Matematické vety bez dôkazov. Kto netlačí polia

Keďže málokto pozná matematické myslenie, poviem o najväčšom vedeckom objave – o elementárnom dôkaze Fermatovej poslednej vety – v tom najzrozumiteľnejšom, školskom jazyku.

Dôkaz bol nájdený pre konkrétny prípad (pre prvočíslo n>2), na ktorý (a prípad n=4) sa dajú ľahko zredukovať všetky prípady so zloženým n.

Musíme teda dokázať, že rovnica A^n=C^n-B^n nemá riešenie v celých číslach. (Znak ^ tu znamená stupeň.)

Dôkaz sa vykonáva v číselnej sústave s jednoduchým základom n. V tomto prípade sa v každej tabuľke násobenia posledné číslice neopakujú. V bežnej, desiatkovej sústave je situácia iná. Napríklad pri vynásobení čísla 2 číslom 1 aj číslom 6 sa oba produkty – 2 a 12 – končia rovnakými číslami (2). A napríklad v sedemdesiatkovej sústave pre číslo 2 sú všetky posledné číslice odlišné: 0x2=...0, 1x2=...2, 2x2=...4, 3x2=...6, 4x2 =...1, 5x2=...3, 6x2=...5, s množinou posledných číslic 0, 2, 4, 6, 1, 3, 5.

Vďaka tejto vlastnosti je pre ľubovoľné číslo A, ktoré nekončí nulou (a pri Fermatovej rovnosti posledná číslica čísel A, studňa alebo B, po vydelení rovnosti spoločným deliteľom čísel A, B, C nerovná sa nule), môžete zvoliť faktor g taký, že číslo Ag bude mať ľubovoľne dlhú koncovku, napríklad 000...001. Práve takýmto číslom g vynásobíme všetky základné čísla A, B, C vo Fermatovej rovnosti. Zároveň spravíme jedinú koncovku dostatočne dlhú, konkrétne o dve číslice dlhšiu ako je počet (k) núl na konci čísla U=A+B-C.

Číslo U sa nerovná nule - inak C \u003d A + B a A ^ n<(А+В)^n-B^n, т.е. равенство Ферма является неравенством.

To je vlastne celá príprava Fermatovej rovnosti na stručnú a záverečnú štúdiu. Jediné, čo ešte musíme urobiť: prepíšeme pravú stranu Fermatovej rovnosti - C ^ n-B ^ n - pomocou školského expanzného vzorca: C ^ n-B ^ n \u003d (C-B) P alebo aP. A keďže ďalej budeme operovať (násobiť a sčítať) len s číslicami (k + 2)-ciferných koncov čísel A, B, C, potom môžeme ich hlavové časti ignorovať a jednoducho ich zahodiť (ponechať len jeden fakt v pamäti: ľavá strana Fermatovej rovnosti je MOC).

Jediná ďalšia vec, ktorá stojí za zmienku, sú posledné číslice čísel a a P. V pôvodnej Fermatovej rovnosti číslo P končí číslom 1. Vyplýva to zo vzorca Fermatovej malej vety, ktorú možno nájsť v referenčných knihách. A po vynásobení Fermatovej rovnosti číslom g ^ n sa číslo P vynásobí číslom g mocninou n-1, čo podľa Fermatovej malej vety tiež končí číslom 1. Takže v novom Fermatovi ekvivalentnej rovnosti, číslo P končí na 1. A ak A končí na 1, potom aj A^n končí na 1, a preto aj číslo a končí na 1.

Máme teda východiskovú situáciu: posledné číslice A", a", P" čísel A, a, P končia číslom 1.

No a potom sa začne sladká a fascinujúca operácia, nazývaná prednostne „mlyn“: ak vezmeme do úvahy nasledujúce číslice a „“, a „““ atď., čísla a, výlučne „ľahko“ vypočítame, že sú tiež rovná nule! „ľahké" som dal do úvodzoviek, pretože ľudstvo 350 rokov nevedelo nájsť kľúč k tomuto „ľahkému"! A kľúč sa naozaj ukázal byť nečakane a hlúpo primitívny: číslo P musí byť reprezentované ako P \u003d q ^ (n-1) + Qn ^(k + 2) Nestojí za to venovať pozornosť druhému členu v tomto súčte - koniec koncov, v ďalšom dôkaze sme zahodili všetky čísla po (k + 2) th v číslach (a to drasticky zjednodušuje analýzu)! Takže po vyradení čísel častí hlavy dostane Fermatova rovnosť tvar: ...1=aq^(n-1), kde a a q nie sú čísla, ale iba koncovky čísel a a q! (Nezavádzam nový zápis, pretože to sťažuje čítanie.)

Posledná filozofická otázka zostáva: prečo môže byť číslo P reprezentované ako P=q^(n-1)+Qn^(k+2)? Odpoveď je jednoduchá: pretože akékoľvek celé číslo P s 1 na konci môže byť reprezentované v tejto forme a TOTOŽNE. (Môžete si to predstaviť mnohými inými spôsobmi, ale my to nepotrebujeme.) V skutočnosti pre P=1 je odpoveď zrejmá: P=1^(n-1). Pre P=hn+1 je číslo q=(n-h)n+1, ktoré sa dá ľahko overiť riešením rovnice [(n-h)n+1]^(n-1)==hn+1 dvojhodnotou koncovky. A tak ďalej (ale nepotrebujeme ďalšie výpočty, keďže nám stačí reprezentácia čísel v tvare P=1+Qn^t).

Uf-f-f-f! Nuž, filozofia skončila, môžete prejsť k výpočtom na úrovni druhej triedy, pokiaľ si ešte raz nespomeniete na Newtonov binomický vzorec.

Zavedme teda číslo a"" (v čísle a=a""n+1) a použime ho na výpočet čísla q"" (v čísle q=q""n+1):
...01=(a""n+1)(q""n+1)^(n-1), alebo...01=(a""n+1)[(n-q"")n+ 1 ], odkiaľ q""=a"".

A teraz môže byť pravá strana Fermatovej rovnosti prepísaná ako:
A^n=(a""n+1)^n+Dn^(k+2), kde nás hodnota čísla D nezaujíma.

A teraz prichádzame k rozhodujúcemu záveru. Číslo a "" n + 1 je dvojciferná koncovka čísla A, a PRETO podľa jednoduchej lemy jednoznačne určuje TRETÚ číslicu stupňa A ^ n. A navyše z rozšírenia Newtonovho binomu
(a "" n + 1) ^ n, vzhľadom na to, že každý člen expanzie (okrem prvého, ktorý už počasie nemôže zmeniť!) je spojený JEDNODUCHÝM faktorom n (základ čísla!), je jasné, že táto tretia číslica sa rovná "". Ale vynásobením Fermatovej rovnosti g ^ n sme zmenili k + 1 číslicu pred poslednou 1 v čísle A na 0. A teda "" \u003d 0 !!!

Takto sme dokončili cyklus: zavedením a"" sme zistili, že q""=a"", a nakoniec a""=0!

