Derivácia rovnice pod koreňom. koreňový derivát

Všeobecný prípad vzorce pre deriváciu odmocniny ľubovoľného stupňa- zlomok, ktorého čitateľ je jedna a menovateľ je číslo rovné stupňu odmocniny, pre ktorý bola derivácia vypočítaná, vynásobený odmocninou toho istého stupňa, ktorého odmocninou je premenná v stupeň odmocniny, pre ktorý bola derivácia vypočítaná, znížená o jednu
Derivácia odmocniny- je špeciálny prípad predchádzajúceho vzorca. Derivácia druhej odmocniny x je zlomok, ktorého čitateľ rovný jednej a menovateľ je dvojnásobok druhej odmocniny x
Derivát kubického koreňa, tiež špeciálny prípad všeobecného vzorca. Derivácia odmocniny je jednotka delená tromi odmocninami x na druhú.

Nižšie sú uvedené transformácie, ktoré vysvetľujú, prečo sú vzorce na nájdenie derivácie druhej mocniny a odmocniny kocky presne také, ako je znázornené na obrázku.

Samozrejme, tieto vzorce sa vôbec nedajú zapamätať, ak vezmeme do úvahy, že extrahovanie odmocniny derivačného stupňa je to isté ako umocnenie zlomku na mocninu, ktorej menovateľ sa rovná rovnakému stupňu. Potom sa nájdenie derivácie odmocniny zredukuje na použitie vzorca na nájdenie derivácie stupňa zodpovedajúceho zlomku.

Derivácia premennej pod druhou odmocninou

(√x)" = 1 / (2√x) alebo 1/2 x -1/2

Vysvetlenie:
(√x)" = (x 1/2)"

Druhá odmocnina je presne tá istá operácia ako zvýšenie na 1/2,to znamená, že na nájdenie derivácie od koreňa môžete použiť vzorec z pravidla na nájdenie derivácie premennej v ľubovoľnej miere:

(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

Derivát odmocniny kocky (derivát odmocniny tretieho stupňa)

Derivácia odmocniny je presne taká istá ako druhá odmocnina.

Predstavte si odmocninu ako mocninu 1/3 a nájdite deriváciu vzhľadom na všeobecné pravidlá diferenciácia. Stručný vzorec je možné vidieť na obrázku vyššie a nižšie je vysvetlenie, prečo je to tak.

Mocnina -2/3 sa získa odčítaním jednej od 1/3

Komplexné funkcie nie vždy zodpovedajú definícii komplexnej funkcie. Ak existuje funkcia tvaru y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, nemožno ju považovať za komplexnú, na rozdiel od y \u003d sin 2 x.

Tento článok ukáže koncept komplexnej funkcie a jej identifikáciu. Pracujme so vzorcami na nájdenie derivácie s príkladmi riešení v závere. Použitie tabuľky derivátov a pravidiel diferenciácie výrazne skracujú čas na nájdenie derivátu.

Základné definície

Definícia 1

Komplexná funkcia je funkcia, ktorej argument je tiež funkciou.

Označuje sa takto: f (g (x)) . Máme, že funkcia g (x) sa považuje za argument f (g (x)) .

Definícia 2

Ak existuje funkcia f a je kotangens funkciou, potom g(x) = ln x je funkcia prirodzeného logaritmu. Dostaneme, že komplexnú funkciu f (g (x)) zapíšeme ako arctg (lnx). Alebo funkcia f, čo je funkcia umocnená na 4. mocninu, kde g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 sa považuje za celú racionálnu funkciu, dostaneme, že f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Je zrejmé, že g(x) môže byť zložité. Z príkladu y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5 je zrejmé, že hodnota g má odmocninu kocky so zlomkom. Tento výraz možno označiť ako y = f (f 1 (f 2 (x))) . Odkiaľ máme, že f je sínusová funkcia a f 1 je funkcia umiestnená pod druhou odmocninou, f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 je zlomková racionálna funkcia.

