Mnożenie o tej samej podstawie. Właściwości stopni: sformułowania, dowody, przykłady

Rozważmy temat przekształcania wyrażeń z potęgami, ale najpierw zajmiemy się szeregiem przekształceń, które można przeprowadzić za pomocą dowolnych wyrażeń, w tym potęgowych. Nauczymy się otwierać nawiasy, podawać podobne terminy, pracować z podstawą i wykładnikiem, korzystać z własności stopni.

Co to są wyrażenia mocy?

W kurs szkolny niewiele osób używa wyrażenia „wyrażenia mocy”, ale termin ten stale znajduje się w zbiorach przygotowujących do egzaminu. W większości przypadków fraza oznacza wyrażenia, które w swoich hasłach zawierają stopnie. To właśnie uwzględnimy w naszej definicji.

Definicja 1

Ekspresja mocy to wyrażenie zawierające moce.

Podajemy kilka przykładów wyrażeń potęgowych, zaczynając od stopnia z wykładnikiem naturalnym, a kończąc na stopniu z wykładnikiem rzeczywistym.

Najprostsze wyrażenia potęgowe można uznać za potęgi liczby z wykładnikiem naturalnym: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Jak również potęgi z wykładnikiem zerowym: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . Oraz potęgi z ujemnymi potęgami całkowitymi: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Trochę trudniej jest pracować ze stopniem, który ma racjonalne i irracjonalne wykładniki: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a-1 6 · b 1 2, x π · x 1 - π, 2 3 3 + 5.

Wskaźnik może być zmienną 3 x - 54 - 7 3 x - 58 lub logarytmem x 2 l g x − 5 x l g x.

Zajmowaliśmy się pytaniem, czym są wyrażenia mocy. Przyjrzyjmy się teraz ich transformacji.

Główne typy przekształceń wyrażeń mocy

Przede wszystkim rozważymy podstawowe przekształcenia tożsamościowe wyrażeń, które można wykonać za pomocą wyrażeń potęgowych.

Przykład 1

Oblicz wartość wyrażenia potęgowego 2 3 (4 2 − 12).

Decyzja

Wszystkie przekształcenia przeprowadzimy zgodnie z kolejnością działań. W tym przypadku zaczniemy od wykonania czynności w nawiasach: zastąpimy stopień wartością cyfrową i obliczymy różnicę między tymi dwiema liczbami. Mamy 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Pozostaje nam wymienić stopień 2 3 znaczenie tego 8 i oblicz produkt 8 4 = 32. Oto nasza odpowiedź.

Odpowiedź: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Przykład 2

Uprość ekspresję za pomocą uprawnień 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 za 4 b − 7.

Decyzja

Wyrażenie dane nam w stanie problemu zawiera podobne terminy, które możemy przynieść: 3 za 4 b − 7 − 1 + 2 za 4 b − 7 = 5 za 4 b − 7 − 1.

Odpowiedź: 3 za 4 b − 7 − 1 + 2 za 4 b − 7 = 5 za 4 b − 7 − 1 .

Przykład 3

Wyraź wyrażenie o potęgach 9 - b 3 · π - 1 2 jako iloczyn.

Decyzja

Przedstawmy liczbę 9 jako potęgę 3 2 i zastosuj skróconą formułę mnożenia:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Odpowiedź: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

A teraz przejdźmy do analizy identycznych przekształceń, które można zastosować konkretnie do wyrażeń potęgowych.

Praca z podstawą i wykładnikiem

Stopień w podstawie lub wykładniku może zawierać liczby, zmienne i niektóre wyrażenia. Na przykład, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 oraz . Praca z takimi płytami jest trudna. O wiele łatwiej jest zastąpić wyrażenie w podstawie stopnia lub wyrażenie w wykładniku identycznie równym wyrażeniem.

Przekształcenia stopnia i wskaźnika przeprowadzane są według znanych nam odrębnych reguł. Najważniejsze jest to, że w wyniku przekształceń uzyskuje się wyrażenie identyczne z pierwotnym.

Celem przekształceń jest uproszczenie pierwotnego wyrażenia lub uzyskanie rozwiązania problemu. Na przykład w powyższym przykładzie (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 możesz wykonać operacje, aby przejść do stopnia 4 , 1 1 , 3 . Otwierając nawiasy, możemy wprowadzić podobne terminy w podstawie stopnia (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) i uzyskaj ekspresję mocy w prostszej formie 2 (x + 1).

Korzystanie z właściwości zasilania

Właściwości stopni, zapisane jako równości, są jednym z głównych narzędzi do przekształcania wyrażeń za pomocą stopni. Przedstawiamy tutaj najważniejsze, biorąc pod uwagę to a oraz b są liczbami dodatnimi i r oraz s- dowolne liczby rzeczywiste:

Definicja 2

• a r za s = za r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a b) r = a r br ;
• (a:b) r = a r: br ;
• (a r) s = a r s .

W przypadkach, w których mamy do czynienia z naturalnymi, całkowitymi, dodatnimi wykładnikami, ograniczenia dotyczące liczb a i b mogą być znacznie mniej rygorystyczne. Na przykład, jeśli weźmiemy pod uwagę równość za m za n = za m + n, gdzie m oraz n są liczbami naturalnymi, to będzie to dotyczyć dowolnych wartości a, zarówno dodatnich, jak i ujemnych, a także dla a = 0.

Możesz zastosować właściwości stopni bez ograniczeń w przypadkach, gdy podstawy stopni są dodatnie lub zawierają zmienne, których zakres dopuszczalnych wartości jest taki, że podstawy przyjmują tylko dodatnie wartości. W rzeczywistości w ramach szkolnego programu nauczania matematyki zadaniem ucznia jest wybór odpowiedniej właściwości i jej prawidłowe zastosowanie.

Podczas przygotowań do przyjęcia na uczelnie mogą pojawić się zadania, w których niedokładne zastosowanie nieruchomości doprowadzi do zawężenia ODZ i innych trudności z rozwiązaniem. W tej sekcji rozważymy tylko dwa takie przypadki. Więcej informacji na ten temat można znaleźć w temacie "Przekształcanie wyrażeń przy użyciu właściwości wykładnika".

Przykład 4

Reprezentuj wyrażenie a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 jako stopień z podstawą a.

Decyzja

Na początek korzystamy z potęgi i przekształcamy drugi czynnik za jej pomocą (a 2) − 3. Następnie korzystamy z własności mnożenia i dzielenia potęg o tej samej podstawie:

a 2, 5 a - 6: a - 5 , 5 = a 2 , 5 - 6: a - 5 , 5 = a - 3 , 5: a - 5 , 5 = a - 3 , 5 - ( - 5 , 5 ) = 2 .

Odpowiedź: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Transformację wyrażeń mocy zgodnie z właściwością stopni można wykonać zarówno od lewej do prawej, jak i w przeciwnym kierunku.

Przykład 5

Znajdź wartość wyrażenia potęgowego 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Decyzja

Jeśli zastosujemy równość (a b) r = a r b r, od prawej do lewej, to otrzymujemy iloczyn postaci 3 7 1 3 21 2 3 , a następnie 21 1 3 21 2 3 . Dodajmy wykładniki podczas mnożenia potęg o tych samych podstawach: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Jest inny sposób na dokonanie przekształceń:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Odpowiedź: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Przykład 6

Biorąc pod uwagę ekspresję mocy a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, wprowadź nową zmienną t = 0 , 5.

Decyzja

Wyobraź sobie stopień 1 , 5 jak 0 , 5 3. Korzystanie z właściwości degree w stopniu (a r) s = a r s od prawej do lewej i otrzymaj (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . W wynikowym wyrażeniu możesz łatwo wprowadzić nową zmienną t = 0 , 5: Dostawać t 3 − t − 6.

Odpowiedź: t 3 − t − 6 .

Zamiana ułamków zawierających potęgi

Zwykle mamy do czynienia z dwoma wariantami wyrażeń potęgowych z ułamkami: wyrażenie jest ułamkiem ze stopniem lub zawiera taki ułamek. Wszystkie podstawowe przekształcenia ułamków mają zastosowanie do takich wyrażeń bez ograniczeń. Można je redukować, sprowadzać do nowego mianownika, pracować oddzielnie z licznikiem i mianownikiem. Zilustrujmy to przykładami.

Przykład 7

Uprość wyrażenie potęgowe 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Decyzja

Mamy do czynienia z ułamkiem, więc przeprowadzimy przekształcenia zarówno w liczniku, jak i mianowniku:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Umieść minus przed ułamkiem, aby zmienić znak mianownika: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Odpowiedź: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Ułamki zawierające potęgi sprowadza się do nowego mianownika w taki sam sposób, jak ułamki wymierne. Aby to zrobić, musisz znaleźć dodatkowy czynnik i pomnożyć przez niego licznik i mianownik ułamka. Konieczne jest dobranie dodatkowego czynnika w taki sposób, aby nie zniknął on dla żadnych wartości zmiennych ze zmiennych ODZ dla pierwotnego wyrażenia.

Przykład 8

Przenieś ułamki do nowego mianownika: a) a + 1 a 0, 7 do mianownika a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 do mianownika x + 8 y 1 2 .

Decyzja

a) Wybieramy czynnik, który pozwoli nam zredukować do nowego mianownika. za 0 , 7 za 0 , 3 = za 0 , 7 + 0 , 3 = za , dlatego jako dodatkowy czynnik przyjmujemy 0 , 3. Zakres dopuszczalnych wartości zmiennej a obejmuje zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych. W tym obszarze stopień 0 , 3 nie spada do zera.