Zostáva však povedať, že po vykonaní úplne podobných výpočtov a následných k číslic dostaneme výslednú rovnosť: (k + 2)-ciferné zakončenie čísla a, alebo C-B, - rovnako ako čísla A, je rovná 1. Potom sa však (k+2)-tá číslica C-A-B rovná nule, pričom NIE JE rovná nule!!!

Tu je v skutočnosti všetok dôkaz. Aby ste to pochopili, nepotrebujete mať vyššie vzdelanie a navyše byť profesionálnym matematikom. Profesionáli však mlčia...

Čitateľný text úplného dôkazu sa nachádza tu:

Recenzie

Ahoj Viktor. Páčil sa mi tvoj životopis. „Nenechaj zomrieť pred smrťou“ znie samozrejme skvele. Zo stretnutia v Próze s Fermatovou vetou, úprimne povedané, som zostal ako obarený! Patrí sem? Existujú vedecké, populárno-vedecké a čajové stránky. Inak ďakujem za literárnu prácu.
S pozdravom Anya.

Milá Anya, aj napriek dosť prísnej cenzúre vám Próza umožňuje písať O VŠETKOM. Pri Fermatovej vete je situácia nasledovná: veľké matematické fóra sa k fermatistom správajú šikmo, hrubo a celkovo sa k nim správajú najlepšie, ako vedia. Na malých ruských, anglických a francúzskych fórach som však predložil poslednú verziu dôkazu. Nikto zatiaľ nepredložil žiadne protiargumenty a som si istý, že ani nikto nepredloží (dôkaz bol veľmi pozorne skontrolovaný). V sobotu zverejním filozofickú poznámku o vete.
V próze nie sú takmer žiadni hulváti, a ak sa s nimi nebudete zdržiavať, čoskoro zmiznú.
Takmer všetky moje práce sú prezentované v próze, preto som sem umiestnil aj dôkaz.
Vidíme sa neskôr,

Ivliev Yu.A.

Článok je venovaný popisu zásadnej matematickej chyby, ktorá vznikla v procese dokazovania Fermatovej poslednej vety na konci 20. storočia. Zistená chyba nielenže skresľuje skutočný význam vety, ale bráni aj rozvoju nového axiomatického prístupu k štúdiu mocniny čísel a prirodzeného radu čísel.

V roku 1995 vyšiel článok, ktorý sa veľkosťou podobal knihe a informoval o dôkaze slávnej Fermatovej veľkej (poslednej) vety (WTF) (o histórii vety a pokusoch o jej dokázanie pozri napr. ). Po tejto udalosti sa objavilo mnoho vedeckých článkov a populárno-vedeckých kníh, ktoré propagovali tento dôkaz, ale žiadna z týchto prác v ňom neodhalila zásadnú matematickú chybu, ktorá sa vkradla ani nie vinou autora, ale kvôli nejakému zvláštnemu optimizmu, ktorý zachvátil matematici mysle, ktorí sa zaoberali týmto problémom a súvisiacimi otázkami. Psychologické aspekty tohto javu boli skúmané v. Poskytuje tiež podrobnú analýzu prehliadnutia, ku ktorému došlo, ktoré nie je zvláštneho charakteru, ale je výsledkom nesprávneho pochopenia vlastností mocnín celých čísel. Ako je uvedené v , Fermatov problém je zakorenený v novom axiomatickom prístupe k štúdiu týchto vlastností, ktorý ešte nebol aplikovaný v modernej vede. V ceste mu však stál chybný dôkaz, ktorý teoretikom čísel poskytol falošné usmernenia a viedol výskumníkov Fermatovho problému od jeho priameho a adekvátneho riešenia. Táto práca je venovaná odstráneniu tejto prekážky.

1. Anatómia chyby pri dokazovaní WTF

V procese veľmi dlhého a únavného uvažovania bolo pôvodné Fermatovo tvrdenie preformulované v zmysle zhody diofantínskej rovnice p-tého stupňa s eliptickými krivkami 3. rádu (pozri vety 0,4 a 0,5 in ). Takéto porovnanie prinútilo autorov de facto kolektívneho dôkazu oznámiť, že ich metóda a zdôvodnenie vedú ku konečnému riešeniu Fermatovho problému (pripomeňme, že WTF až do 90. rokov nedisponovalo uznávanými dôkazmi pre prípad ľubovoľných celočíselných mocnín celých čísel). minulé storočie). Účelom tejto úvahy je zistiť matematickú nesprávnosť vyššie uvedeného porovnania a ako výsledok analýzy nájsť zásadnú chybu v dôkaze uvedenom v .

a) Kde a čo je zlé?

Poďme si teda prejsť text, kde sa na str.448 hovorí, že po „duchaplnom nápade“ G. Freya (G. Freya) sa otvorila možnosť dokázať WTF. V roku 1984 navrhol G. Frey a

K.Ribet neskôr dokázal, že predpokladaná eliptická krivka predstavujúca hypotetické celočíselné riešenie Fermatovej rovnice,

y2 = x(x + u p) (x - v p) (1)

nemôže byť modulárny. A.Wiles a R.Taylor však dokázali, že každá semistabilná eliptická krivka definovaná nad poľom racionálnych čísel je modulárna. To viedlo k záveru o nemožnosti celočíselných riešení Fermatovej rovnice a následne k platnosti Fermatovho tvrdenia, ktoré sa v zápise A. Wilesa zapísalo ako veta 0,5: nech je rovnosť

u p+ v p+ w p = 0 (2)

kde ty v, w- racionálne čísla, celočíselný exponent p ≥ 3; potom (2) je splnené len vtedy, ak uvw = 0 .

Teraz by sme sa zrejme mali vrátiť a kriticky zvážiť, prečo bola krivka (1) a priori vnímaná ako eliptická a aký je jej skutočný vzťah s Fermatovou rovnicou. Predvídajúc túto otázku sa A. Wiles odvoláva na prácu Y. Hellegouarcha, v ktorej našiel spôsob, ako spojiť Fermatovu rovnicu (pravdepodobne vyriešenú v celých číslach) s hypotetickou krivkou 3. rádu. Na rozdiel od G. Freya I. Allegouches neprepojil svoju krivku s modulárnymi formami, ale jeho metóda získania rovnice (1) bola použitá na ďalší pokrok v dôkaze A. Wilesa.

Pozrime sa bližšie na prácu. Autor svoje úvahy vedie z hľadiska projektívnej geometrie. Zjednodušením niektorých jeho zápisov a ich uvedením do súladu s , zistíme, že Abelovská krivka

Y2 = X(X - βp)(X + γ p) (3)

porovnáva sa diofantínová rovnica

X p+ r p+ z p = 0 (4)

kde X, y, z sú neznáme celé čísla, p je celočíselný exponent z (2) a riešenia diofantínskej rovnice (4) α p , β p , γ p sa používajú na zápis Abelovej krivky (3).

