"Jednotky merania fyzikálnych veličín" - Absolútna chyba sa rovná polovici dielika stupnice meracieho prístroja. Mikrometer. Výsledok sa získa priamo pomocou meracieho zariadenia. Dĺžka krabičky: 4 cm krátka, 5 cm cez. Pre každú fyzikálnu veličinu existujú zodpovedajúce jednotky merania. Sledujte. Relatívna chyba.
„Hodnoty dĺžky“ - 2. Aké veličiny možno navzájom porovnávať: 2. Vysvetlite, prečo sa nasledovný problém rieši pomocou sčítania: 2. Zdôvodnite výber akcie pri riešení úlohy. Koľko balíkov ste dostali? Koľko pier je v troch z týchto škatúľ? Šaty boli ušité z 12 m látky, každá minula 4 m. Koľko šiat bolo ušitých?
"Fyzikálne veličiny" - Hranice oddeľujúce fyziku a iné prírodné vedy, sú historicky podmienené. Výsledok akéhokoľvek merania vždy obsahuje nejakú chybu. Nová téma. Rýchlosť. Telefonická interakcia. Fyzikálne zákony sú prezentované vo forme kvantitatívnych pomerov vyjadrených v jazyku matematiky. Chyba merania.
Hodina matematiky „Číslo ako výsledok merania hodnoty“ - „Číslo ako výsledok merania hodnoty“ v 1. ročníku. Meranie dĺžky segmentu pomocou meradla.
"Čísla a množstvá" - Oboznámenie sa s pojmom hmotnosť. Porovnanie hmotností bez meraní. Rímsky písané číslovanie. Kapacita. Žiak sa naučí: Čísla a veličiny (30 hodín) Súradnicový lúč Pojem súradnicový lúč. Plánovaný predmet vyúsťuje v časti „Čísla a množstvá“ v 2. ročníku. Všeobecný princíp tvorba kardinálnych čísel v rámci študovaných čísel.
"Veľkosť dopytu" - Príčiny zmien dopytu. Krivka DD získaná na grafe (z anglického dopytu – „dopyt“) sa nazýva krivka dopytu. Elastická požiadavka (Epd>1). Výška dopytu. Faktory ovplyvňujúce dopyt. Závislosť dopytovaného množstva od cenovej hladiny sa nazýva miera dopytu. Absolútne nepružný dopyt (Epd=0).
71, Číselné charakteristiky náhodných veličín sa v praxi široko používajú na výpočet ukazovateľov spoľahlivosti. V mnohých otázkach praxe nie je potrebné úplne, vyčerpávajúco charakterizovať náhodnú premennú. Často stačí uviesť len číselné parametre, ktoré do určitej miery charakterizujú podstatné znaky rozdelenia náhodnej premennej, napr. priemerný , v blízkosti ktorej sú zoskupené možné hodnoty náhodnej premennej; číslo charakterizujúce rozptyl náhodnej premennej vo vzťahu k priemernej hodnote atď. Číselné parametre, ktoré umožňujú v komprimovanej forme vyjadriť najvýznamnejšie znaky náhodnej premennej, sa nazývajú číselné charakteristiky náhodnej premennej.
a) b)
Ryža. 11 Definícia očakávania
Číselné charakteristiky náhodných veličín používaných v teórii spoľahlivosti sú uvedené v tabuľke. jeden.
72, Očakávanie(stredná hodnota) spojitej náhodnej premennej, ktorej možné hodnoty patria do intervalu 
, je určitý integrál (obr. 11, b)
. (26)
Matematické očakávanie možno vyjadriť ako doplnok integrálnej funkcie. Za týmto účelom dosadíme (11) do (26) a výsledný výraz integrujeme po častiach
, (27)
pretože 
a 
, potom
. (28)
Pre nezáporné náhodné premenné, ktorých možné hodnoty patria do intervalu , vzorec (28) má tvar
. (29)
t.j. matematické očakávanie nezápornej náhodnej premennej, ktorej možné hodnoty patria do intervalu , sa číselne rovná ploche pod grafom doplnku integrálnej funkcie (obr., 11, a).
73, Stredný čas do prvého zlyhania podľa štatistických informácií sa určuje podľa vzorca
, (30)
kde je čas na prvé zlyhanie i-tý predmet; N- počet testovaných objektov.
Podobne sa určuje priemerný zdroj, priemerná životnosť, priemerná doba obnovy, priemerná trvanlivosť.
