометрични конструкции на Кантор и Кох. Изборът им се дължи на факта, че в първия случай фракталната размерност дпо-малко топологичен d, а във втория д > д.

Канторски комплект. Вземете сегмент с дължина 1 . Разделяйки го на три равни части, изключваме средната част. С останалите два сегмента ще направим същата процедура и в резултат ще получим 4 сегмента с дължина 1/9 всеки и т.н. до безкрайност (фиг. 14.13).

Ориз. 14.13. Конструкция на комплекта Cantor

Наборът от точки, които се появиха след тази процедура, е Канторски комплект. Лесно е да се види, че дължината Лтози набор е нула. Наистина ли,

Нека сега намерим нейното хаусдорфово или фрактално измерение. За да направите това, ние избираме като "стандарт" сегмент с дължина

Минималният брой такива сегменти, необходими за покриване на множеството е

н(ε) = 2 н. (14.109)

Следователно неговата фрактална размерност

Снежинка Кох. Пример за конструиране на този фрактал е показан по-долу на фиг. 14.14

Ориз. 14.14 Кох снежинка

Снежинка Кохе линия с безкрайна дължина, ограничаваща крайна площ. Първото твърдение се доказва много просто. Ако забележим, че на всяка стъпка броят на страните на многоъгълника се увеличава 4 пъти, а дължината на всяка страна намалява само с 3 пъти. Ако вземем дължината на страната на генериращия триъгълник като 1, тогава дължината на снежинката на Кох:

Площта под кривата, ако вземем площта на генериращия триъгълник за 1, е равна на

Тук взехме предвид, че всеки път броят на допълнителните триъгълници се увеличава 4 пъти, а страната им намалява с 3 пъти (съответно площта им намалява с 3 2 = 9 пъти). В крайна сметка:

По този начин площта под снежинката на Кох е 1,6 пъти по-голяма от площта на триъгълника, който я образува. Намерете фракталното измерение на снежинката на Кох. Както вече казахме, на н-стъпков брой страни на триъгълници н(ε) = 3×4 н, а дължината на страната ε = 1/3 н. Ето защо

Салфетка Сиерпински. Първите три стъпки в изграждането на този фрактал ( Салфетките на Сиерпински) са показани на фиг. 14.15, а самият фрактал - на фиг. 14.16.

Ориз. 14.15. Конструкция на салфетката Sierpinski

Ориз. 14.16. Салфетка Сиерпински

Броят на триъгълните пори с по-малък и по-малък мащаб в него е безкраен. Броят на черните триъгълници в тази конструкция нараства като 3 н, където н- номер на стъпката, а дължината на тяхната страна намалява с 2 - н. Следователно фракталното измерение е:

Може да се покаже, че площта на белите петна е равна на площта на оригиналния триъгълник.

Разгледаните по-горе примери за фрактали принадлежат към т.нар точни фракталиили детерминистичен. Всички те са построени според добре дефинирано геометрично правило. Освен точните фрактали съществуват и т.нар произволни фрактали. Има известна доза произволност в подреждането на техните елементи.

Брауново движение. Най-простият случаен фрактал е траекторията на образуване на частица Брауново движение(фиг. 14.17).

Ориз. 14.17 Траектория на Браунови частици

И въпреки че самата траектория има много сложен криволичещ характер, е много лесно да се определи нейното фрактално измерение. За това отбелязваме, че ако частицата е дифундирала на разстояние Р, след това средният брой „стъпки“, които е направила

където ле характерната дължина на една стъпка. Ето защо:

Това означава, че характерният размер на дифузионната траектория в дадена област е пропорционален на размера на тази област. Тоест, траекторията на самолета е доста „плътна“. Това обаче не означава, че площта, изметната от самата дифузионна крива, е крайна поради многото самопресичания. Може да се покаже, че за двуизмерно Брауново движение, вероятността за връщане към произволно малък квартал на произволно избрана точка е равна на 1. В случай на дифузия в триизмерно пространство, траекторията на Браунова частица е , напротив, много хлабав (фракталната му размерност все още е равна на 2) и не запълва целия обем, предоставен й. В този случай вероятността за връщане е по-малка от единица.