Teraz, aby sme sa uistili, že ide o eliptickú krivku 3. rádu, je potrebné zvážiť premenné X a Y v (3) v euklidovskej rovine. Používame na to známe pravidlo aritmetiky eliptických kriviek: ak sú na kubickej algebraickej krivke dva racionálne body a priamka prechádzajúca týmito bodmi pretína túto krivku ešte v jednom bode, potom je aj druhý racionálny bod. Hypotetická rovnica (4) formálne predstavuje zákon sčítania bodov na priamke. Ak urobíme zmenu premenných X p = A, r p=B, z p = C a nasmerujte takto získanú priamku pozdĺž osi X v (3), potom pretína krivku 3. stupňa v troch bodoch: (X = 0, Y = 0), (X = β p , Y = 0 ), (X = - γ p , Y = 0), čo sa odráža v zápise Abelovej krivky (3) a v podobnom zápise (1). Je však krivka (3) alebo (1) skutočne eliptická? Očividne nie, pretože segmenty euklidovskej priamky sa pri pridávaní bodov na ňu berú na nelineárnej stupnici.

Ak sa vrátime k lineárnym súradnicovým systémom euklidovského priestoru, namiesto (1) a (3) získame vzorce, ktoré sa veľmi líšia od vzorcov pre eliptické krivky. Napríklad (1) môže mať nasledujúci tvar:

η 2p = ξ p (ξ p + u p) (ξ p - v p) (5)

kde ξ p = x, η p = y, a odvolanie sa na (1) v tomto prípade na odvodenie WTF sa zdá byť nezákonné. Napriek tomu, že (1) spĺňa niektoré kritériá triedy eliptických kriviek, nespĺňa najdôležitejšie kritérium, ktorým je rovnica 3. stupňa v lineárnom súradnicovom systéme.

b) Klasifikácia chýb

Takže sa ešte raz vrátime na začiatok úvahy a sledujeme, ako sa robí záver o pravdivosti WTF. Po prvé, predpokladá sa, že existuje riešenie Fermatovej rovnice v kladných celých číslach. Po druhé, toto riešenie je ľubovoľne vložené do algebraického tvaru známeho tvaru (rovinná krivka 3. stupňa) za predpokladu, že takto získané eliptické krivky existujú (druhý neoverený predpoklad). Po tretie, keďže sa inými metódami dokáže, že vytvorená betónová krivka je nemodulárna, znamená to, že neexistuje. Z toho vyplýva záver: neexistuje celočíselné riešenie Fermatovej rovnice, a preto je WTF pravdivá.

V týchto argumentoch je jeden slabý článok, ktorý sa po podrobnej kontrole ukáže ako omyl. K tejto chybe dochádza v druhej fáze procesu dokazovania, keď sa predpokladá, že hypotetické riešenie Fermatovej rovnice je zároveň riešením algebraickej rovnice tretieho stupňa opisujúcej eliptickú krivku známeho tvaru. Samotný takýto predpoklad by bol opodstatnený, ak by naznačená krivka bola skutočne eliptická. Ako je však zrejmé z bodu 1a), táto krivka je prezentovaná v nelineárnych súradniciach, čo ju robí „iluzórnou“, t.j. v skutočnosti neexistujúce v lineárnom topologickom priestore.

Teraz musíme zistenú chybu jasne klasifikovať. Spočíva v tom, že to, čo je potrebné dokázať, sa uvádza ako argument dôkazu. V klasickej logike je táto chyba známa ako „začarovaný kruh“. V tomto prípade sa celočíselné riešenie Fermatovej rovnice porovnáva (zrejme, pravdepodobne jednoznačne) s fiktívnou, neexistujúcou eliptickou krivkou, a potom všetok pátos ďalšieho uvažovania dokazuje, že špecifická eliptická krivka tohto tvaru, získaná z hypotetických riešení Fermatovej rovnice, neexistuje.

Ako sa stalo, že sa takáto elementárna chyba minula v serióznej matematickej práci? Pravdepodobne sa to stalo v dôsledku skutočnosti, že „iluzórne“ geometrické útvary tohto typu neboli predtým študované v matematike. Veď koho by mohol zaujímať napríklad fiktívny kruh získaný z Fermatovej rovnice zmenou premenných x n/2 = A, y n/2 = B, z n/2 = C? Koniec koncov, jej rovnica C 2 = A 2 + B 2 nemá celočíselné riešenia pre celé číslo x, y, z an ≥ 3 . V nelineárnych súradnicových osiach X a Y by takýto kruh bol opísaný rovnicou, ktorá vyzerá veľmi podobne ako štandardný tvar:

Y 2 \u003d - (X - A) (X + B),

kde A a B už nie sú premenné, ale konkrétne čísla určené vyššie uvedenou substitúciou. Ale ak čísla A a B dostanú svoj pôvodný tvar, ktorý spočíva v ich mocenskom charaktere, potom okamžite upúta heterogenita zápisu vo faktoroch na pravej strane rovnice. Toto znamenie pomáha rozlíšiť ilúziu od reality a prechádzať z nelineárnych súradníc k lineárnym. Na druhej strane, ak čísla považujeme za operátory pri ich porovnávaní s premennými, ako napríklad v (1), potom musia byť obe veličiny homogénne, t.j. musí mať rovnaký stupeň.

Takéto chápanie mocnín čísel ako operátorov zároveň umožňuje vidieť, že porovnanie Fermatovej rovnice s iluzórnou eliptickou krivkou nie je jednoznačné. Vezmite napríklad jeden z faktorov na pravej strane (5) a rozšírte ho na p lineárnych faktorov zavedením komplexného čísla r takého, že r p = 1 (pozri napríklad):

ξ p + u p = (ξ + u)(ξ + r u)(ξ + r 2 u)...(ξ + r p-1 u) (6)

Potom možno formu (5) znázorniť ako rozklad na prvočiniteľa komplexných čísel podľa typu algebraickej identity (6), avšak jedinečnosť takéhoto rozkladu vo všeobecnom prípade je otázna, čo kedysi ukázal Kummer. .

2. Závery

Z predchádzajúcej analýzy vyplýva, že takzvaná aritmetika eliptických kriviek nie je schopná osvetliť, kde hľadať dôkaz WTF. Po práci sa Fermatov výrok, mimochodom, braný ako epigraf k tomuto článku, začal vnímať ako historický vtip alebo žart. V skutočnosti sa však ukazuje, že to nebol Fermat, kto žartoval, ale odborníci, ktorí sa zišli na matematickom sympóziu v Oberwolfachu v Nemecku v roku 1984, na ktorom G. Frey vyslovil svoj vtipný nápad. Dôsledky takéhoto neopatrného tvrdenia priviedli matematiku ako celok na pokraj straty dôvery verejnosti, čo je podrobne opísané v a čo nevyhnutne vyvoláva otázku zodpovednosti vedeckých inštitúcií voči spoločnosti pred vedou. Zobrazenie Fermatovej rovnice na Freyovu krivku (1) je „zámkom“ celého Wilesovho dôkazu vzhľadom na Fermatovu vetu, a ak neexistuje zhoda medzi Fermatovou krivkou a modulárnymi eliptickými krivkami, potom neexistuje ani dôkaz.