74, Rozptyl náhodnej premennej okolo jej očakávanej hodnoty hodnotené pomocou rozptyl štandardnej odchýlky(RMS) a koeficient variácie.
Rozptyl spojitej náhodnej premennej X je matematické očakávanie druhej mocniny odchýlky náhodnej premennej od jej matematického očakávania a vypočíta sa podľa vzorca
. (31)
Disperzia má rozmer štvorca náhodnej premennej, čo nie je vždy vhodné.
75, Štandardná odchýlka náhodná premenná je druhá odmocnina rozptylu a má rozmer náhodnej premennej
. (32)
76,Koeficient variácie je relatívny indikátor rozptylu náhodnej premennej a je definovaný ako pomer štandardnej odchýlky k matematickému očakávaniu
. (33)
77, Gamma - percentuálna hodnota náhodnej veličiny- hodnota náhodnej veličiny zodpovedajúca danej pravdepodobnosti 
že náhodná premenná nadobúda hodnotu väčšiu ako
. (34)
78, Gama - percentuálnu hodnotu náhodnej veličiny je možné určiť pomocou integrálnej funkcie, jej doplnkovej a diferenciálnej funkcie (obr. 12). Percentuálna hodnota gama náhodnej premennej je kvantil pravdepodobnosti (obr. 12, a)
. (35)
Teória spoľahlivosti využíva gama percentuálna hodnota zdroja, životnosť a skladovateľnosť(Stôl 1). Percento gama sa nazýva zdroj, životnosť, trvanlivosť, ktorý má (a presahuje) percento objektov daného typu.
a) b)
Obr.12 Určenie percentuálnej hodnoty gama náhodnej veličiny
Zdroj gama percent charakterizuje trvanlivosť na zvolenej úrovni 
pravdepodobnosť nezničenia. Zdroj gama percent sa priraďuje s prihliadnutím na zodpovednosť objektov. Napríklad pre valivé ložiská sa najčastejšie používa 90% zdroj, pre ložiská najdôležitejších predmetov sa volí 95% zdroj a viac, čím sa približuje k 100%, ak je porucha život ohrozujúca.
79, Medián náhodnej premennej je jeho gama percentuálna hodnota pri 
. Pre medián 
je rovnako pravdepodobné, že náhodná premenná bude T viac alebo menej ako to, t.j.
Geometricky je medián úsečkou priesečníka integrálnej distribučnej funkcie a jej doplnku (obr. 12, b). Medián možno interpretovať ako úsečku bodu, v ktorom ordináta diferenciálnej funkcie pretína oblasť ohraničenú distribučnou krivkou (obr. 12, v).
Medián náhodnej veličiny sa v teórii spoľahlivosti používa ako číselná charakteristika zdroja, životnosti, skladovateľnosti (tab. 1).
Medzi indikátormi spoľahlivosti objektov existuje funkčný vzťah. Znalosť jednej z funkcií 
umožňuje určiť ďalšie ukazovatele spoľahlivosti. Súhrn vzťahov medzi ukazovateľmi spoľahlivosti je uvedený v tabuľke. 2.
Tabuľka 2. Funkčný vzťah medzi ukazovateľmi spoľahlivosti
NÁHODNÉ HODNOTY A ZÁKONY ICH ROZDELENIA.
Náhodný nazývaná veličina, ktorá nadobúda hodnoty v závislosti od kombinácie náhodných okolností. Rozlišovať diskrétne a náhodné nepretržitý množstvá.
Diskrétne Množstvo sa nazýva, ak má spočítateľný súbor hodnôt. ( Príklad: počet pacientov v ambulancii lekára, počet písmen na stranu, počet molekúl v danom objeme).
nepretržitý nazývané množstvo, ktoré môže nadobudnúť hodnoty v určitom intervale. ( Príklad: teplota vzduchu, telesná hmotnosť, výška človeka atď.)
distribučný zákon Náhodná premenná je množina možných hodnôt tejto veličiny a týmto hodnotám pravdepodobnosti (alebo frekvencie výskytu).
PRÍKLAD:
Numerické charakteristiky náhodných premenných.