Definícia 3

Stupeň vnorenia je definovaný ľubovoľným prirodzeným číslom a zapisuje sa ako y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Definícia 4

Koncept zloženia funkcie sa týka počtu vnorených funkcií podľa zadania problému. Pre riešenie vzorec na nájdenie derivácie komplexnej funkcie tvaru

(f(g(x)))"=f"(g(x))g"(x)

Príklady

Príklad 1

Nájdite deriváciu komplexnej funkcie tvaru y = (2 x + 1) 2 .

Riešenie

Podľa konvencie je f funkcia kvadratúry a g(x) = 2 x + 1 sa považuje za lineárnu funkciu.

Aplikujeme derivačný vzorec pre komplexnú funkciu a napíšeme:

f"(g (x)) = ((g (x)) 2)" = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1); g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

Je potrebné nájsť deriváciu so zjednodušeným počiatočným tvarom funkcie. Dostaneme:

y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

Preto to máme

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

Výsledky sa zhodovali.

Pri riešení problémov tohto druhu je dôležité pochopiť, kde sa bude nachádzať funkcia tvaru f a g (x).

Príklad 2

Mali by ste nájsť deriváty komplexných funkcií vo forme y \u003d sin 2 x a y \u003d sin x 2.

Riešenie

Prvý záznam funkcie hovorí, že f je funkcia kvadratúry a g(x) je funkcia sínus. Potom to dostaneme

y "= (sin 2 x)" = 2 sin 2 - 1 x (sin x)" = 2 sin x cos x

Druhý záznam ukazuje, že f je sínusová funkcia a g (x) = x 2 označuje mocninovú funkciu. Z toho vyplýva, že súčin komplexnej funkcie možno zapísať ako

y " \u003d (sin x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

Vzorec pre deriváciu y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) sa zapíše ako y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (... ( f n (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (... (f n (x))))) f 2 " (f 3 (... (f n (x) ))))). . . f n "(x)

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) .

Riešenie

Tento príklad ukazuje zložitosť zápisu a určovania umiestnenia funkcií. Potom y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) označuje, kde f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) je funkcia sínus, funkcia zvýšenia na 3 stupne, funkcia s logaritmom a základom e, funkcia arkustangens a lineárna.

Zo vzorca na definíciu komplexnej funkcie to máme

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Získanie toho, čo nájsť

f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) ako derivácia sínusu v tabuľke derivácií, potom f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x) ))))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) ako derivácia mocninovej funkcie, potom f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a rc t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x).
f 2 "(f 3 (f 4 (x))) ako logaritmická derivácia, potom f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
f 3 "(f 4 (x)) ako derivácia arkustangens, potom f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
Pri hľadaní derivácie f 4 (x) \u003d 2 x odoberte 2 zo znamienka derivácie pomocou vzorca pre deriváciu mocninovej funkcie s exponentom, ktorý sa rovná 1, potom f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Skombinujeme medzivýsledky a dostaneme to

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analýza takýchto funkcií pripomína hniezdiace bábiky. Diferenciačné pravidlá nemožno vždy použiť explicitne pomocou derivačnej tabuľky. Často je potrebné použiť vzorec na nájdenie derivátov komplexných funkcií.

Medzi komplexným pohľadom a komplexnou funkciou sú určité rozdiely. S jasnou schopnosťou rozlíšiť to bude hľadanie derivátov obzvlášť jednoduché.

Príklad 4

Je potrebné zvážiť uvedenie takéhoto príkladu. Ak existuje funkcia tvaru y = t g 2 x + 3 t g x + 1, potom ju možno považovať za komplexnú funkciu tvaru g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Je zrejmé, že je potrebné použiť vzorec pre komplexný derivát:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " == 2 g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x)) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Funkcia tvaru y = t g x 2 + 3 t g x + 1 sa nepovažuje za komplexnú, pretože má súčet t g x 2, 3 t g x a 1 . Avšak t g x 2 sa považuje za komplexnú funkciu, potom dostaneme mocninnú funkciu tvaru g (x) \u003d x 2 a f, ktorá je funkciou dotyčnice. K tomu je potrebné rozlišovať podľa sumy. Chápeme to

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 čo 2 x

Prejdime k hľadaniu derivácie komplexnej funkcie (t g x 2) ":

f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

Dostaneme, že y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Komplexné funkcie môžu byť zahrnuté do komplexných funkcií a samotné komplexné funkcie môžu byť zloženými funkciami komplexnej formy.