V poslednej dobe sa na internete objavili rôzne správy o tom, že niektorí významní matematici konečne prišli na Wilesov dôkaz Fermatovej vety a dali mu ospravedlnenie v podobe „minimálneho“ prepočtu celých bodov v euklidovskom priestore. Žiadna inovácia však nemôže zrušiť klasické výsledky, ktoré už ľudstvo v matematike dosiahlo, najmä skutočnosť, že hoci sa akékoľvek radové číslo zhoduje so svojím kvantitatívnym náprotivkom, nemôže ho nahradiť v operáciách vzájomného porovnávania čísel, a preto s nevyhnutne nasleduje záver, že Freyova krivka (1) nie je spočiatku eliptická, t.j. nie je podľa definície.

BIBLIOGRAFIA:

Ivliev Yu.A. Rekonštrukcia pôvodného dôkazu Fermatovej poslednej vety - United Scientific Journal (časť "Matematika"). Apríl 2006 č. 7 (167) s. 3-9, pozri tiež Pratsi z luhanskej pobočky Medzinárodnej akadémie informatizácie. Ministerstvo školstva a vedy Ukrajiny. Shidnoukrainian National University pomenovaná po. V. Dahl. 2006 č. 2 (13) s.19-25.
Ivliev Yu.A. Najväčší vedecký podvod 20. storočia: „dôkaz“ poslednej Fermatovej vety – Prírodné a technické vedy (časť „História a metodológia matematiky“). August 2007 č. 4 (30) s. 34-48.
Edwards G. (Edwards H.M.) Posledná Fermatova veta. Genetický úvod do algebraickej teórie čísel. Za. z angličtiny. vyd. B.F. Skubenko. M.: Mir 1980, 484 s.
Hellegouarch Y. Body d'ordre 2p h sur les courbes elliptiques - Acta Arithmetica. 1975 XXVI s.253-263.
Wiles A. Modulárne eliptické krivky a Fermatova posledná veta - Annals of Mathematics. Máj 1995 v.141 Druhá séria č. 3 str.443-551.

Bibliografický odkaz

Ivliev Yu.A. WILESOV MYLNÝ DÔKAZ VEĽKEJ FERMATOVEJ VETY // Základný výskum. - 2008. - č. 3. - S. 13-16;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=2763 (dátum prístupu: 25.09.2019). Dávame do pozornosti časopisy vydávané vydavateľstvom "Academy of Natural History"

Takže Fermatova posledná veta (často nazývaná posledná Fermatova veta), ktorú v roku 1637 sformuloval geniálny francúzsky matematik Pierre Fermat, je vo svojej podstate veľmi jednoduchá a zrozumiteľná každému človeku so stredoškolským vzdelaním. Hovorí, že vzorec a na mocninu n + b na mocninu n \u003d c na mocninu n nemá prirodzené (teda nezlomkové) riešenia pre n > 2. Všetko sa zdá byť jednoduché a jasné , no najlepší matematici a jednoduchí amatéri bojovali o hľadanie riešenia viac ako tri a pol storočia.

Prečo je taká slávna? Teraz poďme zistiť...

Existuje málo dokázaných, nedokázaných a predsa nedokázaných teorémov? Ide o to, že Fermatova posledná veta je najväčším kontrastom medzi jednoduchosťou formulácie a zložitosťou dôkazu. Fermatova posledná veta je neuveriteľne náročná úloha a napriek tomu jej formuláciu pochopí každý, kto má 5. stredná škola, ale dôkazom nie je ani žiadny profesionálny matematik. Ani vo fyzike, ani v chémii, ani v biológii, ani v tej istej matematike neexistuje jediný problém, ktorý by bol formulovaný tak jednoducho, no zostal by tak dlho nevyriešený. 2. Z čoho pozostáva?

Začnime pytagorovými nohavicami Znenie je naozaj jednoduché – na prvý pohľad. Ako vieme z detstva, "pytagorejské nohavice sú si rovné zo všetkých strán." Problém vyzerá tak jednoducho, pretože bol založený na matematickom tvrdení, ktoré každý pozná – Pytagorovej vete: v akomkoľvek pravouhlom trojuholníku sa štvorec postavený na prepone rovná súčtu štvorcov postavených na nohách.

V 5. storočí pred Kr. Pytagoras založil pytagorejské bratstvo. Pythagorejci okrem iného študovali celočíselné trojice spĺňajúce rovnicu x²+y²=z². Dokázali, že pytagorejských trojíc je nekonečne veľa a získali všeobecné vzorce na ich nájdenie. Asi sa snažili hľadať trojky a vyššie stupne. Pytagorejci presvedčení, že to nefunguje, zanechali svoje márne pokusy. Členovia bratstva boli viac filozofi a estéti ako matematici.

To znamená, že je ľahké vybrať množinu čísel, ktoré dokonale spĺňajú rovnosť x² + y² = z²

Počnúc od 3, 4, 5 - žiak základnej školy skutočne chápe, že 9 + 16 = 25.

Alebo 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Skvelé.

No a tak ďalej. Čo ak vezmeme podobnú rovnicu x³+y³=z³? Možno existujú aj také čísla?

A tak ďalej (obr. 1).

No ukazuje sa, že nie. Tu sa trik začína. Jednoduchosť je zjavná, pretože je ťažké dokázať nie prítomnosť niečoho, ale naopak neprítomnosť. Keď je potrebné dokázať, že existuje riešenie, človek môže a mal by jednoducho predložiť toto riešenie.

Absenciu je ťažšie dokázať: niekto napríklad hovorí: taká a taká rovnica nemá riešenia. Dať ho do mláky? jednoduché: bam - a tu to je, riešenie! (uveďte riešenie). A je to, súper je porazený. Ako dokázať absenciu?

Povedať: „Takéto riešenia som nenašiel“? Alebo si možno zle hľadal? A čo ak sú, len veľmi veľké, no také, že ani supervýkonný počítač ešte nemá dostatok sily? Toto je ťažké.

Vo vizuálnej forme to možno znázorniť takto: ak vezmeme dva štvorce vhodnej veľkosti a rozložíme ich na jednotkové štvorce, potom z tohto zväzku jednotkových štvorcov získame tretí štvorec (obr. 2):

A urobme to isté s tretím rozmerom (obr. 3) – nefunguje to. Nie je dostatok kociek alebo zostávajú ďalšie:

Ale matematik 17. storočia, Francúz Pierre de Fermat, nadšene študoval všeobecnú rovnicu x n+yn=zn . A nakoniec dospel k záveru: pre n>2 celočíselné riešenia neexistujú. Fermatov dôkaz je nenávratne stratený. Rukopisy sú v plameňoch! Zostáva len jeho poznámka v Diophantusovej aritmetike: "Našiel som skutočne úžasný dôkaz tohto návrhu, ale okraje sú príliš úzke na to, aby sa to dalo."

Veta bez dôkazu sa v skutočnosti nazýva hypotéza. Ale Fermat má povesť, že sa nikdy nemýli. Ak aj nezanechal dôkaz o žiadnom vyhlásení, následne sa to potvrdilo. Okrem toho Fermat dokázal svoju tézu pre n=4. Takže hypotéza francúzskeho matematika vošla do dejín ako Fermatova posledná veta.