V mnohých prípadoch spolu s rozdelením náhodnej premennej alebo namiesto nej môžu informácie o týchto veličinách poskytnúť číselné parametre tzv. číselné charakteristiky náhodnej premennej . Najpoužívanejšie z nich:
1 .Očakávaná hodnota - (priemerná hodnota) náhodnej premennej je súčet súčinov všetkých jej možných hodnôt a pravdepodobnosti týchto hodnôt:
2 .Disperzia náhodná premenná:
3 .Smerodajná odchýlka :
Pravidlo troch sigma - ak je náhodná veličina rozdelená podľa normálneho zákona, potom odchýlka tejto hodnoty od strednej hodnoty v absolútnej hodnote nepresiahne trojnásobok štandardnej odchýlky
Gaussov zákon - zákon normálneho rozdelenia
Často sú hodnoty rozdelené normálny zákon (Gaussov zákon). Hlavná prednosť : je to obmedzujúci zákon, ku ktorému sa približujú ostatné zákony distribúcie.
Náhodná premenná je normálne distribuovaná, ak je hustota pravdepodobnosti vyzerá ako:
M(X) - matematické očakávanie náhodnej premennej;
- smerodajná odchýlka.
Hustota pravdepodobnosti (distribučná funkcia) ukazuje, ako sa mení pravdepodobnosť súvisiaca s intervalom dx náhodná premenná v závislosti od hodnoty samotnej premennej:
Základné pojmy matematickej štatistiky
Matematické štatistiky - odvetvie aplikovanej matematiky, priamo nadväzujúce na teóriu pravdepodobnosti. Hlavný rozdiel medzi matematickou štatistikou a teóriou pravdepodobnosti je v tom, že matematická štatistika nezohľadňuje akcie na základe zákonov rozdelenia a numerických charakteristík náhodných premenných, ale približuje metódy na nájdenie týchto zákonov a numerických charakteristík na základe experimentálnych výsledkov.
Základné pojmy matematické štatistiky sú:
Všeobecná populácia;
vzorka;
variačné série;
móda;
medián;
percentil,
frekvenčný polygón,
stĺpcový graf.
Populácia - veľká štatistická populácia, z ktorej sa vyberá časť objektov na výskum
(Príklad: celé obyvateľstvo kraja, vysokoškoláci mesta a pod.)
Vzorka (vzorka populácie) - súbor predmetov vybraných z bežnej populácie.
Variačné série - štatistické rozdelenie pozostávajúce z variantov (hodnoty náhodnej premennej) a ich zodpovedajúcich frekvencií.
Príklad:
|
X , kg | ||||||||||||
|
m |
X - hodnota náhodnej premennej (hmotnosť dievčat vo veku 10 rokov);
m - frekvencia výskytu.
Móda – hodnota náhodnej premennej, ktorá zodpovedá najvyššej frekvencii výskytu. (V príklade vyššie je 24 kg najbežnejšou hodnotou pre módu: m = 20).
Medián - hodnota náhodnej premennej, ktorá rozdeľuje rozdelenie na polovicu: polovica hodnôt sa nachádza vpravo od mediánu, polovica (nie viac) - vľavo.
Príklad:
1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10
V príklade sledujeme 40 hodnôt náhodnej premennej. Všetky hodnoty sú usporiadané vo vzostupnom poradí, berúc do úvahy frekvenciu ich výskytu. Je vidieť, že 20 (polovica) zo 40 hodnôt sa nachádza napravo od vybranej hodnoty 7. Takže 7 je medián.
Na charakterizáciu rozptylu nájdeme hodnoty, ktoré neboli vyššie ako 25 a 75 % výsledkov merania. Tieto hodnoty sa nazývajú 25. a 75 percentily . Ak medián rozdelí rozdelenie na polovicu, 25. a 75. percentil je od neho odrezaný o štvrtinu. (Mimochodom, samotný medián možno považovať za 50. percentil.) Ako vidíte z príkladu, 25. a 75. percentil je 3 a 8.
použitie diskrétne (bod) štatistické rozdelenie a nepretržitý (intervalové) štatistické rozdelenie.
Pre prehľadnosť sú štatistické rozdelenia vo formulári znázornené graficky frekvenčný polygón alebo - histogramy .
Frekvenčný polygón - prerušovaná čiara, ktorej segmenty spájajú body so súradnicami ( X 1 , m 1 ), (X 2 , m 2 ), ... alebo pre mnohouholník relatívnych frekvencií - so súradnicami ( X 1 ,R * 1 ), (X 2 ,R * 2 ), ...(obr.1).
mm i / nf(x)
X X
Obr.1 Obr.2
Histogram frekvencie - sústava susedných obdĺžnikov postavená na jednej priamke (obr. 2), základne obdĺžnikov sú rovnaké a rovnaké dx a výšky sa rovnajú pomeru frekvencie k dx , alebo R * do dx (hustota pravdepodobnosti).