Pomnóżmy licznik i mianownik ułamka przez 0 , 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Zwróć uwagę na mianownik:

x 2 3 - 2 x 1 3 rok 1 6 + 4 rok 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 rok 1 6 + 2 rok 1 6 2

Pomnóż to wyrażenie przez x 1 3 + 2 · y 1 6 , otrzymamy sumę sześcianów x 1 3 i 2 · y 1 6 , czyli x + 8 · y 1 2 . To jest nasz nowy mianownik, do którego musimy sprowadzić pierwotny ułamek.

Więc znaleźliśmy dodatkowy czynnik x 1 3 + 2 · y 1 6 . O zakresie dopuszczalnych wartości zmiennych x oraz tak wyrażenie x 1 3 + 2 y 1 6 nie znika, więc możemy przez nie pomnożyć licznik i mianownik ułamka:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 lat 1 6 + 4 lat 1 3 = = x 1 3 + 2 lat 1 6 x 1 3 + 2 lat 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 lat 1 6 + 4 lat 1 3 = = x 1 3 + 2 rok 1 6 x 1 3 3 + 2 rok 1 6 3 = x 1 3 + 2 rok 1 6 x + 8 rok 1 2

Odpowiedź: a) a + 1 a 0,7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 1 2 .

Przykład 9

Zmniejsz ułamek: a) 30 x 3 (x 0,5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0,5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Decyzja

a) Użyj największego wspólnego mianownika (NWD), o który można zmniejszyć licznik i mianownik. Dla liczb 30 i 45 jest to 15 . Możemy również zredukować x 0 , 5 + 1 i na x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Otrzymujemy:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Tutaj obecność identycznych czynników nie jest oczywista. Będziesz musiał wykonać kilka przekształceń, aby uzyskać te same współczynniki w liczniku i mianowniku. Aby to zrobić, rozszerzamy mianownik za pomocą wzoru na różnicę kwadratów:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Odpowiedź: a) 30 x 3 (x 0,5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0,5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Główne operacje na ułamkach to redukcja do nowego mianownika i redukcja ułamków. Obie czynności wykonywane są zgodnie z szeregiem zasad. Podczas dodawania i odejmowania ułamków ułamki są najpierw redukowane do wspólnego mianownika, po czym wykonywane są operacje (dodawanie lub odejmowanie) z licznikami. Mianownik pozostaje ten sam. Wynikiem naszych działań jest nowy ułamek, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik iloczynem mianowników.

Przykład 10

Wykonaj kroki x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Decyzja

Zacznijmy od odjęcia ułamków znajdujących się w nawiasach. Sprowadźmy je do wspólnego mianownika:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Odejmijmy liczniki:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Teraz mnożymy ułamki:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Zmniejszmy o stopień x 1 2 otrzymujemy 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Dodatkowo możesz uprościć wyrażenie potęgowe w mianowniku, używając wzoru na różnicę kwadratów: kwadraty: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Odpowiedź: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Przykład 11

Uprość wyrażenie potęgowe x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Decyzja

Możemy zmniejszyć ułamek o (x 2 , 7 + 1) 2. Otrzymujemy ułamek x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Kontynuujmy transformacje x potęg x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Teraz możesz użyć właściwości dzielenia potęgi z tymi samymi podstawami: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Przechodzimy od ostatniego produktu do ułamka x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Odpowiedź: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

W większości przypadków wygodniej jest przenieść mnożniki z ujemnymi wykładnikami z licznika na mianownik i odwrotnie, zmieniając znak wykładnika. To działanie upraszcza dalszą decyzję. Podajmy przykład: wyrażenie potęgowe (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 można zastąpić przez x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Konwersja wyrażeń z pierwiastkami i potęgami

W zadaniach istnieją wyrażenia potęgowe, które zawierają nie tylko stopnie z wykładnikami ułamkowymi, ale także pierwiastki. Pożądane jest sprowadzenie takich wyrażeń tylko do korzeni lub tylko do potęg. Preferowane jest przejście na stopnie, ponieważ łatwiej się z nimi pracuje. Takie przejście jest szczególnie korzystne, gdy DPV zmiennych oryginalnego wyrażenia pozwala na zastąpienie pierwiastków potęgami bez konieczności dostępu do modułu lub dzielenia DPV na kilka przedziałów.

Przykład 12

Wyraź wyrażenie x 1 9 x x 3 6 jako potęgę.

Decyzja

Prawidłowy zakres zmiennej x wyznaczają dwie nierówności x ≥ 0 oraz x · x 3 ≥ 0 , które definiują zbiór [ 0 , + ∞) .

Na tym zestawie mamy prawo przejść od korzeni do potęg:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Korzystając z właściwości stopni, upraszczamy wynikowe wyrażenie potęgowe.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Odpowiedź: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Zamiana potęg ze zmiennymi w wykładniku

Te przekształcenia są dość proste do wykonania, jeśli poprawnie użyjesz właściwości stopnia. Na przykład, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Możemy zastąpić iloczyn stopnia, w jakim znajduje się suma pewnej zmiennej i liczby. Po lewej stronie można to zrobić za pomocą pierwszego i ostatniego wyrazu po lewej stronie wyrażenia:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Teraz podzielmy obie strony równania przez 7 2x. To wyrażenie na ODZ zmiennej x przyjmuje tylko wartości dodatnie:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0,5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Zmniejszmy ułamki przez potęgi, otrzymujemy: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Ostatecznie iloraz potęg z tymi samymi wykładnikami zostaje zastąpiony potęgami ilorazów, co prowadzi do równania 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , co jest równoważne 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x-2 = 0.

Wprowadźmy nową zmienną t = 5 7 x , która redukuje rozwiązanie pierwotnego równania wykładniczego do rozwiązania równania kwadratowego 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Zamiana wyrażeń z potęgami i logarytmami

W problemach można również znaleźć wyrażenia zawierające potęgi i logarytmy. Przykładami takich wyrażeń są: 1 4 1 - 5 log 2 3 lub log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Transformacja takich wyrażeń odbywa się przy użyciu omówionych powyżej podejść i własności logarytmów, które szczegółowo przeanalizowaliśmy w temacie „Transformacja wyrażeń logarytmicznych”.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Dodawanie i odejmowanie potęg

Oczywiście liczby z potęgami można dodawać jak inne wielkości , dodając je jeden po drugim wraz z ich znakami.

Zatem suma a 3 i b 2 to a 3 + b 2 .
Suma a 3 - b n i h 5 -d 4 to a 3 - b n + h 5 - d 4.

Szanse te same moce tych samych zmiennych można dodawać lub odejmować.

Zatem suma 2a 2 i 3a 2 to 5a 2 .

Jest też oczywiste, że jeśli weźmiemy dwa kwadraty a, lub trzy kwadraty a, lub pięć kwadratów a.

Ale stopnie różne zmienne oraz różne stopnie identyczne zmienne, należy dodać, dodając je do ich znaków.

Zatem suma a 2 i a 3 jest sumą a 2 + a 3 .

Jest oczywiste, że kwadrat a i sześcian a nie jest ani dwukrotnością kwadratu a, ale dwukrotnością sześcianu a.

Suma a 3 b n i 3a 5 b 6 to a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Odejmowanie uprawnienia odbywa się w taki sam sposób, jak dodawanie, z tym wyjątkiem, że znaki oddzielenia muszą być odpowiednio zmienione.

Lub:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Mnożenie potęgi

Liczby z potęgami można mnożyć, podobnie jak inne wielkości, pisząc je jedna po drugiej, z lub bez znaku mnożenia między nimi.

Tak więc wynikiem pomnożenia a 3 przez b 2 jest a 3 b 2 lub aaabb.

Lub:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 x y 2
a 2 b 3 r 2 ⋅ a 3 b 2 r = a 2 b 3 r 2 za 3 b 2 r

Wynik w ostatnim przykładzie można uporządkować, dodając te same zmienne.
Wyrażenie przyjmie postać: a 5 b 5 y 3 .

Porównując kilka liczb (zmiennych) z potęgami, widzimy, że jeśli pomnoży się dowolne dwie z nich, to otrzymamy liczbę (zmienną) o potędze równej suma stopnie terminów.

A więc a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Tutaj 5 jest potęgą wyniku mnożenia, równą 2 + 3, sumą potęg wyrazów.

A więc n .a m = a m+n .

Dla n , a jest brane jako czynnik tyle razy, ile jest potęgi n;

A m , przyjmuje się jako czynnik tyle razy, ile stopni m jest równe;

Więc, potęgi o tych samych podstawach można pomnożyć przez dodanie wykładników.

A więc a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Oraz x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Lub:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 r 3 ⋅ b 4 r = b 6 r 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Pomnóż (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpowiedź: x 4 - r 4.
Pomnóż (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ta zasada obowiązuje również dla liczb, których wykładniki wynoszą − negatywny.

1. A więc a -2 .a -3 = a -5 . Można to zapisać jako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a-n .a m = a m-n .

Jeśli a + b pomnożymy przez a - b, wynikiem będzie a 2 - b 2: czyli

Wynik pomnożenia sumy lub różnicy dwóch liczb jest równy sumie lub różnicy ich kwadratów.

Jeśli suma i różnica dwóch liczb podniesiona do kwadrat, wynik będzie równy sumie lub różnicy tych liczb w czwarty stopień.

Tak więc (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Podział władz

Liczby potęgowe można dzielić tak jak inne liczby, odejmując od dzielnika lub umieszczając je w postaci ułamka.