Príklad 5

Uvažujme napríklad komplexnú funkciu v tvare y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Táto funkcia môže byť reprezentovaná ako y = f (g (x)), kde hodnota f je funkciou logaritmu so základom 3 a g (x) sa považuje za súčet dvoch funkcií tvaru h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 a k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Je zrejmé, že y = f (h (x) + k (x)).

Zvážte funkciu h(x) . Toto je pomer l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 k m (x) = e x 2 + 3 3

Máme, že l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) je súčet dvoch funkcií n (x) = x 2 + 7 a p ( x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1), kde p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) je komplexná funkcia s číselným koeficientom 3 a p 1 je funkcia kocky, p 2 kosínusová funkcia, p 3 (x) = 2 x + 1 - lineárna funkcia.

Zistili sme, že m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) je súčet dvoch funkcií q (x) = e x 2 a r (x) = 3 3, kde q (x) = q 1 (q 2 (x)) je komplexná funkcia, q 1 je funkcia s exponentom, q 2 (x) = x 2 je mocninová funkcia.

To ukazuje, že h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Pri prechode na výraz v tvare k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x) je jasné, že funkcia je reprezentovaná ako komplex s (x) \ u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) s celočíselným racionálnym t (x) = x 2 + 1, kde s 1 je funkcia druhej mocniny a s 2 (x) = ln x je logaritmická so základom e .

Z toho vyplýva, že výraz bude mať tvar k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) .

Potom to dostaneme

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Podľa štruktúr funkcie sa ukázalo, ako a aké vzorce treba použiť na zjednodušenie výrazu pri jeho derivácii. Aby ste sa zoznámili s takýmito problémami a porozumeli ich riešeniu, je potrebné odkázať na bod diferenciácie funkcie, to znamená nájsť jej deriváciu.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Odvodenie vzorca pre deriváciu mocninnej funkcie (x na mocninu a). Uvažujú sa deriváty koreňov z x. Vzorec pre deriváciu mocninovej funkcie vyššieho rádu. Príklady výpočtu derivátov.

Obsah

Pozri tiež: Mocninná funkcia a korene, vzorce a graf
Plochy funkcie napájania

Základné vzorce

Derivácia x na mocninu a je krát x x na mocninu mínus jedna:
(1) .

Derivácia n-tej odmocniny x na m-tú mocninu je:
(2) .

Odvodenie vzorca pre deriváciu mocninnej funkcie

Prípad x > 0

Uvažujme mocninovú funkciu premennej x s exponentom a :
(3) .
Tu a je ľubovoľné reálne číslo. Najprv zvážme prípad.

Na nájdenie derivácie funkcie (3) použijeme vlastnosti mocninnej funkcie a transformujeme ju do nasledujúceho tvaru:
.

Teraz nájdeme derivát použitím:
;
.
Tu .

Vzorec (1) je dokázaný.

Odvodenie vzorca pre deriváciu koreňa stupňa n z x na stupeň m

Teraz zvážte funkciu, ktorá je koreňom nasledujúceho formulára:
(4) .

Aby sme našli deriváciu, konvertujeme odmocninu na mocninovú funkciu:
.
Pri porovnaní so vzorcom (3) to vidíme
.
Potom
.

Podľa vzorca (1) nájdeme deriváciu:
(1) ;
;
(2) .

V praxi nie je potrebné zapamätať si vzorec (2). Oveľa pohodlnejšie je najprv previesť odmocniny na mocninné funkcie a potom nájsť ich deriváty pomocou vzorca (1) (pozri príklady na konci stránky).