Фрактални клъстери. Друг пример за произволен фрактал, по-сложен, но също толкова често срещан по природа, се получава в процеса на така нареченото агрегиране с ограничена дифузия. Може да се моделира по следния начин. Върху сфера (кръг в двуизмерния случай) с достатъчно голям радиус, на чиято повърхност от време на време се появяват частици на произволни места, които след това дифундират в сферата. В центъра на сферата е така нареченият "ембрион". При сблъсък с него дифузиращата частица се "залепва" за него и вече не се движи. След това следващата частица, освободена от повърхността на сферата, се сблъсква с това образувание и така нататък до безкрай. Потокът от частици от повърхността на сферата ще се счита за достатъчно малък, така че сблъсъците на дифундиращи частици една с друга могат да бъдат пренебрегнати. В резултат на това се образува много пореста структура, в двуизмерния случай, показан на фиг. 14.18.

Ориз. 14.18. Фрактален клъстер, получен в процеса на дифузионно ограничено агрегиране

Големите пори вътре са "екранирани" от процеси с доста голяма дължина. С нарастването на структурата броят на порите и техните размери се увеличават. В двуизмерния случай фракталната размерност на такъв клъстер се оказва близка до стойността д = 1,7.

В природата такива фрактални клъстери са много често срещани. Така, например, кристалите растат от пренаситен разтвор, снежинки, корали, тумори в живи организми, обикновени сажди от пещ. В суперйонни проводници, като AgBr, такива клъстери ограничават времето си практическа употреба. Тъй като при достатъчно дълго преминаване на ток подвижните сребърни йони, когато се комбинират, образуват фрактален клъстер, който в крайна сметка затваря електродите и деактивира пробата на проводника.

Интересен пример за случаен фрактал са моделите на нашата вселена.

Вселената на Фурние. Представете си сфера с много голям радиус Р(космическа скала), вътре в която има много голям брой звезди н>> 1. Ясно е, че броят нтрябва да се увеличава с увеличаване на радиуса на сферата. Просто ни интересува тази зависимост н(Р). Ако звездите, галактиките, куповете галактики бяха разпределени равномерно във Вселената с някаква постоянна плътност, тогава броят на звездите в сфера с радиус Рби било пропорционално на обема на тази сфера, т.е.

Астрономическите наблюдения обаче показват това

Където д» 1.23, (14.119)

тези. фракталното (Хаусдорфово) измерение е много по-близо до 1, отколкото до 3. Това означава, че нашата Вселена е почти едномерна! Как може да се разбере това качествено? За да направите това, нека вземем пример Вселената на Фурние. Той е предложен през 1907 г. от американския писател на научна фантастика Фурние. Фрагмент от неговата структура е показан на фиг. 14.19.

а	б

Ориз. 14.19. Вселената на Фурние. Коефициент на радиус Р 2 /Р 1 = Р 3 /Р 2 = ... = 7

Всяка точка на тази снимка представлява една галактика. Те са групирани в групи с радиус Р 1 със 7 галактики във всеки куп (фиг. 14.19, б). На фиг. 14.19, асамо пет от тях се виждат: липсващите две са разположени симетрично над и под равнината на фигурата, на права линия, минаваща през центъра на купа. От своя страна седем такива клъстера са обединени по подобен начин в един суперклъстер с радиус Р 2. След това по същия принцип се изгражда един суперсуперклъстер с радиус от седем суперклъстера Р 3 и Р 3 /Р 2 = Р 2 /Р 1 и т.н. В резултат на многократно повторение на такъв процес възниква самоподобна фрактална структура. От тази фигура е очевидно, че броят на звездите в куп с радиус Р 7 пъти повече от броя на звездите в куп с радиус Р/7:

Ако приемем, получаваме д= 1. И така, Вселената на Фурние е едноизмерен. Числото 7, което е проникнало в тази схема, не играе основна роля. На негово място може да бъде всяко друго число. Ясно е също, че чрез промяна на съотношението между размерите на клъстерите и броя на елементите в тях може да се конструират фрактални модели на Вселената с други измерения, близки до 1 д. Забележете също, че Вселената на Фурние е точен фрактал, което, разбира се, нашата вселена не е. Как и какви закономерности водят до фракталната структура на Вселената все още не е известно. Ще споменем само в тази връзка т.нар пръстени на сатурн, които имат много рехава и разнородна структура с процепи с различни размери, в които няма астероиди, от най-големия - т. нар. участък Касини, до най-малкия. Предполага се, че структурата на пръстените на Сатурн е фрактална. Ако е така, тогава това би било ясно потвърждение, че гравитацията е способна да създава фрактални структури в разпределението на материята във Вселената.