Więc a 3 b 2 podzielone przez b 2 to a 3 .

Zapisanie 5 podzielonej przez 3 wygląda jak $\frac $. Ale to jest równe 2 . W serii liczb
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
dowolną liczbę można podzielić przez drugą, a wykładnik będzie równy różnica wskaźniki liczb podzielnych.

Dzieląc potęgi o tej samej podstawie, ich wykładniki są odejmowane..

Tak więc y 3: y 2 = y 3-2 = y 1 . Oznacza to, że $\frac = y$.

A n+1:a = a n+1-1 = a n . Oznacza to, że $\frac = a^n$.

Lub:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Zasada obowiązuje również dla liczb z negatywny wartości stopni.
Wynik dzielenia -5 przez -3 daje -2 .
Również $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 lub $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Konieczne jest bardzo dobre opanowanie mnożenia i dzielenia potęg, ponieważ takie operacje są bardzo szeroko stosowane w algebrze.

Przykłady rozwiązywania przykładów z ułamkami zawierającymi liczby z potęgami

1. Zmniejsz wykładniki w $\frac $ Odpowiedź: $\frac $.

2. Zmniejsz wykładniki w $\frac$. Odpowiedź: $\frac $ lub 2x.

3. Zmniejsz wykładniki a 2 / a 3 i a -3 / a -4 i doprowadź do wspólnego mianownika.
a 2 .a -4 to pierwszy licznik -2.
a 3 .a -3 to 0 = 1, drugi licznik.
a 3 .a -4 to -1 , wspólny licznik.
Po uproszczeniu: a -2 /a -1 i 1/a -1 .

4. Zmniejsz wykładniki 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 i doprowadź do wspólnego mianownika.
Odpowiedź: 2a 3 / 5a 7 i 5a 5 / 5a 7 lub 2a 3 / 5a 2 i 5/5a 2.

5. Pomnóż (a 3 + b)/b 4 przez (a - b)/3.

6. Pomnóż (a 5 + 1)/x 2 przez (b 2 - 1)/(x + a).

7. Pomnóż b 4 /a -2 przez h -3 /x i a n /y -3 .

8. Podziel 4 /y 3 przez 3 /y 2 . Odpowiedź: a/y.

właściwości stopnia

Przypominamy, że w tej lekcji rozumiemy właściwości stopnia z naturalnymi wskaźnikami i zerem. Stopnie z wymiernymi wskaźnikami i ich właściwości zostaną omówione na lekcjach dla klasy 8.

Wykładnik z wykładnikiem naturalnym ma kilka ważnych właściwości, które pozwalają uprościć obliczenia w przykładowych wykładnikach.

Właściwość #1
Iloczyn uprawnień

Podczas mnożenia potęg przy tej samej podstawie podstawa pozostaje niezmieniona, a wykładniki są dodawane.

a m a n \u003d a m + n, gdzie „a” to dowolna liczba, a „m”, „n” to dowolne liczby naturalne.

Ta właściwość potęg ma również wpływ na iloczyn trzech lub więcej potęg.

• Uprość wyrażenie.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Obecny jako stopień naukowy.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Obecny jako stopień naukowy.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Należy pamiętać, że we wskazanej właściwości chodziło tylko o mnożenie potęg przy tych samych podstawach.. Nie dotyczy ich dodawania.

Nie możesz zastąpić sumy (3 3 + 3 2) przez 3 5 . Jest to zrozumiałe, jeśli
oblicz (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 i 3 5 = 243

Właściwość #2
Stopnie prywatne

Podczas dzielenia potęgi za pomocą tej samej podstawy podstawa pozostaje niezmieniona, a wykładnik dzielnika jest odejmowany od wykładnika dywidendy.

• Zapisz iloraz jako potęgę
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Oblicz.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Przykład. Rozwiązać równanie. Korzystamy z własności częściowych stopni.
3 8: t = 3 4

Odpowiedź: t = 3 4 = 81

Korzystając z właściwości nr 1 i nr 2, możesz łatwo uprościć wyrażenia i wykonać obliczenia.

Przykład. Uprość wyrażenie.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Przykład. Znajdź wartość wyrażenia za pomocą właściwości stopnia.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Należy pamiętać, że właściwość 2 dotyczyła wyłącznie podziału kompetencji za pomocą tych samych zasad.

Nie możesz zastąpić różnicy (4 3 -4 2) przez 4 1 . Jest to zrozumiałe, jeśli obliczysz (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 i 4 1 = 4

Właściwość #3
Potęgowanie

Podczas podnoszenia potęgi do potęgi podstawa potęgi pozostaje niezmieniona, a wykładniki są mnożone.

(a n) m \u003d a n m, gdzie „a” to dowolna liczba, a „m”, „n” to dowolne liczby naturalne.

Przypominamy, że iloraz można przedstawić jako ułamek. Dlatego bardziej szczegółowo zajmiemy się tematem podniesienia ułamka do potęgi na następnej stronie.

Jak mnożyć moce

Jak mnożyć moce? Jakie uprawnienia można mnożyć, a jakie nie? Jak pomnożyć liczbę przez potęgę?

W algebrze można znaleźć iloczyn potęgowania w dwóch przypadkach:

1) jeżeli stopnie mają tę samą podstawę;

2) jeżeli stopnie mają te same wskaźniki.

Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, podstawa musi pozostać taka sama, a wykładniki muszą zostać dodane:

Mnożąc stopnie z tymi samymi wskaźnikami, całkowity wskaźnik można wyjąć z nawiasów:

Zastanów się, jak pomnożyć moce na konkretnych przykładach.

Jednostka w wykładniku nie jest zapisywana, ale mnożąc stopnie, uwzględniają:

Podczas mnożenia liczba stopni może być dowolna. Należy pamiętać, że nie można napisać znaku mnożenia przed literą:

W wyrażeniach potęgowanie jest wykonywane jako pierwsze.

Jeśli potrzebujesz pomnożyć liczbę przez potęgę, musisz najpierw wykonać potęgowanie, a dopiero potem - mnożenie:

Mnożenie mocy przez tę samą podstawę

Ten samouczek wideo jest dostępny w ramach subskrypcji

Masz już abonament? Wejść

W tej lekcji dowiemy się, jak mnożyć moce za pomocą tej samej podstawy. Najpierw przywołujemy definicję stopnia i formułujemy twierdzenie o ważności równości . Następnie podajemy przykłady jego zastosowania do konkretnych liczb i udowadniamy to. Twierdzenie to zastosujemy również do rozwiązywania różnych problemów.

Temat: Stopień z naturalnym wskaźnikiem i jego właściwości

Lekcja: Mnożenie potęg z tymi samymi podstawami (wzór)

1. Podstawowe definicje

Podstawowe definicje:

n- wykładnik,

— n-ta potęga liczby.

2. Stwierdzenie twierdzenia 1

Twierdzenie 1. Dla dowolnej liczby a i wszelkie naturalne n oraz k równość jest prawdziwa:

Innymi słowy: jeśli a- Jakikolwiek numer; n oraz k liczby naturalne, to:

Stąd zasada 1:

3. Wyjaśnianie zadań

Wniosek: przypadki szczególne potwierdziły poprawność Twierdzenia nr 1. Udowodnijmy to w przypadek ogólny, czyli dla każdego a i wszelkie naturalne n oraz k.

4. Dowód twierdzenia 1

Podany numer a- każdy; liczby n oraz k- naturalny. Udowodnić:

Dowód opiera się na definicji stopnia.

5. Rozwiązanie przykładów za pomocą Twierdzenia 1

Przykład 1: Obecny jako stopień naukowy.

Aby rozwiązać poniższe przykłady, użyjemy Twierdzenia 1.

g)

6. Uogólnienie twierdzenia 1

Oto uogólnienie:

7. Rozwiązanie przykładów za pomocą uogólnienia Twierdzenia 1

8. Rozwiązywanie różnych problemów za pomocą Twierdzenia 1

Przykład 2: Oblicz (możesz skorzystać z tabeli podstawowych stopni).

a) (wg tabeli)

b)

Przykład 3: Napisz jako potęgę o podstawie 2.

a)

Przykład 4: Określ znak liczby:

, a - ujemny, ponieważ wykładnik przy -13 jest nieparzysty.

Przykład 5: Zastąp ( ) mocą z podstawą r:

To znaczy mamy .

9. Podsumowując

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. i wsp. Algebra 7. Wyd. M.: Oświecenie. 2010

1. Asystent szkolny (źródło).

1. Wyraź jako stopień:

a B C D E)

3. Napisz jako potęgę o podstawie 2:

4. Określ znak liczby:

a)

5. Zastąp ( ) potęgą liczby z podstawą r:

a) r4() = r15; b) ( ) r 5 = r 6

Mnożenie i dzielenie potęg z tymi samymi wykładnikami

W tej lekcji przestudiujemy mnożenie potęg z tymi samymi wykładnikami. Przypomnijmy najpierw podstawowe definicje i twierdzenia dotyczące mnożenia i dzielenia potęg o tych samych podstawach oraz podnoszenia potęgi do potęgi. Następnie formułujemy i dowodzimy twierdzenia o mnożeniu i dzieleniu potęg z tymi samymi wykładnikami. A potem z ich pomocą rozwiążemy szereg typowych problemów.

Przypomnienie podstawowych definicji i twierdzeń

Tutaj a- podstawa stopnia

— n-ta potęga liczby.

Twierdzenie 1. Dla dowolnej liczby a i wszelkie naturalne n oraz k równość jest prawdziwa:

Gdy mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodaje się wykładniki, podstawa pozostaje niezmieniona.