Po Fermatovi pracovali veľké mysle ako Leonhard Euler na nájdení dôkazu (v roku 1770 navrhol riešenie pre n = 3),

Adrien Legendre a Johann Dirichlet (títo vedci spoločne našli dôkaz pre n = 5 v roku 1825), Gabriel Lame (ktorý našiel dôkaz pre n = 7) a mnohí ďalší. V polovici 80. rokov bolo jasné, že akademickej sfére je na ceste ku konečnému riešeniu Fermatovej poslednej vety, ale až v roku 1993 matematici videli a uverili, že tristoročná sága o nájdení dôkazu Fermatovej poslednej vety sa takmer skončila.

Je ľahké ukázať, že stačí dokázať Fermatovu vetu len pre prvočíslo n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … Pre kompozit n zostáva dôkaz platný. Ale prvočísel je nekonečne veľa...

V roku 1825, pomocou metódy Sophie Germain, matematičky Dirichlet a Legendre nezávisle dokázali vetu pre n=5. V roku 1839 Francúz Gabriel Lame ukázal pravdivosť vety pre n=7 pomocou rovnakej metódy. Postupne sa veta dokázala takmer pre všetkých n menej ako sto.

Napokon nemecký matematik Ernst Kummer v brilantnej štúdii ukázal, že metódami matematiky 19. storočia sa veta v r. všeobecný pohľad nemožno dokázať. Cena Francúzskej akadémie vied, založená v roku 1847 za dôkaz Fermatovej vety, zostala nepridelená.

V roku 1907 sa bohatý nemecký priemyselník Paul Wolfskel rozhodol vziať si život kvôli neopätovanej láske. Ako správny Nemec stanovil dátum a čas samovraždy: presne o polnoci. Posledný deň urobil závet a napísal listy priateľom a príbuzným. Obchod sa skončil pred polnocou. Musím povedať, že Paul sa zaujímal o matematiku. Keďže nemal čo robiť, odišiel do knižnice a začal čítať Kummerov slávny článok. Zrazu sa mu zdalo, že Kummer urobil chybu vo svojich úvahách. Wolfskehl s ceruzkou v ruke začal analyzovať túto časť článku. Prešla polnoc, prišlo ráno. Medzera v dôkaze bola vyplnená. A samotný dôvod samovraždy teraz vyzeral úplne smiešne. Pavol roztrhal listy na rozlúčku a prepísal závet.

Čoskoro zomrel prirodzenou smrťou. Dediči boli poriadne prekvapení: 100 000 mariek (viac ako 1 000 000 súčasných libier šterlingov) bolo prevedených na účet Kráľovskej vedeckej spoločnosti v Göttingene, ktorá v tom istom roku vyhlásila súťaž o Wolfskelovu cenu. 100 000 mariek sa spoliehalo na dokazovanie Fermatovej vety. Za vyvrátenie vety sa nemal zaplatiť ani fenig...

Väčšina profesionálnych matematikov považovala hľadanie dôkazu Fermatovej poslednej vety za stratený prípad a rezolútne odmietli strácať čas takýmto zbytočným cvičením. Ale amatéri frčia za slávou. Niekoľko týždňov po oznámení zasiahla univerzitu v Göttingene lavína „dôkazov“. Profesor E. M. Landau, ktorého povinnosťou bolo analyzovať zaslané dôkazy, rozdal svojim študentom karty:

Vážení (y). . . . . . . .

Ďakujem za rukopis, ktorý ste poslali s dôkazom Fermatovej poslednej vety. Prvá chyba je na strane ... v riadku ... . Kvôli nej stráca celý dôkaz platnosť.
Profesor E. M. Landau

V roku 1963 Paul Cohen, vychádzajúc z Gödelových zistení, dokázal neriešiteľnosť jedného z dvadsiatich troch Hilbertových problémov, hypotézy kontinua. Čo ak je neriešiteľná aj Fermatova posledná veta?! Skutoční fanatici Veľkej vety však vôbec nesklamali. Nástup počítačov nečakane dal matematikom nová metóda dôkaz. Po druhej svetovej vojne skupiny programátorov a matematikov dokázali Fermatovu poslednú vetu pre všetky hodnoty n do 500, potom do 1 000 a neskôr do 10 000.

V 80. rokoch Samuel Wagstaff zvýšil limit na 25 000 a v 90. rokoch matematici tvrdili, že Fermatova posledná veta platí pre všetky hodnoty n až do 4 miliónov. Ale ak sa od nekonečna odpočíta čo i len bilión biliónov, nezmenší sa. Matematikov nepresvedčí štatistika. Dokázať Veľkú vetu znamenalo dokázať ju pre VŠETKÝCH n ísť do nekonečna.

V roku 1954 dvaja mladí japonskí priatelia matematiky začali študovať modulárne formy. Tieto formuláre generujú série čísel, z ktorých každé - svoje vlastné série. Taniyama náhodou porovnal tieto série so sériami generovanými eliptickými rovnicami. Zhodovali sa! Ale modulárne formy sú geometrické objekty, zatiaľ čo eliptické rovnice sú algebraické. Medzi takými rozdielnymi objektmi sa nikdy nenašlo spojenie.

Po starostlivom testovaní však priatelia predložili hypotézu: každá eliptická rovnica má dvojča - modulárnu formu a naopak. Práve táto hypotéza sa stala základom celého trendu v matematike, ale kým sa nepreukázala hypotéza Taniyama-Shimura, celá budova sa mohla každú chvíľu zrútiť.

V roku 1984 Gerhard Frey ukázal, že riešenie Fermatovej rovnice, ak existuje, môže byť zahrnuté do nejakej eliptickej rovnice. O dva roky neskôr profesor Ken Ribet dokázal, že táto hypotetická rovnica nemôže mať v modulárnom svete obdobu. Odteraz bola Fermatova posledná veta neoddeliteľne spojená s domnienkou Taniyama-Shimura. Po preukázaní, že každá eliptická krivka je modulárna, sme dospeli k záveru, že neexistuje žiadna eliptická rovnica s riešením Fermatovej rovnice a Fermatova posledná veta by bola okamžite dokázaná. Ale tridsať rokov nebolo možné dokázať dohad Taniyama-Shimura a nádeje na úspech boli čoraz menej.

V roku 1963, keď mal len desať rokov, bol Andrew Wiles už fascinovaný matematikou. Keď sa dozvedel o Veľkej vete, uvedomil si, že sa od nej nemôže odchýliť. Ako školák, študent, postgraduálny študent sa na túto úlohu pripravoval.

Keď sa Wiles dozvedel o zisteniach Kena Ribeta, vrhol sa na dokazovanie hypotézy Taniyama-Shimura. Rozhodol sa pracovať v úplnej izolácii a utajení. "Pochopil som, že všetko, čo má niečo spoločné s Fermatovou poslednou vetou, je príliš zaujímavé... Príliš veľa divákov úmyselne zasahuje do dosiahnutia cieľa." Sedem rokov tvrdej práce sa vyplatilo, Wiles konečne dokončil dôkaz dohadu Taniyama-Shimura.