Príklad:
|
x, kg | ||||||||||||||||||
Pri riešení mnohých praktických problémov nie je vždy potrebné náhodnú premennú úplne charakterizovať, t.j. určiť zákony rozdelenia. Navyše, konštrukcia funkcie alebo série rozdelení pre diskrétnu a hustotu - pre spojitú náhodnú premennú je ťažkopádna a zbytočná.
Niekedy stačí uviesť jednotlivé číselné parametre, ktoré čiastočne charakterizujú vlastnosti rozdelenia. Je potrebné poznať nejakú priemernú hodnotu každej náhodnej premennej, okolo ktorej je zoskupená jej možná hodnota, alebo stupeň rozptylu týchto hodnôt vo vzťahu k priemeru atď.
Charakteristiky najvýznamnejších znakov rozdelenia sa nazývajú číselné charakteristiky náhodná premenná. S ich pomocou je uľahčené riešenie mnohých pravdepodobnostných problémov bez toho, aby sa pre ne určovali zákony distribúcie.
Najdôležitejšou charakteristikou polohy náhodnej veličiny na reálnej osi je očakávaná hodnota M[X]= a, ktorá sa niekedy nazýva stredná hodnota náhodnej premennej. Pre diskrétna náhodná premenná X s možné hodnoty X 1 , X 2 , … , x n a pravdepodobnosti p 1 , p 2 ,… , p n určuje sa podľa vzorca
Vzhľadom na to, že =1, môžeme písať
Touto cestou, matematické očakávanie Diskrétna náhodná premenná je súčtom súčinov jej možných hodnôt a ich pravdepodobností. Aritmetický priemer pozorovaných hodnôt náhodnej premennej s veľkým počtom experimentov sa približuje k matematickému očakávaniu.
Pre spojitá náhodná premenná X matematické očakávanie nie je určené súčtom, ale integrálne
kde f(X) - hustota rozloženia množstva X.
Matematické očakávania neexistujú pre všetky náhodné premenné. Pre niektoré z nich sa súčet alebo integrál rozchádza, a preto neexistujú žiadne očakávania. V týchto prípadoch by sa z dôvodov presnosti mal obmedziť rozsah možných zmien v náhodnej premennej X, pre ktoré bude súčet alebo integrál konvergovať.
V praxi sa používajú aj také charakteristiky polohy náhodnej premennej, ako je modus a medián.
Náhodná módajeho najpravdepodobnejšia hodnota je tzv. AT všeobecný prípad režim a očakávania nie sú rovnaké.
Medián náhodnej premennejX je jeho hodnota, vzhľadom na ktorú je rovnako pravdepodobné, že získa väčšiu alebo menšiu hodnotu náhodnej premennej toto je úsečka bodu, v ktorom je plocha ohraničená distribučnou krivkou rozdelená na polovicu. Pre symetrické rozdelenie sú všetky tri charakteristiky rovnaké.
Okrem matematického očakávania, modusu a mediánu sa v teórii pravdepodobnosti používajú aj ďalšie charakteristiky, z ktorých každá popisuje určitú vlastnosť rozdelenia. Napríklad numerické charakteristiky, ktoré charakterizujú rozptyl náhodnej premennej, t. j. ukazujúce, ako blízko sú jej možné hodnoty zoskupené okolo matematického očakávania, sú rozptyl a štandardná odchýlka. Významne dopĺňajú náhodnú premennú, keďže v praxi sa často vyskytujú náhodné premenné s rovnakými matematickými očakávaniami, ale rozdielnym rozdelením. Pri určovaní rozptylových charakteristík rozdiel medzi náhodnou veličinou X a jeho matematické očakávanie, t.j.
kde a = M[X] - očakávaná hodnota.
Tento rozdiel je tzv centrovaná náhodná premenná, zodpovedajúca hodnota X, a označené :
Rozptyl náhodnej premennej je matematické očakávanie druhej mocniny odchýlky hodnoty od jej matematického očakávania, t.j.:
D[ X]=M[( X-a) 2 ], príp
D[ X]=M[ 2 ].