Twierdzenie 2. Dla dowolnej liczby a i wszelkie naturalne n oraz k, takie, że n > k równość jest prawdziwa:

Podczas dzielenia potęgi o tej samej podstawie wykładniki są odejmowane, a podstawa pozostaje niezmieniona.

Twierdzenie 3. Dla dowolnej liczby a i wszelkie naturalne n oraz k równość jest prawdziwa:

Wszystkie powyższe twierdzenia dotyczyły mocy o tym samym fusy, ta lekcja dotyczy stopni z tym samym wskaźniki.

Przykłady mnożenia potęg z tymi samymi wykładnikami

Rozważ następujące przykłady:

Wypiszmy wyrażenia określające stopień.

Wniosek: Z przykładów widać, że , ale trzeba to jeszcze udowodnić. Formułujemy twierdzenie i dowodzimy je w ogólnym przypadku, czyli dla dowolnego a oraz b i wszelkie naturalne n.

Stwierdzenie i dowód Twierdzenia 4

Dla dowolnych liczb a oraz b i wszelkie naturalne n równość jest prawdziwa:

Dowód Twierdzenie 4 .

Z definicji stopnia:

Udowodniliśmy więc, że .

Aby pomnożyć potęgi z tym samym wykładnikiem, wystarczy pomnożyć podstawy i pozostawić wykładnik bez zmian.

Stwierdzenie i dowód Twierdzenia 5

Sformułujemy twierdzenie o dzieleniu potęg z tymi samymi wykładnikami.

Dla dowolnej liczby a oraz b() i wszelkie naturalne n równość jest prawdziwa:

Dowód Twierdzenie 5 .

Zapiszmy i zgodnie z definicją stopnia:

Stwierdzenie twierdzeń słowami

Więc udowodniliśmy to.

Aby podzielić między sobą stopnie o tych samych wykładnikach, wystarczy podzielić jedną podstawę przez drugą, a wykładnik pozostawić bez zmian.

Rozwiązanie typowych problemów za pomocą Twierdzenia 4

Przykład 1: Wyraź jako iloczyn sił.

Aby rozwiązać poniższe przykłady, użyjemy Twierdzenia 4.

Aby rozwiązać następujący przykład, przywołaj formuły:

Uogólnienie twierdzenia 4

Uogólnienie twierdzenia 4:

Rozwiązywanie przykładów za pomocą uogólnionego twierdzenia 4

Dalsze rozwiązywanie typowych problemów

Przykład 2: Napisz jako stopień produktu.

Przykład 3: Napisz jako potęgę z wykładnikiem 2.

Przykłady obliczeń

Przykład 4: Oblicz w najbardziej racjonalny sposób.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. i inne Algebra 7 .M.: Edukacja. 2006

2. Asystent szkolny (Źródło).

1. Przedstawiać jako iloczyn uprawnień:

a) ; b) ; w) ; G) ;

2. Zapisz jako stopień produktu:

3. Napisz w formie stopnia ze wskaźnikiem 2:

4. Oblicz w najbardziej racjonalny sposób.

Lekcja matematyki na temat „Mnożenie i dzielenie władzy”

Sekcje: Matematyka

Cel pedagogiczny:

uczeń się nauczy rozróżniać właściwości mnożenia i dzielenia potęg z wykładnikiem naturalnym; zastosować te właściwości w przypadku tych samych baz;

uczeń będzie miał okazję umieć przeprowadzać przekształcenia stopni o różnych podstawach i umieć przeprowadzać przekształcenia w połączonych zadaniach.

Zadania:

organizować pracę uczniów, powtarzając wcześniej przestudiowany materiał;

zapewnić poziom reprodukcji, wykonując ćwiczenia różnego rodzaju;

organizować samoocenę uczniów poprzez testy.

Jednostki aktywności doktryny: określenie stopnia za pomocą wskaźnika naturalnego; składniki stopnia; definicja prywatności; asocjacyjne prawo mnożenia.

I. Organizacja przez studentów pokazu opanowania dotychczasowej wiedzy. (krok 1)

a) Aktualizacja wiedzy:

2) Sformułuj definicję stopnia za pomocą wskaźnika naturalnego.

a n \u003d a a a ... a (n razy)

b k \u003d b b b b a ... b (k razy) Uzasadnij swoją odpowiedź.

II. Organizacja samooceny stażysty według stopnia posiadania odpowiedniego doświadczenia. (krok 2)

Test do samokontroli: (praca indywidualna w dwóch wersjach.)

A1) Wyraź iloczyn 7 7 7 7 x x x jako potęgę:

A2) Wyraź jako iloczyn stopień (-3) 3 x 2

A3) Oblicz: -2 3 2 + 4 5 3

Liczbę zadań w teście dobieram zgodnie z przygotowaniem poziomu zajęć.

Do testu podaję klucz do samodzielnego sprawdzenia. Kryteria: zaliczony-niezaliczony.

III. Zadanie edukacyjno-praktyczne (krok 3) + krok 4. (uczniowie sami sformułują właściwości)

obliczyć: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

Uprość: a 2 za 20 =? b 30 b 10 b 15 = ?

W trakcie rozwiązywania problemów 1) i 2) uczniowie proponują rozwiązanie, a ja jako nauczyciel organizuję zajęcia, aby znaleźć sposób na uproszczenie uprawnień przy mnożeniu z tymi samymi podstawami.

Nauczyciel: wymyśl sposób na uproszczenie mocy podczas mnożenia przy tej samej podstawie.

W klastrze pojawia się wpis:

Sformułowano temat lekcji. Mnożenie władzy.

Nauczyciel: wymyśl zasadę dzielenia stopni tymi samymi podstawami.

Rozumowanie: jakie działanie sprawdza podział? a 5: a 3 = ? że a 2 a 3 = a 5

Wracam do schematu - klaster i uzupełniam wpis - ..przy dzieleniu odejmuję i dodaję temat lekcji. ...i podział stopni.

IV. Przekazywanie studentom granic wiedzy (jako minimum i jako maksimum).

Nauczyciel: zadaniem minimum na dzisiejszej lekcji jest nauczenie się stosowania własności mnożenia i dzielenia potęg przy tych samych podstawach, a maksimum: łącznego stosowania mnożenia i dzielenia.

Napisz na tablicy : a m za n = za m + n ; a m: a n = a m-n

V. Organizacja badania nowego materiału. (krok 5)

a) Wg podręcznika: nr 403 (a, c, e) zadania o innym brzmieniu

nr 404 (a, e, f) samodzielna praca, potem organizuję wzajemną kontrolę, oddaję klucze.

b) Dla jakiej wartości m obowiązuje równość? 16 m \u003d 32; x wys x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Zadanie: wymyśl podobne przykłady do podziału.

c) nr 417(a), nr 418(a) Pułapki na studentów: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; 16: 8 \u003d 2.

VI. Podsumowanie tego, czego się nauczono, prowadzenie prac diagnostycznych (co zachęca uczniów, a nie nauczycieli do studiowania tego tematu) (krok 6)

prace diagnostyczne.

Test(włóż klucze) Odwrotna strona test).

Warianty zadania: przedstaw jako stopień iloraz x 15: x 3; reprezentują jako potęgę iloczyn (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; dla których m jest równością a 16 a m = a 32 prawda; znajdź wartość wyrażenia h 0: h 2 z h = 0,2; obliczyć wartość wyrażenia (5 2 5 0) : 5 2 .

Podsumowanie lekcji. Odbicie. Dzielę klasę na dwie grupy.

Znajdź argumenty grupy I: na korzyść znajomości właściwości stopnia, a grupy II - argumenty, które powiedzą, że możesz się obejść bez właściwości. Wysłuchujemy wszystkich odpowiedzi, wyciągamy wnioski. Na kolejnych lekcjach możesz podać dane statystyczne i nazwać rubrykę „Nie pasuje mi to do głowy!”

Przeciętny człowiek zjada w ciągu swojego życia 32 10 2 kg ogórków.

Osa jest w stanie wykonać nieprzerwany lot 3,2·10·2 km.

Gdy szkło pęka, pęknięcie rozprzestrzenia się z prędkością około 5 10 3 km/h.

Żaba zjada w swoim życiu ponad 3 tony komarów. Używając stopnia, napisz w kg.

Najbardziej płodna jest ryba oceaniczna - księżyc (Mola mola), która w jednym tarle składa do 300 000 000 jaj o średnicy około 1,3 mm. Napisz tę liczbę, używając stopnia.

VII. Zadanie domowe.

Odniesienie do historii. Jakie liczby nazywają się liczbami Fermata.

s.19. #403, #408, #417

Używane książki:

Podręcznik „Algebra-7”, autorzy Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk i inni.

Materiał dydaktyczny dla klasy 7, L.V. Kuzniecowa, LI. Zvavich, S.B. Suworow.

Encyklopedia Matematyki.

Czasopismo „Kwantowe”.

Własności stopni, sformułowania, dowody, przykłady.

Po określeniu stopnia liczby logiczne jest, aby o tym mówić właściwości stopnia. W tym artykule podamy podstawowe własności stopnia liczby, dotykając wszystkich możliwych wykładników. Tutaj przedstawimy dowody wszystkich właściwości stopnia, a także pokażemy, jak te właściwości są stosowane podczas rozwiązywania przykładów.

Nawigacja po stronach.