V roku 1993 anglický matematik Andrew Wiles predstavil svetu svoj dôkaz Fermatovej poslednej vety (Wiles čítal svoju senzáciu na konferencii v Inštitúte Sira Isaaca Newtona v Cambridge.), práca na ktorej trvala viac ako sedem rokov.

Zatiaľ čo humbuk v tlači pokračoval, začala sa vážna práca na overovaní dôkazov. Každý dôkaz musí byť dôkladne preskúmaný predtým, ako sa dôkaz môže považovať za prísny a presný. Wiles strávil hektické leto čakaním na spätnú väzbu recenzentov a dúfal, že si získa ich súhlas. Koncom augusta našli znalci nedostatočne odôvodnený rozsudok.

Ukázalo sa, že toto rozhodnutie obsahuje hrubú chybu, hoci vo všeobecnosti je to pravda. Wiles sa nevzdal, zavolal si na pomoc známeho špecialistu na teóriu čísel Richarda Taylora a už v roku 1994 zverejnili opravený a doplnený dôkaz vety. Najúžasnejšie je, že táto práca zabrala až 130 (!) strán v matematickom časopise Annals of Mathematics. Ale ani tam sa príbeh neskončil - posledná bodka bola urobená až v nasledujúcom roku 1995, keď bola zverejnená konečná a z matematického hľadiska „ideálna“ verzia dôkazu.

„...pol minúty po začiatku slávnostnej večere pri príležitosti jej narodenín som dal Nadii rukopis úplného dôkazu“ (Andrew Wales). Už som spomínal, že matematici sú zvláštni ľudia?

Tentoraz o dôkaze nebolo pochýb. Dva články boli podrobené najdôkladnejšej analýze av máji 1995 boli uverejnené v Annals of Mathematics.

Od toho momentu prešlo veľa času, no v spoločnosti stále panuje názor o neriešiteľnosti Fermatovej poslednej vety. Ale aj tí, ktorí vedia o nájdenom dôkaze, pokračujú v práci týmto smerom – málokto je spokojný s tým, že Veľká veta vyžaduje riešenie na 130 stranách!

Preto sa teraz sily toľkých matematikov (väčšinou amatérov, nie profesionálnych vedcov) vrhajú na hľadanie jednoduchého a stručného dôkazu, ale táto cesta s najväčšou pravdepodobnosťou nikam nepovedie ...

Pierre Fermat tvrdil, že:

nie je možné rozložiť kocku na dve kocky alebo bikvadrát na dve bikvadry a vo všeobecnosti je nemožné rozložiť akúkoľvek mocninu väčšiu ako dve na dve mocniny s rovnakým exponentom.

Ako pristupovať k dôkazu Fermatovho tvrdenia?

(obrázok na upútanie pozornosti)

Predstavte si, že sme našli alebo postavili pravouhlý trojuholník s nasledujúcimi stranami: nohy - a prepona kde (p, q, k, n) sú prirodzené čísla. Potom podľa Pytagorovej vety dostaneme alebo . Ak teda nájdeme alebo zostrojíme takýto trojuholník, potom Fermata vyvrátime. Ak dokážeme, že takýto trojuholník neexistuje, potom dokážeme vetu.

Keďže výrok pojednáva o prirodzených číslach, zistíme, čomu sa rovná rozdiel druhých mocnín dvoch nepárnych prirodzených čísel. Tie. poďme riešiť rovnicu. Na tento účel zostrojíme pravouhlé trojuholníky, ktorých prepona sa rovná a noha sa rovná, kde a (a > b). Potom podľa Pytagorovej vety môžeme vypočítať druhú časť pomocou vzorca (1) , alebo (2) . Dostali sme, že strany týchto trojuholníkov sú rovnaké a . Takže môžeme opakovať všetky dvojice čísel a a b z prirodzenej množiny (nazvime tieto čísla „generátormi“ tejto identity) a získajte všetky možné trojuholníky s danými vlastnosťami , . Dokážme nevyhnutnosť tohto riešenia. Poďme prepísať (1) ako . Keďže Z a Y sú nepárne čísla, môžeme písať (Z - Y) = 2b a (Z + Y)=2a. Ak ich vyriešime vzhľadom na Z a Y, dostaneme Z = (a + b) a Y = (a - b). Potom môžeme napísať, že X = 4ab a dosadením týchto hodnôt do (1) , dostaneme .

Poznámka

Aby nedošlo k získaniu podobných trojuholníkov, a vzhľadom na to Z a Y- nepárne čísla podľa podmienky, čísla a a b musí byť relatívne prvočíslo a rôznej parity. V nasledujúcom texte predpokladáme, že číslo je párne a. Usporiadať rozdelenie pravouhlých trojuholníkov v množine prirodzených čísel N, budeme postupovať nasledovne: od tejto množiny odčítame všetky čísla, ktoré sú párnymi mocninami prirodzených čísel. Označme túto množinu, kde n- prirodzené číslo. Potom od zvyšných prirodzených čísel odčítajte všetky čísla, ktoré sú nepárne (≥3) mocniny prirodzených čísel a množinu týchto čísel označte ako . Zostávajúce prirodzené čísla vytvoria množinu, ktorej čísla sú prirodzené čísla s prvou mocninou. Označme túto množinu. Je zrejmé, že kombinácia týchto 3 množín je množina prirodzených čísel alebo . Množinu reprezentujeme ako rad = (1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17,………). Zastupujeme sady a vo forme sérií. Potom bude množinou matica pozostávajúca z nekonečného počtu riadkov, pričom každý riadok bude pozostávať z čísel radu umocnených 2n, a n- je tam číslo riadku. Takže prvý riadok pozostáva zo druhých mocnín všetkých čísel radu, druhý riadok sa skladá zo 4 mocnín týchto čísel atď. Zoberme si množinu , ktorá bude maticou pozostávajúcou z nekonečného počtu riadkov, z ktorých každý riadok bude pozostávať z čísel radu umocnených 2n+1. (n je číslo riadku). Takže prvý riadok tejto matice pozostáva z kociek čísel radu, druhý riadok pozostáva z čísel radu až po piatu mocninu atď. Zoberme si súbor. Pretože , potom akceptujeme rovnaký algoritmus na konštrukciu trojuholníkov (pozri vyššie). Poďme nájsť „generátory“ identity, Toto budú čísla , kde , vytvoríme identitu: (3) , máme veľa pravouhlých trojuholníkov s celočíselnými stranami. Tu - prepona, - noha a - druhá noha. Na vyvrátenie Fermatovho tvrdenia je potrebné, aby strany X, Y, Z požadovaného trojuholníka boli rovné (4) . Kde (p, q, k, n) sú prirodzené čísla. Podľa Pytagorovej vety budeme mať resp

a Fermatovo tvrdenie bude vyvrátené. Z identity je zrejmé, že . Zvážte poslednú rovnosť, v tejto rovnosti“ p» pre akékoľvek hodnoty « a a b» nebude prirodzené číslo, ak . To znamená, že v uvažovanej množine trojuholníkov nie je ani jeden trojuholník s požadovanými stranami (4) .
Teraz zvážte súpravu. Označiť (2n+1) ako" m“, potom v množine dostaneme pravouhlé trojuholníky opísané identitou (6) . Ak dokážeme zostrojiť pravouhlý trojuholník X, Y, Z so stranami (7) , kde , potom vyvraciame Fermatovo tvrdenie, lebo podľa Pytagorovej vety a (p, q a k) sú prirodzené čísla. Je potrebné, aby. Vzhľadom na poslednú rovnosť poznamenávame, že „ p» nemôže byť prirodzené číslo pre žiadne hodnoty « a a b", , ak . To znamená, že v tejto množine trojuholníkov nie je ani jeden trojuholník s požadovanými stranami (7) .