Rozptyl náhodnej premennej je vhodnou charakteristikou rozptylu a rozptylu hodnôt náhodnej premennej okolo jej matematického očakávania. Je však bez viditeľnosti, pretože má rozmer štvorca náhodnej premennej.
Pre vizuálnu charakteristiku rozptylu je vhodnejšie použiť veličinu, ktorej rozmer sa zhoduje s rozmerom náhodnej premennej. Takáto hodnota je smerodajná odchýlka náhodná premenná, čo je pozitívne Odmocnina z jej rozptýlenia.
Matematické očakávanie, modus, medián, rozptyl, smerodajná odchýlka – najčastejšie používané numerické charakteristiky náhodných premenných. Pri riešení praktických úloh, keď nie je možné určiť zákon rozdelenia, je približným popisom náhodnej veličiny jej číselná charakteristika, vyjadrujúca nejakú vlastnosť rozdelenia.
Okrem hlavných charakteristík rozloženia centra (očakávania) a disperzie (disperzie) je často potrebné popísať aj ďalšie dôležité charakteristiky rozloženia - symetria a ostrosť, ktoré možno znázorniť pomocou distribučných momentov.
Rozdelenie náhodnej premennej je úplne dané, ak sú známe všetky jej momenty. Mnohé rozdelenia však možno plne opísať pomocou prvých štyroch momentov, ktoré nie sú len parametrami popisujúcimi rozdelenia, ale sú dôležité aj pri výbere empirických rozdelení, teda výpočtom číselných hodnôt momentov pre danú štatistickú série a pomocou špeciálnych grafov je možné určiť distribučný zákon.
V teórii pravdepodobnosti sa rozlišujú dva typy momentov: počiatočný a centrálny.
Počiatočný moment k-tého rádu náhodná premenná T sa nazýva matematické očakávanie množstva X k , t.j.
Preto je pre diskrétnu náhodnú premennú vyjadrená súčtom
a pre spojité - integrálne
Medzi počiatočnými momentmi náhodnej premennej je obzvlášť dôležitý moment prvého rádu, ktorým je matematické očakávanie. Počiatočné momenty vyššieho rádu sa používajú hlavne na výpočet centrálnych momentov.
Ústredný moment k-tého rádu náhodná premenná sa nazýva matematické očakávanie hodnoty ( X - M [X])k
kde a = M[X].
Pre diskrétnu náhodnú premennú je vyjadrená súčtom
a pre spojité - integrálne
Medzi ústredné momenty náhodnej premennej patrí centrálny moment druhého rádu,čo predstavuje rozptyl náhodnej premennej.
Centrálny moment prvého rádu je vždy nulový.
Tretí počiatočný moment charakterizuje asymetriu (šikmosť) rozdelenia a podľa výsledkov pozorovaní pre diskrétne a spojité náhodné premenné je určená zodpovedajúcimi výrazmi:
Keďže má rozmer kocky náhodnej premennej, aby sa získala bezrozmerná charakteristika, m 3 delené štandardnou odchýlkou na tretiu mocninu
Výsledná hodnota sa nazýva koeficient asymetrie a v závislosti od znamienka charakterizuje kladné ( Ako> 0) alebo záporné ( Ako< 0) šikmosť rozloženia (obr. 2.3).
Očakávaná hodnota. matematické očakávanie diskrétna náhodná premenná X, ktorý nadobúda konečný počet hodnôt Xi s pravdepodobnosťami Ri, sa nazýva súčet:
matematické očakávanie spojitá náhodná premenná X sa nazýva integrál súčinu jeho hodnôt X na hustote rozdelenia pravdepodobnosti f(X):
(6b)
Nesprávny integrál (6 b) sa považuje za absolútne konvergentné (inak hovoríme, že očakávanie M(X) neexistuje). Charakterizuje matematické očakávanie priemerný náhodná premenná X. Jeho rozmer sa zhoduje s rozmerom náhodnej premennej.
Vlastnosti matematického očakávania:
Disperzia. disperzia náhodná premenná Xčíslo sa volá:
Rozptyl je rozptylová charakteristika hodnoty náhodnej premennej X v pomere k jeho priemernej hodnote M(X). Rozmer rozptylu sa rovná rozmeru druhej mocniny náhodnej premennej. Na základe definícií rozptylu (8) a matematického očakávania (5) pre diskrétnu náhodnú premennú a (6) pre spojitú náhodnú premennú získame podobné výrazy pre rozptyl:
(9)
Tu m = M(X).