Właściwości stopni z naturalnymi wskaźnikami

Z definicji potęgi z wykładnikiem naturalnym potęga a n jest iloczynem n czynników, z których każdy jest równy a . Opierając się na tej definicji i używając właściwości mnożenia liczb rzeczywistych, możemy uzyskać i uzasadnić następujące właściwości stopnia z wykładnikiem naturalnym:

główna własność stopnia a m ·a n =a m+n , jego uogólnienie a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ;

własność potęg cząstkowych o tych samych podstawach a m:a n =a m−n ;

właściwość stopnia produktu (a b) n =a n b n , jego rozszerzenie (a 1 a 2 a k) n = a 1 n a 2 n a k n ;

iloraz własności rzeczowej (a:b) n =a n:b n ;

potęgowanie (a m) n =a m n , jego uogólnienie (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 ·n 2 ·... n k ;

porównywanie stopnia z zerem:

• jeśli a>0 , to a n >0 dla dowolnego naturalnego n ;
• jeśli a=0 , to a n =0 ;
• jeśli a 2 m > 0 , jeśli a 2 m−1 n ;
• jeśli m i n są liczbami naturalnymi takimi, że m>n , to dla 0m n i dla a>0 nierówność a m >a n jest prawdziwa.

Od razu zauważamy, że wszystkie zapisane równości są identyczny w określonych warunkach, a ich prawą i lewą część można zamienić. Na przykład główna właściwość ułamka a m a n = a m + n with uproszczenie wyrażeń często używany w postaci a m+n = a m a n .

Przyjrzyjmy się teraz szczegółowo każdemu z nich.

Zacznijmy od własności iloczynu dwóch potęg o tych samych podstawach, którą nazywamy główna właściwość stopnia: dla dowolnej liczby rzeczywistej a i dowolnych liczb naturalnych m i n, równość a m ·a n =a m+n jest prawdziwa.

Udowodnijmy główną właściwość stopnia. Z definicji stopnia z wykładnikiem naturalnym iloczyn potęg o tych samych podstawach postaci a m a n można zapisać jako iloczyn . Ze względu na właściwości mnożenia wynikowe wyrażenie można zapisać jako , a ten iloczyn jest potęgą a z wykładnikiem naturalnym m+n , czyli a m+n . To kończy dowód.

Podajmy przykład, który potwierdza główną właściwość stopnia. Weźmy stopnie o tej samej podstawie 2 i potęgach naturalnych 2 i 3, zgodnie z główną własnością stopnia, możemy zapisać równość 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Sprawdźmy jego poprawność, dla której obliczamy wartości wyrażeń 2 2 ·2 3 i 2 5 . Wykonując potęgowanie, mamy 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 i 2 5 =2 2 2 2 2=32 , ponieważ otrzymujemy równe wartości, to równość 2 2 2 3 = 2 5 jest prawdziwe i potwierdza główną właściwość stopnia.

Główną właściwość stopnia opartego na właściwościach mnożenia można uogólnić na iloczyn trzech lub więcej potęg o tych samych podstawach i naturalnych wykładnikach. Czyli dla dowolnej liczby k liczb naturalnych n 1 , n 2 , …, n k równość a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k jest prawdziwa.

Na przykład (2,1) 3 (2,1) 3 (2,1) 4 (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 = (2,1) 17 .

Możesz przejść do następnej właściwości stopni za pomocą naturalnego wskaźnika - własność potęg cząstkowych o tych samych podstawach: dla dowolnej niezerowej liczby rzeczywistej a i dowolnych liczb naturalnych m i n spełniających warunek m>n , równość a m:a n =a m−n jest prawdziwa.

Zanim przedstawimy dowód tej własności, omówmy znaczenie dodatkowych warunków w oświadczeniu. Warunek a≠0 jest konieczny, aby uniknąć dzielenia przez zero, ponieważ 0 n =0, a kiedy zapoznaliśmy się z dzieleniem, zgodziliśmy się, że nie da się dzielić przez zero. Warunek m>n został wprowadzony, aby nie wychodzić poza naturalne wykładniki. Rzeczywiście, dla m>n wykładnik a m−n jest liczbą naturalną, w przeciwnym razie będzie albo zero (co ma miejsce, gdy m−n) albo liczba ujemna (co ma miejsce, gdy m m−n a n =a (m−n) + n = a m Z otrzymanej równości a m−n a n = a m oraz ze związku mnożenia z dzieleniem wynika, że ​​a m−n jest potęgą cząstkową a m oraz a n Dowodzi to własności potęg cząstkowych o tych samych podstawach.

Weźmy przykład. Weźmy dwa stopnie o tych samych podstawach π i naturalnych wykładnikach 5 i 2, rozważana własność stopnia odpowiada równości π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

Teraz rozważ właściwość stopnia produktu: naturalny stopień n iloczynu dowolnych dwóch liczb rzeczywistych a i b jest równy iloczynowi stopni a n i bn , czyli (a b) n =a n b n .

Rzeczywiście, z definicji stopnia z wykładnikiem naturalnym mamy . Ostatni iloczyn, na podstawie właściwości mnożenia, można przepisać jako , który jest równy a n b n .

Oto przykład: .

Ta właściwość rozciąga się na stopień iloczynu trzech lub więcej czynników. Oznacza to, że właściwość stopnia naturalnego n iloczynu k czynników jest zapisana jako (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

Dla jasności pokazujemy tę właściwość na przykładzie. Dla iloczynu trzech czynników do potęgi 7 mamy .

Następna nieruchomość to własność przyrodnicza: iloraz liczb rzeczywistych aib , b≠0 do potęgi naturalnej n jest równy ilorazowi potęg a n i b n , czyli (a:b) n =a n:b n .

Dowód można przeprowadzić przy użyciu poprzedniej właściwości. Zatem (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n , az równości (a:b) n b n =a n wynika, że ​​(a:b) n jest ilorazem a n do b n .

Napiszmy tę właściwość na przykładzie konkretnych liczb: .

Teraz zabierzmy głos właściwość potęgowania: dla dowolnej liczby rzeczywistej a i dowolnych liczb naturalnych m i n potęga a m do potęgi n jest równa potęgi a z wykładnikiem m·n , czyli (a m) n =a m·n .

Na przykład (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

Dowodem własności władzy w stopniu jest następujący łańcuch równości: .

Rozważana właściwość może zostać rozszerzona o stopień w stopniu w stopniu i tak dalej. Na przykład dla dowolnych liczb naturalnych p, q, r i s, równość . Dla większej jasności podajmy przykład z określonymi liczbami: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Pozostaje zastanowić się nad właściwościami porównywania stopni z naturalnym wykładnikiem.

Zaczynamy od udowodnienia własności porównania zera i potęgi za pomocą naturalnego wykładnika.

Najpierw uzasadnijmy, że a n >0 dla dowolnego a>0 .

Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, jak wynika z definicji mnożenia. Ten fakt oraz właściwości mnożenia pozwalają stwierdzić, że wynik mnożenia dowolnej liczby liczb dodatnich będzie również liczbą dodatnią. A potęga a z wykładnikiem naturalnym n jest z definicji iloczynem n czynników, z których każdy jest równy a. Argumenty te pozwalają nam stwierdzić, że dla dowolnej dodatniej podstawy a stopień a n jest liczbą dodatnią. Na mocy udowodnionej własności 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 i .

Jest całkiem oczywiste, że dla każdego naturalnego n przy a=0 stopień a n wynosi zero. Rzeczywiście, 0 n =0,0·…·0=0 . Na przykład 0 3 =0 i 0 762 =0 .

Przejdźmy do podstaw ujemnych.

Zacznijmy od przypadku, gdy wykładnik jest liczbą parzystą, oznaczmy go jako 2 m , gdzie m jest liczbą naturalną. Następnie . Zgodnie z zasadą mnożenia liczb ujemnych każdy z iloczynów postaci a a jest równy iloczynowi modułów liczb a i a, co oznacza, że ​​jest liczbą dodatnią. Dlatego produkt będzie również pozytywny. i stopień 2 m . Oto przykłady: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 i .

Wreszcie, gdy podstawa a jest liczbą ujemną, a wykładnikiem jest liczba nieparzysta 2 m−1, to . Wszystkie iloczyny a·a są liczbami dodatnimi, iloczyn tych liczb dodatnich jest również dodatni, a jego pomnożenie przez pozostałą liczbę ujemną a daje liczbę ujemną. Na mocy tej własności (−5) 3 17 n n jest iloczynem lewej i prawej części n prawdziwych nierówności a własności nierówności, udowadniana nierówność ma postać a n n . Na przykład z powodu tej własności nierówności 3 7 7 i .

Pozostaje udowodnić ostatnią z wymienionych właściwości potęg z wykładnikami naturalnymi. Sformułujmy to. Spośród dwóch stopni z naturalnymi wskaźnikami i tymi samymi pozytywnymi podstawami, mniejszym niż jeden, stopień jest większy, którego wskaźnik jest mniejszy; i dwóch stopni z naturalnymi wskaźnikami i tymi samymi podstawami większymi niż jeden, stopień jest większy, którego wskaźnik jest większy. Zwracamy się do dowodu tej właściwości.

Udowodnijmy, że dla m>n i 0m n . Aby to zrobić, piszemy różnicę a m − a n i porównujemy ją z zerem. Zapisana różnica po wyjęciu n z nawiasów przybierze postać a n ·(a m−n −1) . Otrzymany iloczyn jest ujemny jako iloczyn liczby dodatniej a n i liczby ujemnej a m−n −1 (a n jest dodatnia jako potęga naturalna liczby dodatniej, a różnica a m−n −1 jest ujemna, ponieważ m−n >0 ze względu na warunek początkowy m>n , z którego wynika, że ​​dla 0m−n jest to mniej niż jeden). A zatem a m − a n m n , co miało być udowodnione. Na przykład podajemy poprawną nierówność.