Prípad x = 0

Ak , potom je exponenciálna funkcia definovaná aj pre hodnotu premennej x = 0 . Nájdite deriváciu funkcie (3) pre x = 0 . Na tento účel používame definíciu derivátu:
.

Nahradiť x = 0 :
.
V tomto prípade deriváciou rozumieme pravostrannú limitu, pre ktorú .

Tak sme našli:
.
Z toho vidno, že pri , .
V , .
V , .
Tento výsledok sa získa aj podľa vzorca (1):
(1) .
Preto vzorec (1) platí aj pre x = 0 .

prípad x< 0

Zvážte znova funkciu (3):
(3) .
Pre niektoré hodnoty konštanty a je definovaná aj pre záporné hodnoty premennej x. Totiž nech a je racionálne číslo. Potom to môže byť reprezentované ako neredukovateľný zlomok:
,
kde m a n sú celé čísla bez spoločného deliteľa.

Ak je n nepárne, potom je exponenciálna funkcia definovaná aj pre záporné hodnoty premennej x. Napríklad pre n = 3 a m = 1 máme odmocninu x:
.
Je tiež definovaný pre záporné hodnoty x.

Nájdite deriváciu mocninnej funkcie (3) pre a pre racionálne hodnoty konštanty a, pre ktorú je definovaná. Aby sme to dosiahli, reprezentujeme x v nasledujúcom tvare:
.
potom ,
.
Deriváciu nájdeme tak, že zo znamienka derivácie vyberieme konštantu a použijeme pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie:

.
Tu . ale
.
Odvtedy
.
Potom
.
To znamená, že vzorec (1) platí aj pre:
(1) .

Deriváty vyšších rádov

Teraz nájdeme derivácie mocninnej funkcie vyššieho rádu
(3) .
Už sme našli deriváciu prvého rádu:
.

Ak zo znamienka derivácie vyberieme konštantu a, nájdeme deriváciu druhého rádu:
.
Podobne nájdeme deriváty tretieho a štvrtého rádu:
;

.

Odtiaľto je jasné, že derivát ľubovoľného n-tého rádu má nasledujúci tvar:
.

Všimni si ak a je prirodzené číslo, , potom je n-tá derivácia konštantná:
.
Potom sa všetky nasledujúce deriváty rovnajú nule:
,
v .

Príklady derivátov

Príklad

Nájdite deriváciu funkcie:
.

Preveďme korene na mocniny:
;
.
Potom má pôvodná funkcia tvar:
.

Nájdeme deriváty stupňov:
;
.
Derivácia konštanty je nula:
.

Operácia hľadania derivátu sa nazýva diferenciácia.

V dôsledku riešenia problémov hľadania derivácií najjednoduchších (a nie veľmi jednoduchých) funkcií definovaním derivácie ako limity pomeru prírastku k prírastku argumentu sa objavila tabuľka derivácií a presne definované pravidlá diferenciácie. . Isaac Newton (1643-1727) a Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) boli prví, ktorí pracovali v oblasti hľadania derivátov.

Preto v našej dobe, aby sme našli deriváciu akejkoľvek funkcie, nie je potrebné vypočítať vyššie uvedenú hranicu pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, ale stačí použiť tabuľku derivátov a pravidlá diferenciácie. Na nájdenie derivácie je vhodný nasledujúci algoritmus.

Ak chcete nájsť derivát, potrebujete výraz pod znakom ťahu rozobrať jednoduché funkcie a určiť, aké akcie (produkt, súčet, podiel) tieto funkcie spolu súvisia. Ďalej nájdeme derivácie elementárnych funkcií v tabuľke derivácií a vzorce pre derivácie súčinu, súčtu a kvocientu - v pravidlách diferenciácie. Tabuľka derivácií a pravidlá diferenciácie sú uvedené po prvých dvoch príkladoch.