Disperzné vlastnosti:
Štandardná odchýlka:
(11)
Keďže rozmer štandardnej odchýlky je rovnaký ako rozmer náhodnej premennej, používa sa častejšie ako rozptyl ako miera rozptylu.
distribučné momenty. Koncepty matematického očakávania a rozptylu sú špeciálnymi prípadmi viacerých všeobecný pojem pre číselné charakteristiky náhodných premenných - distribučné momenty. Distribučné momenty náhodnej premennej sú zavedené ako matematické očakávania niektorých jednoduchých funkcií náhodnej premennej. Takže moment objednávky k vzhľadom na bod X 0 sa nazýva očakávanie M(X–X 0 )k. Momenty súvisiace s pôvodom X= 0 sa nazývajú počiatočné momenty a sú označené:
(12)
Počiatočný moment prvého rádu je distribučným centrom uvažovanej náhodnej premennej:
(13)
Momenty vo vzťahu k distribučnému centru X= m volal ústredné momenty a sú označené:
(14)
Z (7) vyplýva, že centrálny moment prvého rádu je vždy rovný nule:
Centrálne momenty nezávisia od pôvodu hodnôt náhodnej premennej, pretože s posunom o konštantnú hodnotu OD jeho distribučný stred je posunutý o rovnakú hodnotu OD a odchýlka od stredu sa nemení: X – m = (X – OD) – (m – OD).
Teraz je to zrejmé disperzia- toto je centrálny moment druhého rádu:
Asymetria. Centrálny moment tretieho rádu:
(17)
slúži na vyhodnotenie distribučná šikmosť. Ak je rozdelenie symetrické okolo bodu X= m, potom sa centrálny moment tretieho rádu bude rovnať nule (rovnako ako všetky centrálne momenty nepárnych rádov). Preto, ak je centrálny moment tretieho rádu odlišný od nuly, potom rozdelenie nemôže byť symetrické. Veľkosť asymetrie sa odhaduje pomocou bezrozmerného koeficient asymetrie:
(18)
Znamienko koeficientu asymetrie (18) označuje pravostrannú alebo ľavostrannú asymetriu (obr. 2).
Ryža. 2. Typy asymetrie rozdelenia.
Prebytok. Centrálny moment štvrtého rádu:
(19)
slúži na vyhodnotenie tzv špičatosť, ktorý určuje mieru strmosti (bodovitosti) distribučnej krivky v blízkosti distribučného centra vzhľadom na normálnu distribučnú krivku. Pretože pre normálne rozdelenie je množstvo brané ako špičatosť:
(20)
Na obr. 3 ukazuje príklady distribučných kriviek s rôzne významyšpičatosť. Pre normálne rozdelenie E= 0. Krivky, ktoré sú viac špičaté ako normálne, majú kladnú špičku a krivky s plochými vrcholmi majú zápornú špičku.
Ryža. 3. Distribučné krivky s rôznym stupňom strmosti (kurtóza).
Momenty vyššieho rádu v inžinierskych aplikáciách matematickej štatistiky sa zvyčajne nepoužívajú.
Móda
diskrétne náhodná premenná je jej najpravdepodobnejšou hodnotou. Móda nepretržitý náhodná veličina je jej hodnota, pri ktorej je hustota pravdepodobnosti maximálna (obr. 2). Ak má distribučná krivka jedno maximum, potom sa rozdelenie nazýva unimodálne. Ak má distribučná krivka viac ako jedno maximum, potom sa nazýva rozdelenie polymodálne. Niekedy existujú distribúcie, ktorých krivky nemajú maximum, ale minimum. Takéto distribúcie sú tzv antimodálny. Vo všeobecnom prípade sa režim a matematické očakávanie náhodnej premennej nezhodujú. V konkrétnom prípade pre modálny, t.j. majúci modus, symetrické rozdelenie a za predpokladu, že existuje matematické očakávanie, toto druhé sa zhoduje s vidom a stredom symetrie rozdelenia.
Medián náhodná premenná X je jeho význam ja, pre ktoré platí rovnosť: t.j. je rovnako pravdepodobné, že náhodná premenná X bude menej alebo viac ja. Geometricky medián je úsečka bodu, v ktorom je plocha pod distribučnou krivkou rozdelená na polovicu (obr. 2). V prípade symetrického modálneho rozdelenia sú medián, modus a priemer rovnaké.