Pozostaje udowodnić drugą część nieruchomości. Udowodnijmy, że dla m>n i a>1, a m >a n jest prawdziwe. Różnica a m −a n po wyjęciu n z nawiasów przyjmuje postać a n ·(a m−n −1) . Iloczyn ten jest dodatni, ponieważ dla a>1 stopień a n jest liczbą dodatnią, a różnica a m−n −1 jest liczbą dodatnią, ponieważ m−n>0 ze względu na warunek początkowy, a dla a>1, stopień m−n jest większy niż jeden . Zatem a m − a n >0 i a m >a n , co miało być udowodnione. Własność tę ilustruje nierówność 3 7 >3 2 .

Własności stopni z wykładnikami całkowitymi

Ponieważ liczby całkowite dodatnie są liczbami naturalnymi, to wszystkie własności potęg z dodatnimi wykładnikami całkowitymi dokładnie pokrywają się z własnościami potęg z wykładnikami naturalnymi wymienionymi i udowodnionymi w poprzednim akapicie.

Zdefiniowaliśmy stopień z ujemnym wykładnikiem całkowitym, a także stopień z wykładnikiem zerowym, aby wszystkie własności stopni z wykładnikami naturalnymi wyrażonymi przez równości pozostały ważne. Dlatego wszystkie te własności obowiązują zarówno dla wykładników zerowych, jak i dla wykładników ujemnych, podczas gdy oczywiście podstawy stopni są różne od zera.

Tak więc dla dowolnych liczb rzeczywistych i niezerowych a i b, a także dowolnych liczb całkowitych m i n, następujące są prawdziwe własności stopni z wykładnikami całkowitymi:

• za m za n \u003d za m + n;
• a m: a n = a m−n ;
• (a b) n = a n b n ;
• (a:b) n =a n:b n ;
• (a m) n = a m n ;
• jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, a i b są liczbami dodatnimi, a a n n i a−n>b−n ;
• jeśli m i n są liczbami całkowitymi, a m>n , to dla 0m n i dla a>1, nierówność a m >a n jest spełniona.

Dla a=0 potęgi a m i a n mają sens tylko wtedy, gdy zarówno m, jak i n są dodatnimi liczbami całkowitymi, czyli liczbami naturalnymi. Tak więc opisane właśnie własności obowiązują również w przypadkach, gdy a=0, a liczby m i n są dodatnimi liczbami całkowitymi.

Nie jest trudno udowodnić każdą z tych własności, wystarczy do tego posłużyć się definicjami stopnia z wykładnikiem naturalnym i całkowitym oraz własności działań z liczbami rzeczywistymi. Jako przykład wykażmy, że własność potęgi obowiązuje zarówno dla dodatnich, jak i niedodatnich liczb całkowitych. Aby to zrobić, musimy pokazać, że jeśli p jest zerem lub liczbą naturalną i q jest zerem lub liczbą naturalną, to równości (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) i (a −p) −q =a (−p) (−q) . Zróbmy to.

Dla dodatnich p i q równość (a p) q =a p·q została udowodniona w poprzednim podrozdziale. Jeśli p=0 , to mamy (a 0) q =1 q =1 i a 0 q =a 0 =1 , skąd (a 0) q =a 0 q . Podobnie, jeśli q=0 , wtedy (a p) 0 =1 i a p 0 = a 0 =1 , skąd (a p) 0 = a p 0 . Jeśli zarówno p=0 i q=0 , wtedy (a 0) 0 =1 0 =1 i a 0 0 =a 0 =1 , skąd (a 0) 0 =a 0 0 .

Wykażmy teraz, że (a −p) q =a (−p) q . Z definicji stopnia z ujemnym wykładnikiem całkowitym , wtedy . Przez własność ilorazu w stopniu mamy . Ponieważ 1 p =1,1·…·1=1 i , to . To ostatnie wyrażenie jest z definicji potęgą postaci a −(p q) , którą na mocy reguł mnożenia można zapisać jako a (−p) q .

podobnie .

I .

Na tej samej zasadzie można udowodnić wszystkie inne własności stopnia za pomocą wykładnika całkowitego, zapisanego w postaci równości.

W przedostatnim z zapisanych własności warto zastanowić się nad dowodem nierówności a −n >b −n , który jest prawdziwy dla każdej ujemnej liczby całkowitej −n i każdej dodatniej a i b, dla której warunek a . Piszemy i przekształcamy różnicę między lewą i prawą częścią tej nierówności: . Ponieważ według warunku a n n , zatem b n − a n >0 . Iloczyn a n · b n jest również dodatni jako iloczyn liczb dodatnich a n i b n . Wtedy otrzymany ułamek jest dodatni jako iloraz liczb dodatnich b n − a n i a n b n . Stąd skąd a −n >b −n , co miało być udowodnione.

Ostatnią własność stopni z wykładnikami całkowitymi dowodzi się w taki sam sposób, jak analogiczną własność stopni z wykładnikami naturalnymi.

Własności potęg z wykładnikami wymiernymi

Zdefiniowaliśmy stopień z wykładnikiem ułamkowym, rozszerzając do niego właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym. Innymi słowy, stopnie z wykładnikami ułamkowymi mają te same właściwości, co stopnie z wykładnikami całkowitymi. Mianowicie:

1. własność iloczynu potęg o tej samej podstawie dla a>0 , a jeśli i , to dla a≥0 ;
2. własność potęg cząstkowych o tych samych podstawach dla a>0;
3. ułamkowa właściwość produktu dla a>0 i b>0 , a jeśli i , to dla a≥0 i (lub) b≥0 ;
4. iloraz własności do potęgi ułamkowej dla a>0 i b>0 , a jeśli , to dla a≥0 i b>0 ;
5. własność stopnia w stopniu dla a>0 , a jeśli i , to dla a≥0 ;
6. własność porównywania potęg o równych wykładnikach wymiernych: dla dowolnych liczb dodatnich a i b, a 0 nierówność a p p jest poprawna, a dla p p >b p ;
7. własność porównywania potęg z wykładnikami wymiernymi i równymi podstawami: dla liczb wymiernych p i q, p>q dla 0p q, a dla a>0, nierówność a p >a q .

Dowód własności stopni z wykładnikami ułamkowymi opiera się na definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym, na własnościach pierwiastka arytmetycznego n-tego stopnia oraz na własnościach stopnia z wykładnikiem całkowitym. Dajmy dowód.

Z definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym i , wtedy . Własności pierwiastka arytmetycznego pozwalają nam napisać następujące równości. Dalej, korzystając z własności stopnia z wykładnikiem całkowitym, otrzymujemy , skąd z definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym mamy , a wykładnik uzyskanego stopnia można przeliczyć w następujący sposób: . To kończy dowód.

Druga własność potęg z wykładnikami ułamkowymi jest udowodniona dokładnie w ten sam sposób:


Resztę równości dowodzą podobne zasady:


Przechodzimy do dowodu kolejnej własności. Udowodnijmy, że dla dowolnych dodatnich a i b , a 0 nierówność a p p jest poprawna, a dla p p >b p . Liczbę wymierną p zapisujemy jako m/n , gdzie m jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną. Warunki p 0 w tym przypadku będą odpowiednio równoważne warunkom m 0. Dla m>0 i am m . Z tej nierówności przez własność pierwiastków mamy , a ponieważ a i b są liczbami dodatnimi, to na podstawie definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym wynikająca nierówność może być przepisana jako , czyli a p p .

Podobnie, gdy m m >b m , skąd , czyli a p >b p .

Pozostaje udowodnić ostatnią z wymienionych właściwości. Udowodnijmy, że dla liczb wymiernych p i q , p>q dla 0p q , a dla a>0 nierówność a p >a q . Zawsze możemy zredukować liczby wymierne p i q do wspólnego mianownika, otrzymamy zwykłe ułamki zwykłe i , gdzie m 1 i m 2 są liczbami całkowitymi, a n jest liczbą naturalną. W tym przypadku warunek p>q będzie odpowiadał warunkowi m 1 >m 2, który wynika z reguły porównywania zwykłych ułamków o tych samych mianownikach. Następnie, na podstawie własności porównywania potęg o tych samych podstawach i naturalnych wykładnikach, dla 0m 1 m 2 i dla a>1, nierówność a m 1 >a m 2 . Te nierówności pod względem właściwości pierwiastków można przepisać odpowiednio jako oraz . A definicja stopnia z racjonalnym wykładnikiem pozwala nam przejść do nierówności i odpowiednio. Stąd wyciągamy ostateczny wniosek: dla p>q i 0p q , a dla a>0 nierówność a p >a q .

Własności stopni z niewymiernymi wykładnikami

Na podstawie tego, jak zdefiniowany jest stopień z niewymiernym wykładnikiem, możemy wywnioskować, że ma on wszystkie właściwości stopni z wykładnikami wymiernymi. Czyli dla dowolnych a>0 , b>0 i niewymiernych liczb p i q prawdziwe są: własności stopni z irracjonalnymi wykładnikami:

1. a pa q = a p + q ;
2. a p:a q = a p−q ;
3. (a b) p = a p b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q = a p q ;
6. dla dowolnych liczb dodatnich a i b , a 0 nierówność a p p jest poprawna, a dla p p >b p ;
7. dla liczb niewymiernych p i q , p>q dla 0p q , a dla a>0 nierówność a p >a q .