Príklad 1 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Z pravidiel diferenciácie zistíme, že derivácia súčtu funkcií je súčtom derivácií funkcií, t.j.

Z tabuľky derivácií zistíme, že derivácia „X“ sa rovná jednej a derivácia sínusu je kosínus. Tieto hodnoty dosadíme do súčtu derivácií a nájdeme deriváciu požadovanú podmienkou problému:

Príklad 2 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Diferencovať ako deriváciu súčtu, v ktorej druhý člen s konštantným faktorom, možno vyňať zo znamienka derivácie:

Ak stále existujú otázky o tom, odkiaľ niečo pochádza, spravidla sa vyjasnia po prečítaní tabuľky derivátov a najjednoduchších pravidiel diferenciácie. Práve k nim ideme.

Tabuľka derivácií jednoduchých funkcií

1. Derivácia konštanty (čísla). Akékoľvek číslo (1, 2, 5, 200...), ktoré je vo výraze funkcie. Vždy nula. Toto je veľmi dôležité mať na pamäti, pretože sa to vyžaduje veľmi často
2. Derivát nezávisle premennej. Najčastejšie "x". Vždy sa rovná jednej. Toto je tiež dôležité mať na pamäti
3. Derivácia stupňa. Pri riešení problémov musíte previesť iné ako odmocniny na mocninu.
4. Derivácia premennej na mocninu -1
5. Derivácia odmocniny
6. Sínusová derivácia
7. Kosínový derivát
8. Tangentová derivácia
9. Derivácia kotangens
10. Derivácia arksínusu
11. Derivácia oblúkového kosínusu
12. Derivácia arkustangens
13. Derivácia inverznej tangenty
14. Derivácia prirodzeného logaritmu
15. Derivácia logaritmickej funkcie
16. Derivácia exponentu
17. Derivácia exponenciálnej funkcie

Pravidlá diferenciácie

1. Derivát súčtu alebo rozdielu
2. Derivát produktu
2a. Derivát výrazu vynásobený konštantným faktorom
3. Derivácia kvocientu
4. Derivácia komplexnej funkcie

Pravidlo 1Ak funkcie

sú v určitom bode diferencovateľné, potom v tom istom bode funkcie

tie. derivácia algebraického súčtu funkcií sa rovná algebraickému súčtu derivácií týchto funkcií.

Dôsledok. Ak sa dve diferencovateľné funkcie líšia konštantou, potom ich derivácie sú, t.j.

Pravidlo 2Ak funkcie

sú v určitom bode diferencovateľné, potom je ich produkt v rovnakom bode tiež diferencovateľný

tie. derivácia súčinu dvoch funkcií sa rovná súčtu súčinov každej z týchto funkcií a derivácie druhej.

Dôsledok 1. Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka derivácie:

Dôsledok 2. Derivácia súčinu niekoľkých diferencovateľných funkcií sa rovná súčtu súčinov derivácie každého z faktorov a všetkých ostatných.

Napríklad pre tri multiplikátory:

Pravidlo 3Ak funkcie

v určitom bode rozlíšiteľné a , potom je v tomto bode ich kvocient tiež diferencovateľný.u/v a

tie. derivácia kvocientu dvoch funkcií sa rovná zlomku, ktorého čitateľ je rozdielom medzi súčinmi menovateľa a derivácie čitateľa a čitateľa a derivácie menovateľa a menovateľ je druhá mocnina predchádzajúceho čitateľa .

Kde hľadať na iných stránkach

Pri hľadaní derivácie súčinu a kvocientu v reálnych úlohách je vždy potrebné aplikovať viacero pravidiel diferenciácie naraz, preto je v článku viac príkladov na tieto derivácie."Derivácia produktu a kvocient".

Komentujte. Konštantu (čiže číslo) by ste si nemali zamieňať za člen v súčte a za konštantný faktor! V prípade člena sa jeho derivácia rovná nule a v prípade konštantného faktora je vyňatá zo znamienka derivácií. to typická chyba, ktorý sa vyskytuje dňa počiatočná fáza učenie derivátov, ale keďže riešia viacero jedno-dvojzložkových príkladov, bežný žiak už túto chybu nerobí.