Z vyššie uvedeného je však jasné, že celý dôkaz je zredukovaný na analýzu čísla , kde "" pre akékoľvek prirodzené " a a b"nebude prirodzené číslo k mocnine" m/2". Alebo (8) za rovnakých podmienok nebude prirodzeným číslom s mocninou "m". Z dôkazu je vidieť, že „generátori“ identity (6) sú čísla "" zo série Ho, ktoré analyzujú (8) , číslom môžete nahradiť "" . Pretože existuje párne číslo (pozri poznámku), potom - prirodzené číslo. Po jeho nahradení do (8) dostaneme , teda prirodzené čísla na mocninu "m". Po vykonaní vyššie uvedenej substitúcie do identity (6) , a označíme , získame nasledujúcu identitu: . Máme veľa pravouhlých trojuholníkov so stranami. Ak (k, q, p) sú prirodzené čísla v nepárnom stupni, t.j. kde r je ľubovoľné nepárne číslo a . Na vyvrátenie Fermatu je potrebné, aby: V poslednej rovnosti pre akékoľvek prírodné a a b, sú prirodzené čísla, ale prvé dve rovnosti sú nemožné, pretože ak " m a r» akékoľvek nepárne čísla, potom sú iracionálne čísla a čísla v zátvorkách sú prirodzené čísla. Ak (k, q, p) sú prirodzené čísla v párnom stupni, t.j. , potom dostaneme nasledujúce rovnosti (5) . V tomto variante je posledná rovnosť nemožná, pretože vytiahnutím koreňa m stupňa z oboch častí rovnosti dostaneme , t.j. v zátvorkách je iracionálne číslo a je to prirodzené číslo. To znamená, že „nevyhnutný“ trojuholník sa nenašiel ani v tomto súbore. A to znamená, že pre každého zvláštny « m“ Fermatov výrok je pravdivý, a teda pravdivý, pre všetky prvočísla „m ≥ 3“.

Zostáva nájsť dôkaz vety pre párne exponenty. Od (5) z toho vyplýva, že ak je v kanonickom expanzii párneho exponentu nepárne prvočíslo, potom platí Fermatov výrok pre tento stupeň. Je zrejmé, že túto podmienku spĺňajú všetky párne čísla, okrem čísla " 4 » a násobky štyroch, t.j. 8, 16, 32, 64 … atď. V rozšírení týchto čísel je len prvočíslo 2 . Uvedený dôkaz preto nedáva odpoveď na tieto právomoci.

Zostáva teda dokázať vetu pre „ n=4". Dá sa predpokladať, že Fermat mal všeobecný dôkaz, nie však úplný. Možno preto nezapísal svoj dôkaz. A len o niekoľko rokov neskôr, keď vytvoril svoju metódu „nekonečného alebo neurčitého zostupu“, dokázal, že neexistuje pravouhlý trojuholník s celočíselnými stranami, ktorého obsah by sa rovnal druhej mocnine prirodzeného čísla. Potom dôkaz vety pre „ n=4' nebolo ťažké. Fermat si tento dôkaz zapísal. A veta sa ukázala ako úplne dokázaná.

Tagy: Fermatova veta, krátky dôkaz

5. august 2013

Na svete nie je toľko ľudí, ktorí nikdy nepočuli o Fermatovej poslednej vete - možno je to jediný matematický problém, ktorý si získal takú veľkú popularitu a stal sa skutočnou legendou. Spomína sa v mnohých knihách a filmoch, pričom hlavným kontextom takmer všetkých zmienok je nemožnosť dokázať vetu.

Áno, táto veta je veľmi slávna a v istom zmysle sa stala „modlou“, ktorú uctievajú amatérski a profesionálni matematici, ale len málo ľudí vie, že jej dôkaz bol nájdený, a to sa stalo už v roku 1995. Ale prvé veci.

Takže Fermatova posledná veta (často nazývaná posledná Fermatova veta), ktorú v roku 1637 sformuloval vynikajúci francúzsky matematik Pierre Fermat, je svojou podstatou veľmi jednoduchá a zrozumiteľná pre každého so stredoškolským vzdelaním. Hovorí, že vzorec a na mocninu n + b na mocninu n \u003d c na mocninu n nemá prirodzené (teda nezlomkové) riešenia pre n > 2. Všetko sa zdá byť jednoduché a jasné , no najlepší matematici a jednoduchí amatéri bojovali o hľadanie riešenia viac ako tri a pol storočia.

Prečo je taká slávna? Teraz poďme zistiť...

Existuje málo dokázaných, nedokázaných a predsa nedokázaných teorémov? Ide o to, že Fermatova posledná veta je najväčším kontrastom medzi jednoduchosťou formulácie a zložitosťou dôkazu. Fermatova posledná veta je neskutočne ťažká úloha, a predsa jej formuláciu pochopí každý, kto má 5 ročníkov strednej školy, no dôkaz ani zďaleka nie každý profesionálny matematik. Ani vo fyzike, ani v chémii, ani v biológii, ani v tej istej matematike neexistuje jediný problém, ktorý by bol formulovaný tak jednoducho, no zostal by tak dlho nevyriešený. 2. Z čoho pozostáva?

Začnime pytagorovými nohavicami Znenie je naozaj jednoduché – na prvý pohľad. Ako vieme z detstva, "pytagorejské nohavice sú si rovné zo všetkých strán." Problém vyzerá tak jednoducho, pretože bol založený na matematickom tvrdení, ktoré každý pozná – Pytagorovej vete: v akomkoľvek pravouhlom trojuholníku sa štvorec postavený na prepone rovná súčtu štvorcov postavených na nohách.

V 5. storočí pred Kr. Pytagoras založil pytagorejské bratstvo. Pythagorejci okrem iného študovali celočíselné trojice spĺňajúce rovnicu x²+y²=z². Dokázali, že pytagorejských trojíc je nekonečne veľa a získali všeobecné vzorce na ich nájdenie. Asi sa snažili hľadať trojky a vyššie stupne. Pytagorejci presvedčení, že to nefunguje, zanechali svoje márne pokusy. Členovia bratstva boli viac filozofi a estéti ako matematici.

To znamená, že je ľahké vybrať množinu čísel, ktoré dokonale spĺňajú rovnosť x² + y² = z²

Počnúc od 3, 4, 5 - žiak základnej školy skutočne chápe, že 9 + 16 = 25.

Alebo 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Skvelé.