Фрактални свойства на хаоса. Фракталната геометрия и понятията естествено се появяват в нелинейната нютонова динамика, когато движението на системата е хаотично. Това, например, се случва при принудителни трептения на анхармоничен осцилатор, описани с най-простото едномерно уравнение:

къде е силата Ф(х) - нелинейна функция на преместване х. В определени интервали от стойности на параметрите γ, е 0 , Ω движението е хаотично. Ако, да речем, маркираме състоянията на системата на фазовата равнина х, при дискретни времена 0, 2π/Ω, 4π/Ω, ... , след това за хаотичен сигнал х(T) полученият набор от точки е канториански, т.е. е фрактал (фиг. 14.28). Размерността на Хаусдорф на фрактала естествено зависи от стойностите на параметрите и се намира в рамките на 0<д<2. В настоящее время не существует аналитических методов решения подобных уравнений. Большинство результатов в этой области получено путем компьютерного моделирования. То же относится и к вычислению фрактальной размерности д. Да, за Уеда атракторпоказано на фиг. 14.20 числените изчисления дават д ≈ 1,6.

Хаотичността на движението означава невъзможност за точното му предсказване, въпреки зададените начални условия и теоремата за единствеността на решението. Следователно всъщност можем да говорим за изчисляване само на вероятността за откриване на система в един или друг елемент от фазовия обем. Такова статистическо описание на хаотичното движение не е резултат от нашето незнание за движението или несъвършенството на нашите компютри. Той отразява дълбоките вътрешни свойства на самото движение. И едно от тези свойства е фрактална геометрияфазови траектории.

Ориз. 14.20. Уеда атрактор за уравнението:

Още да кажа: детерминистичен хаосвинаги е фрактален, което определя значението на фракталните понятия във физиката.

Фракталните агрегати могат да се получат и чрез промяна на дислокационната структура в метала с непрекъснато нарастващи степени на деформация, което води до създаване на клетъчна структура (фиг. 14.21). В началния етап на пластична деформация се образуват значителен брой дислокации, равномерно разпределени в обема. При по-високи степени на деформация се образуват клъстери под формата на намотки и рехави клетъчни стени. В крайна сметка се образува добре дефинирана клетъчна структура.

Ориз. 14.21. Схематично представяне на трансформацията на хомогенна дислокационна структура в клетъчна:

а– хаотично разпределение на дислокациите; б, в– образуване на дислокационни намотки и хлабави стени; г– конструкции от пчелна пита

Смята се, че клъстерите от дислокации, които образуват клетъчните стени, са фрактали, чийто размер първо се увеличава от д= 1 (равномерно разпределение на дислокациите) до 1<д<2 (рыхлые скопления) и затем достигает д= 2 (геометрични клетъчни стени). Тези примери показват възможността за създаване на фрактални структури в твърди тела, чиято компактност е близка до равновесната.

Най-простият експериментален метод за определяне на фракталната размерност на двуизмерни плоски образувания е методът на мрежата. Плоско изображение на фрактална формация е разделено на квадратни клетки (пиксели) в диапазона от експериментални размери фрактален агрегат. Област на обекта Си неговия периметър Лопределя се от броя на пикселите, които покриват Си кръст Л.Размерът на един пиксел (мрежова клетка) се определя от разделителната способност на устройството, в което се анализира повърхностната структура на обекта. Като цяло съотношението между Си Лдвуизмерен обект е представен като:

където де фракталната размерност на обекта; μ( д) е величина, независима от Л. Изграждане на зависимост ln Сот ln Лпри използване на най-малко десет решетки от пиксели, позволява получаване на стойностите на фракталното измерение на плоски фрактални обекти. Когато обектът на изследване има гладка външна граница, д= 2 и С » Л 2. Нецелочислена стойност (1< д < 2) является свидетельством плоской фрактальной структуры.