A ak pri rozlišovaní produktu alebo kvocientu máte termín u"v, kde u- číslo, napríklad 2 alebo 5, teda konštanta, potom sa derivácia tohto čísla bude rovnať nule, a preto sa celý člen bude rovnať nule (takýto prípad je analyzovaný v príklade 10) .

Ďalšou častou chybou je mechanické riešenie derivácie komplexnej funkcie ako derivácie jednoduchej funkcie. Preto derivácia komplexnej funkcie venovaný samostatnému článku. Najprv sa však naučíme nájsť derivácie jednoduchých funkcií.

Po ceste sa nezaobídete bez transformácií výrazov. Ak to chcete urobiť, možno budete musieť otvoriť príručky v novom systéme Windows Akcie so silami a koreňmi a Akcie so zlomkami .

Ak hľadáte riešenia na derivácie s mocninou a odmocninou, teda keď funkcia vyzerá , potom postupujte podľa lekcie "Derivácia súčtu zlomkov s mocninami a odmocninami".

Ak máte úlohu napr , potom ste na lekcii "Derivácie jednoduchých goniometrických funkcií".

Príklady krok za krokom - ako nájsť derivát

Príklad 3 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Určujeme časti funkčného výrazu: celý výraz predstavuje súčin a jeho faktory sú súčty, z ktorých druhý obsahuje konštantný súčiniteľ. Aplikujeme pravidlo diferenciácie produktu: derivácia produktu dvoch funkcií sa rovná súčtu produktov každej z týchto funkcií a derivácie druhej:

Ďalej aplikujeme pravidlo diferenciácie súčtu: derivácia algebraického súčtu funkcií sa rovná algebraickému súčtu derivácií týchto funkcií. V našom prípade v každom súčte druhý člen so znamienkom mínus. V každom súčte vidíme ako nezávislú premennú, ktorej derivácia sa rovná jednej, tak aj konštantu (číslo), ktorej derivácia sa rovná nule. Takže "x" sa zmení na jeden a mínus 5 - na nulu. V druhom výraze sa "x" vynásobí 2, takže dva vynásobíme rovnakou jednotkou ako derivácia "x". Získame nasledujúce hodnoty derivátov:

Nájdené derivácie dosadíme do súčtu súčinov a získame deriváciu celej funkcie, ktorú vyžaduje podmienka úlohy:

A môžete skontrolovať riešenie problému na derivácii na .

Príklad 4 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Musíme nájsť deriváciu kvocientu. Aplikujeme vzorec na derivovanie kvocientu: derivácia kvocientu dvoch funkcií sa rovná zlomku, ktorého čitateľ je rozdielom medzi súčinmi menovateľa a derivácie čitateľa a čitateľa a derivácie menovateľa a menovateľ je druhá mocnina bývalého čitateľa. Dostaneme:

Deriváciu faktorov v čitateli sme už našli v príklade 2. Nezabudnime tiež, že súčin, ktorý je v aktuálnom príklade druhým faktorom v čitateli, sa berie so znamienkom mínus:

Ak hľadáte riešenia na také úlohy, v ktorých potrebujete nájsť deriváciu funkcie, kde je súvislá kopa koreňov a stupňov, ako napr. potom vitaj v triede "Derivácia súčtu zlomkov s mocninami a odmocninami" .

Ak sa potrebujete dozvedieť viac o deriváciách sínusov, kosínusov, dotyčníc a iných goniometrických funkcií, teda keď funkcia vyzerá , potom máte lekciu "Derivácie jednoduchých goniometrických funkcií" .