Z tego możemy wywnioskować, że potęgi z dowolnymi wykładnikami rzeczywistymi p i q dla a>0 mają te same własności.

• Algebra - 10 klasa. Równania trygonometryczne Lekcja i prezentacja na temat: "Rozwiązanie najprostszych równań trygonometrycznych" Materiały dodatkowe Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, opinii, sugestii! Wszystkie materiały […]
• Konkurs na stanowisko „SPRZEDAWCA – KONSULTANT” jest otwarty: Obowiązki: sprzedaż telefony komórkowe i akcesoria do komunikacja mobilna obsługa serwisowa abonentów Beeline, Tele2, MTS podłączenie planów taryfowych i usług Beeline i Tele2, MTS […]
• Równoległościan o wzorze Równoległościan to wielościan o 6 ścianach, z których każda jest równoległobokiem. Prostopadłościan to prostopadłościan, którego każda ściana jest prostokątem. Każdy równoległościan charakteryzuje się 3 […]
• Towarzystwo Ochrony Praw Konsumentów Astana W celu uzyskania kodu PIN dostępu do tego dokumentu na naszej stronie wyślij wiadomość SMS o treści zan na numer Abonenci operatorów GSM (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) wysyłając SMS do pokoju, […]
• Pisownia Н I НН W RÓŻNYCH CZĘŚCIACH MOWY 2. Wymień wyjątki od tych zasad. 3. Jak odróżnić przymiotnik słowny z sufiksem -n- od imiesłowu z […]
• uchwalić ustawę o rodzinnych gospodarstwach uchwalić prawo federalne o darmowym przydziale dla każdego chętnego obywatela Federacja Rosyjska lub rodziny obywateli działki pod zagospodarowanie na niej Zagrody Rodziny na następujących warunkach: 1. Działka przeznaczona jest na […]
• KONTROLA GOSTEKHNADZORA REGIONU BRIAŃSKIEGO Potwierdzenie zapłaty cła państwowego (Download-12.2 kb) Wnioski o rejestrację dla osób fizycznych (Download-12 kb) Wnioski o rejestrację dla osób prawnych (Download-11.4 kb) 1. Przy rejestracji nowego samochodu: 1.wniosek 2.paszport […]
• Dawno nie graliśmy w turniejach 1x1. I nadszedł czas, aby wznowić tę tradycję. Dopóki nie będziemy mogli zorganizować osobnej drabinki i turniejów dla graczy 1v1, sugerujemy korzystanie z profili drużyn na stronie internetowej. Odejmij lub dodaj punkty za mecze w meczach [...]

Oczywiście liczby z potęgami można dodawać jak inne wielkości , dodając je jeden po drugim wraz z ich znakami.

Zatem suma a 3 i b 2 to a 3 + b 2 .
Suma a 3 - b n i h 5 - d 4 to 3 - b n + h 5 - d 4 .

Szanse te same moce tych samych zmiennych można dodawać lub odejmować.

Zatem suma 2a 2 i 3a 2 to 5a 2 .

Jest też oczywiste, że jeśli weźmiemy dwa kwadraty a, lub trzy kwadraty a, lub pięć kwadratów a.

Ale stopnie różne zmienne oraz różne stopnie identyczne zmienne, należy dodać, dodając je do ich znaków.

Zatem suma a 2 i a 3 jest sumą a 2 + a 3 .

Jest oczywiste, że kwadrat a i sześcian a nie jest ani dwukrotnością kwadratu a, ale dwukrotnością sześcianu a.

Suma a 3 b n i 3a 5 b 6 to a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Odejmowanie uprawnienia odbywa się w taki sam sposób, jak dodawanie, z tym wyjątkiem, że znaki oddzielenia muszą być odpowiednio zmienione.

Lub:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Mnożenie potęgi

Liczby z potęgami można mnożyć, podobnie jak inne wielkości, pisząc je jedna po drugiej, z lub bez znaku mnożenia między nimi.

Tak więc wynikiem pomnożenia a 3 przez b 2 jest a 3 b 2 lub aaabb.

Lub:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 x y 2
a 2 b 3 r 2 ⋅ a 3 b 2 r = a 2 b 3 r 2 za 3 b 2 r

Wynik w ostatnim przykładzie można uporządkować, dodając te same zmienne.
Wyrażenie przyjmie postać: a 5 b 5 y 3 .

Porównując kilka liczb (zmiennych) z potęgami, widzimy, że jeśli pomnoży się dowolne dwie z nich, to otrzymamy liczbę (zmienną) o potędze równej suma stopnie terminów.

A więc a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Tutaj 5 jest potęgą wyniku mnożenia, równą 2 + 3, sumą potęg wyrazów.

A więc n .a m = a m+n .

Dla n , a jest brane jako czynnik tyle razy, ile jest potęgi n;

A m , przyjmuje się jako czynnik tyle razy, ile stopni m jest równe;

Więc, potęgi o tych samych podstawach można pomnożyć przez dodanie wykładników.

A więc a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Oraz x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Lub:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 r 3 ⋅ b 4 r = b 6 r 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Pomnóż (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpowiedź: x 4 - r 4.
Pomnóż (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ta zasada odnosi się również do liczb, których wykładniki są - negatywny.

1. A więc a -2 .a -3 = a -5 . Można to zapisać jako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a-n .a m = a m-n .

Jeśli a + b pomnożymy przez a - b, wynikiem będzie a 2 - b 2: czyli

Wynik pomnożenia sumy lub różnicy dwóch liczb jest równy sumie lub różnicy ich kwadratów.

Jeśli suma i różnica dwóch liczb podniesiona do kwadrat, wynik będzie równy sumie lub różnicy tych liczb w czwarty stopień.

Tak więc (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Podział władz

Liczby potęgowe można dzielić tak jak inne liczby, odejmując od dzielnika lub umieszczając je w postaci ułamka.

Więc a 3 b 2 podzielone przez b 2 to a 3 .

Lub:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Zapisanie 5 podzielonej przez 3 wygląda jak $\frac(a^5)(a^3)$. Ale to jest równe 2 . W serii liczb
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
dowolną liczbę można podzielić przez drugą, a wykładnik będzie równy różnica wskaźniki liczb podzielnych.

Dzieląc potęgi o tej samej podstawie, ich wykładniki są odejmowane..

Tak więc y 3: y 2 = y 3-2 = y 1 . Oznacza to, że $\frac(yyy)(yy) = y$.

A n+1:a = a n+1-1 = a n . Oznacza to, że $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Lub:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Zasada obowiązuje również dla liczb z negatywny wartości stopni.
Wynik dzielenia -5 przez -3 daje -2 .
Również $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 lub $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Konieczne jest bardzo dobre opanowanie mnożenia i dzielenia potęg, ponieważ takie operacje są bardzo szeroko stosowane w algebrze.

Przykłady rozwiązywania przykładów z ułamkami zawierającymi liczby z potęgami

1. Zmniejsz wykładniki w $\frac(5a^4)(3a^2)$ Odpowiedź: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Zmniejsz wykładniki w $\frac(6x^6)(3x^5)$. Odpowiedź: $\frac(2x)(1)$ lub 2x.

3. Zmniejsz wykładniki a 2 / a 3 i a -3 / a -4 i doprowadź do wspólnego mianownika.
a 2 .a -4 to pierwszy licznik -2.
a 3 .a -3 to 0 = 1, drugi licznik.
a 3 .a -4 to -1 , wspólny licznik.
Po uproszczeniu: a -2 /a -1 i 1/a -1 .

4. Zmniejsz wykładniki 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 i doprowadź do wspólnego mianownika.
Odpowiedź: 2a 3 / 5a 7 i 5a 5 / 5a 7 lub 2a 3 / 5a 2 i 5/5a 2.

5. Pomnóż (a 3 + b)/b 4 przez (a - b)/3.

6. Pomnóż (a 5 + 1)/x 2 przez (b 2 - 1)/(x + a).

7. Pomnóż b 4 /a -2 przez h -3 /x i a n /y -3 .

8. Podziel 4 /y 3 przez 3 /y 2 . Odpowiedź: a/y.

9. Podziel (h 3 - 1)/d 4 przez (d n + 1)/h.

Przypominamy, że w tej lekcji rozumiemy właściwości stopnia z naturalnymi wskaźnikami i zerem. Stopnie z wymiernymi wskaźnikami i ich właściwości zostaną omówione na lekcjach dla klasy 8.

Wykładnik z wykładnikiem naturalnym ma kilka ważnych właściwości, które pozwalają uprościć obliczenia w przykładowych wykładnikach.

Właściwość #1
Iloczyn uprawnień

Pamiętać!

Podczas mnożenia potęg przy tej samej podstawie podstawa pozostaje niezmieniona, a wykładniki są dodawane.

a m a n \u003d a m + n, gdzie „ a”- dowolna liczba i„ m”, „ n”- dowolne liczby naturalne.

Ta właściwość potęg ma również wpływ na iloczyn trzech lub więcej potęg.

• Uprość wyrażenie.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Obecny jako stopień naukowy.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Obecny jako stopień naukowy.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Ważny!

Należy pamiętać, że we wskazanej nieruchomości chodziło tylko o pomnożenie potęgi przez te same podstawy . Nie dotyczy ich dodawania.

Nie możesz zastąpić sumy (3 3 + 3 2) przez 3 5 . Jest to zrozumiałe, jeśli
oblicz (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 i 3 5 = 243

Właściwość #2
Stopnie prywatne

Pamiętać!