Príklad 5 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. V tejto funkcii vidíme súčin, ktorého jedným z faktorov je druhá odmocnina nezávisle premennej, s ktorej deriváciou sme sa oboznámili v tabuľke derivácií. Podľa pravidla diferenciácie produktu a tabuľkovej hodnoty derivácie druhej odmocniny dostaneme:

Riešenie problému s odvodením si môžete skontrolovať na derivačná kalkulačka online .

Príklad 6 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. V tejto funkcii vidíme kvocient, ktorého dividenda je druhá odmocnina nezávislej premennej. Podľa pravidla diferenciácie kvocientu, ktoré sme zopakovali a použili v príklade 4, a tabuľkovej hodnoty derivácie odmocniny dostaneme:

Ak sa chcete zbaviť zlomku v čitateľovi, vynásobte čitateľa a menovateľa číslom .

Inštrukcia

Pred nájdením derivácie od koreňa venujte pozornosť ostatným funkciám, ktoré sú prítomné v riešenom príklade. Ak má problém veľa radikálnych výrazov, na nájdenie derivácie odmocniny použite nasledujúce pravidlo:

(√x)" = 1/2√x.

A ak chcete nájsť deriváciu odmocniny kocky, použite vzorec:

(³√x)" \u003d 1/3 (³√x)²,

kde ³√x označuje odmocninu x.

Ak je určená na diferenciáciu premenná v zlomku , potom preveďte odmocninu na mocninnú funkciu s príslušným exponentom. Pre druhú odmocninu to bude mocnina ½ a pre odmocninu to bude ⅓:

√x \u003d x ^ ½,
³√x = x ^ ⅓,

kde ^ znamená umocnenie.

Ak chcete nájsť deriváciu mocninnej funkcie vo všeobecnosti a konkrétne x^1, x^⅓, použite nasledujúce pravidlo:

(x ^ n)" = n * x^ (n-1).

Pre deriváciu koreňa tento vzťah znamená:

(x^½)" = ½ x ^ (-½) a
(x^⅓)" = ⅓ x ^ (-⅔).

Po odlíšení všetkého sa bližšie pozrite na zvyšok príkladu. Ak máte v odpovedi veľmi ťažkopádny výraz, určite sa to dá zjednodušiť. Väčšina školských príkladov je koncipovaná tak, že výsledkom je malý počet alebo kompaktný výraz.

V mnohých derivačných problémoch sa korene (štvorec a kocka) vyskytujú spolu s ďalšími funkciami. Ak chcete v tomto prípade nájsť derivát koreňa, použite nasledujúce pravidlá:
derivácia konštanty (konštantné číslo, C) sa rovná nule: C" = 0;
konštantný faktor sa vyberie zo znamienka derivácie: (k*f)" = k * (f)" (f je ľubovoľná funkcia) ;
derivácia súčtu viacerých funkcií sa rovná súčtu derivácií: (f + g)" = (f)" + (g)";
derivácia súčinu dvoch funkcií je ... nie, nie súčin derivácií, ale nasledujúci výraz: (fg)" = (f)"g + f (g)";
derivácia kvocientu sa tiež nerovná kvocientu derivácií, ale nachádza sa podľa nasledujúceho pravidla: (f / g)" = ((f)"g - f(g)") / g².

Poznámka

Na tejto stránke môžete vypočítať deriváciu funkcie online s podrobným riešením problému. Riešenie derivácií funkcie sa robí pomocou pravidiel diferenciácie, ktoré študenti študujú v rámci matematickej analýzy na ústave. Ak chcete nájsť deriváciu funkcie, musíte do poľa „Funkcia“ zadať funkciu na diferenciáciu podľa pravidiel zadávania údajov.

Užitočné rady

Derivácia funkcie je hranica pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, keď prírastok argumentu smeruje k nule: Matematický význam tejto definície nie je veľmi ľahko pochopiteľný, keďže v r. školský kurz Algebry buď vôbec neštudujú pojem limita funkcie, alebo ho študujú veľmi povrchne. Ale aby ste sa naučili nájsť deriváty rôznych funkcií, nie je to potrebné.

Zdroje:

koreňová derivácia x