Podczas dzielenia potęgi za pomocą tej samej podstawy podstawa pozostaje niezmieniona, a wykładnik dzielnika jest odejmowany od wykładnika dywidendy.

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44

Przykład. Rozwiązać równanie. Korzystamy z własności częściowych stopni.
3 8: t = 3 4

T = 3 8 − 4

Odpowiedź: t = 3 4 = 81

Korzystając z właściwości nr 1 i nr 2, możesz łatwo uprościć wyrażenia i wykonać obliczenia.

• Przykład. Uprość wyrażenie.
  4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
• Przykład. Znajdź wartość wyrażenia za pomocą właściwości stopnia.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Ważny!

  Należy pamiętać, że właściwość 2 dotyczyła wyłącznie podziału kompetencji za pomocą tych samych zasad.

  Nie możesz zastąpić różnicy (4 3 -4 2) przez 4 1 . Jest to zrozumiałe, jeśli weźmiemy pod uwagę (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , a 4 1 = 4

  Bądź ostrożny!

  Właściwość #3
  Potęgowanie

  Pamiętać!

  Podczas podnoszenia potęgi do potęgi podstawa potęgi pozostaje niezmieniona, a wykładniki są mnożone.

  (a n) m \u003d a n m, gdzie „a” to dowolna liczba, a „m”, „n” to dowolne liczby naturalne.

  
  

  Właściwości 4
  Stopień produktu

  Pamiętać!

  Podnosząc produkt do potęgi, każdy z czynników podnosi się do potęgi. Wyniki są następnie mnożone.

  (a b) n \u003d a n b n, gdzie „a”, „b” to dowolne liczby wymierne; "n" - dowolna liczba naturalna.

  • Przykład 1
    (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2
    
  • Przykład 2
    (−x 2 r) 6 = ((−1) 6 x 2 6 r 1 6) = x 12 r 6

  Ważny!

  Należy pamiętać, że właściwość nr 4, podobnie jak inne właściwości stopni, jest również stosowana w odwrotnej kolejności.

  (a n b n)= (a b) n

  Oznacza to, że aby pomnożyć stopnie przy tych samych wykładnikach, można pomnożyć podstawy i pozostawić wykładnik bez zmian.

  • Przykład. Oblicz.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Przykład. Oblicz.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  Więcej trudne przykłady mogą zaistnieć przypadki, w których mnożenie i dzielenie musi być wykonane na potęgach o różnych podstawach i różnych wykładnikach. W takim przypadku radzimy wykonać następujące czynności.

  Na przykład, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Przykład potęgowania ułamka dziesiętnego.

  4 21 (−0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (−0.25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

  Właściwości 5
  Potęga ilorazu (ułamki)

  Pamiętać!

  Aby podnieść iloraz do potęgi, możesz podnieść dzielną i dzielnik oddzielnie do tej potęgi i podzielić pierwszy wynik przez drugi.

  (a: b) n \u003d a n: b n, gdzie „a”, „b” to dowolne liczby wymierne, b ≠ 0, n to dowolna liczba naturalna.

  • Przykład. Wyraź wyrażenie jako potęgi częściowe.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Przypominamy, że iloraz można przedstawić jako ułamek. Dlatego bardziej szczegółowo zajmiemy się tematem podniesienia ułamka do potęgi na następnej stronie.

Jedną z głównych cech algebry, a właściwie całej matematyki, jest stopień naukowy. Oczywiście w XXI wieku wszystkie obliczenia można przeprowadzić na kalkulatorze internetowym, ale lepiej nauczyć się robić to samemu dla rozwoju mózgu.

W tym artykule rozważymy najważniejsze kwestie dotyczące tej definicji. Mianowicie zrozumiemy, co to jest w ogóle i jakie są jego główne funkcje, jakie właściwości istnieją w matematyce.

Spójrzmy na przykłady, jak wyglądają obliczenia, jakie są podstawowe formuły. Przeanalizujemy główne rodzaje wielkości i ich różnice w stosunku do innych funkcji.

Zrozumiemy, jak rozwiązywać różne problemy za pomocą tej wartości. Pokażemy na przykładach, jak podnieść do zera, irracjonalnie, negatywnie itp.

Kalkulator potęgowania online

Jaki jest stopień liczby

Co oznacza wyrażenie „podnieść liczbę do potęgi”?

Stopień n liczby a jest iloczynem czynników wielkości n razy z rzędu.

Matematycznie wygląda to tak:

a n = a * a * a * … a n .

Na przykład:

• 2 3 = 2 w trzecim kroku. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 w kroku. dwa = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 w kroku. cztery = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 w 5 krokach. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 \u003d 10 w 4 krokach. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Poniżej znajduje się tabela kwadratów i kostek od 1 do 10.

Tabela stopni od 1 do 10

Poniżej znajdują się wyniki podnoszenia liczb naturalnych do potęg dodatnich – „od 1 do 100”.

Ch-lo	II stopnia	3 klasa
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Właściwości stopnia

Czym charakteryzuje się taka matematyczna funkcja? Spójrzmy na podstawowe właściwości.

Naukowcy ustalili, co następuje znaki charakterystyczne dla wszystkich stopni:

• an*am = (a) (n+m);
• an: am = (a) (n-m);
• (a b) m =(a) (b*m) .

Sprawdźmy na przykładach:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Z drugiej strony 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Podobnie: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. W przeciwnym razie 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. A jeśli jest inaczej? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Jak widać, zasady działają.

Ale jak być? z dodawaniem i odejmowaniem? Wszystko jest proste. Wykonywane jest pierwsze potęgowanie, a dopiero potem dodawanie i odejmowanie.

Spójrzmy na przykłady:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Ale w tym przypadku musisz najpierw obliczyć dodatek, ponieważ w nawiasach znajdują się akcje: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Jak produkować obliczenia w bardziej skomplikowanych przypadkach? Kolejność jest taka sama:

• jeśli są nawiasy, musisz zacząć od nich;
• następnie potęgowanie;
• następnie wykonaj operacje mnożenia, dzielenia;
• po dodaniu odejmowanie.

Istnieją specyficzne właściwości, które nie są charakterystyczne dla wszystkich stopni:

1. Pierwiastek n-tego stopnia od liczby a do stopnia m zapiszemy jako: a m / n .
2. Podnosząc ułamek do potęgi: tej procedurze podlegają zarówno licznik, jak i jego mianownik.
3. Podnosząc iloczyn różnych liczb do potęgi, wyrażenie będzie odpowiadać iloczynowi tych liczb do danej potęgi. To znaczy: (a * b) n = a n * b n .
4. Podnosząc liczbę do potęgi ujemnej, musisz podzielić 1 przez liczbę w tym samym kroku, ale ze znakiem „+”.
5. Jeśli mianownik ułamka jest potęgą ujemną, to wyrażenie to będzie równe iloczynowi licznika i mianownika potęgi dodatniej.
6. Dowolna liczba do potęgi 0 = 1 i do kroku. 1 = do siebie.

Zasady te są ważne w indywidualnych przypadkach, omówimy je bardziej szczegółowo poniżej.

Stopień z ujemnym wykładnikiem

Co zrobić z ujemnym stopniem, czyli gdy wskaźnik jest ujemny?

Na podstawie właściwości 4 i 5(patrz punkt powyżej) okazuje się:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

I wzajemnie:

1 / A (- n) \u003d A n, 1/2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

A jeśli to ułamek?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Stopień z naturalnym wskaźnikiem

Jest rozumiany jako stopień o wykładnikach równych liczbom całkowitym.

Rzeczy do zapamiętania:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1…itd.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…itd.

Również, jeśli (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…to wynik będzie oznaczony znakiem „+”. Jeśli liczba ujemna zostanie podniesiona do nieparzystej potęgi, to na odwrót.

Charakterystyczne dla nich są również właściwości ogólne i wszystkie opisane powyżej cechy specyficzne.

Stopień ułamkowy

Ten widok można zapisać jako schemat: A m / n. Czyta się go jako: pierwiastek n-tego stopnia liczby A do potęgi m.

Za pomocą wskaźnika ułamkowego możesz zrobić wszystko: zmniejszyć, rozłożyć na części, podnieść do innego stopnia itp.

Stopień z irracjonalnym wykładnikiem

Niech α będzie liczbą niewymierną i А ˃ 0.

Aby zrozumieć istotę stopnia za pomocą takiego wskaźnika, Spójrzmy na różne możliwe przypadki:

• A \u003d 1. Wynik będzie równy 1. Ponieważ istnieje aksjomat - 1 jest równe jednemu we wszystkich potęgach;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 są liczbami wymiernymi;

• 0˂А˂1.

W tym przypadku odwrotnie: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 na tych samych warunkach jak w drugim akapicie.

Na przykład wykładnikiem jest liczba π. To jest racjonalne.

r 1 - w tym przypadku jest równy 3;

r 2 - będzie równe 4.

Wtedy, dla A = 1, 1 π = 1.

A = 2, to 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, następnie (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Takie stopnie charakteryzują się wszystkimi operacjami matematycznymi i określonymi właściwościami opisanymi powyżej.

Wniosek

Podsumujmy – po co te wartości, jakie są zalety takich funkcji? Oczywiście przede wszystkim ułatwiają życie matematykom i programistom przy rozwiązywaniu przykładów, ponieważ pozwalają minimalizować obliczenia, zmniejszać algorytmy, systematyzować dane i wiele więcej.

Gdzie jeszcze ta wiedza może być przydatna? W każdej specjalizacji zawodowej: medycyna, farmakologia, stomatologia, budownictwo, technologia, inżynieria, projektowanie itp.