No ukazuje sa, že nie. Tu sa trik začína. Jednoduchosť je zjavná, pretože je ťažké dokázať nie prítomnosť niečoho, ale naopak neprítomnosť. Keď je potrebné dokázať, že existuje riešenie, človek môže a mal by jednoducho predložiť toto riešenie.

Absenciu je ťažšie dokázať: niekto napríklad hovorí: taká a taká rovnica nemá riešenia. Dať ho do mláky? jednoduché: bam - a tu to je, riešenie! (uveďte riešenie). A je to, súper je porazený. Ako dokázať absenciu?

Povedať: „Takéto riešenia som nenašiel“? Alebo si možno zle hľadal? A čo ak sú, len veľmi veľké, no také, že ani supervýkonný počítač ešte nemá dostatok sily? Toto je ťažké.

Vo vizuálnej forme to možno znázorniť takto: ak vezmeme dva štvorce vhodnej veľkosti a rozložíme ich na jednotkové štvorce, potom z tohto zväzku jednotkových štvorcov získame tretí štvorec (obr. 2):

A urobme to isté s tretím rozmerom (obr. 3) – nefunguje to. Nie je dostatok kociek alebo zostávajú ďalšie:

Ale matematik 17. storočia, Francúz Pierre de Fermat, nadšene študoval všeobecnú rovnicu x n + y n \u003d z n. A nakoniec dospel k záveru: pre n>2 celočíselné riešenia neexistujú. Fermatov dôkaz je nenávratne stratený. Rukopisy sú v plameňoch! Zostáva len jeho poznámka v Diophantusovej aritmetike: "Našiel som skutočne úžasný dôkaz tohto návrhu, ale okraje sú príliš úzke na to, aby sa to dalo."

Veta bez dôkazu sa v skutočnosti nazýva hypotéza. Ale Fermat má povesť, že sa nikdy nemýli. Ak aj nezanechal dôkaz o žiadnom vyhlásení, následne sa to potvrdilo. Okrem toho Fermat dokázal svoju tézu pre n=4. Takže hypotéza francúzskeho matematika vošla do dejín ako Fermatova posledná veta.

Po Fermatovi pracovali na hľadaní dôkazu také veľké mysle ako Leonhard Euler (v roku 1770 navrhol riešenie pre n = 3),

Adrien Legendre a Johann Dirichlet (títo vedci spoločne našli dôkaz pre n = 5 v roku 1825), Gabriel Lame (ktorý našiel dôkaz pre n = 7) a mnohí ďalší. V polovici 80. rokov minulého storočia už bolo jasné, že vedecký svet je na ceste ku konečnému riešeniu Fermatovej poslednej vety, ale až v roku 1993 matematici videli a uverili, že tristoročná sága o nájdení dôkazu Posledná Fermatova veta bola takmer u konca.

Je ľahké ukázať, že stačí dokázať Fermatovu vetu len pre prvočíslo n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … Pre kompozit n zostáva dôkaz platný. Ale prvočísel je nekonečne veľa...

V roku 1825, pomocou metódy Sophie Germain, matematičky Dirichlet a Legendre nezávisle dokázali vetu pre n=5. V roku 1839 Francúz Gabriel Lame ukázal pravdivosť vety pre n=7 pomocou rovnakej metódy. Postupne sa veta dokázala takmer pre všetkých n menej ako sto.

Napokon, nemecký matematik Ernst Kummer v brilantnej štúdii ukázal, že matematické metódy 19. storočia nedokážu teorém vo všeobecnej forme dokázať. Cena Francúzskej akadémie vied, založená v roku 1847 za dôkaz Fermatovej vety, zostala nepridelená.

V roku 1907 sa bohatý nemecký priemyselník Paul Wolfskel rozhodol vziať si život kvôli neopätovanej láske. Ako správny Nemec stanovil dátum a čas samovraždy: presne o polnoci. Posledný deň urobil závet a napísal listy priateľom a príbuzným. Obchod sa skončil pred polnocou. Musím povedať, že Paul sa zaujímal o matematiku. Keďže nemal čo robiť, odišiel do knižnice a začal čítať Kummerov slávny článok. Zrazu sa mu zdalo, že Kummer urobil chybu vo svojich úvahách. Wolfskehl s ceruzkou v ruke začal analyzovať túto časť článku. Prešla polnoc, prišlo ráno. Medzera v dôkaze bola vyplnená. A samotný dôvod samovraždy teraz vyzeral úplne smiešne. Pavol roztrhal listy na rozlúčku a prepísal závet.

Čoskoro zomrel prirodzenou smrťou. Dediči boli poriadne prekvapení: 100 000 mariek (viac ako 1 000 000 súčasných libier šterlingov) bolo prevedených na účet Kráľovskej vedeckej spoločnosti v Göttingene, ktorá v tom istom roku vyhlásila súťaž o Wolfskelovu cenu. 100 000 mariek sa spoliehalo na dokazovanie Fermatovej vety. Za vyvrátenie vety sa nemal zaplatiť ani fenig...

Väčšina profesionálnych matematikov považovala hľadanie dôkazu Fermatovej poslednej vety za stratený prípad a rezolútne odmietli strácať čas takýmto zbytočným cvičením. Ale amatéri frčia za slávou. Niekoľko týždňov po oznámení zasiahla univerzitu v Göttingene lavína „dôkazov“. Profesor E. M. Landau, ktorého povinnosťou bolo analyzovať zaslané dôkazy, rozdal svojim študentom karty:

Vážení (y). . . . . . . .

Ďakujem za rukopis, ktorý ste poslali s dôkazom Fermatovej poslednej vety. Prvá chyba je na strane ... v riadku ... . Kvôli nej stráca celý dôkaz platnosť.
Profesor E. M. Landau

V 80. rokoch Samuel Wagstaff zvýšil limit na 25 000 a v 90. rokoch matematici tvrdili, že Fermatova posledná veta platí pre všetky hodnoty n až do 4 miliónov. Ale ak sa od nekonečna odpočíta čo i len bilión biliónov, nezmenší sa. Matematikov nepresvedčí štatistika. Dokázať Veľkú vetu znamenalo dokázať ju pre VŠETKÝCH n ísť do nekonečna.

Po starostlivom testovaní však priatelia predložili hypotézu: každá eliptická rovnica má dvojča - modulárnu formu a naopak. Práve táto hypotéza sa stala základom celého trendu v matematike, ale kým sa nepreukázala hypotéza Taniyama-Shimura, celá budova sa mohla každú chvíľu zrútiť.

V roku 1984 Gerhard Frey ukázal, že riešenie Fermatovej rovnice, ak existuje, môže byť zahrnuté do nejakej eliptickej rovnice. O dva roky neskôr profesor Ken Ribet dokázal, že táto hypotetická rovnica nemôže mať v modulárnom svete obdobu. Odteraz bola Fermatova posledná veta neoddeliteľne spojená s hypotézou Taniyama-Shimura. Po preukázaní, že každá eliptická krivka je modulárna, sme dospeli k záveru, že neexistuje žiadna eliptická rovnica s riešením Fermatovej rovnice a Fermatova posledná veta by bola okamžite dokázaná. Ale tridsať rokov nebolo možné dokázať hypotézu Taniyama-Shimura a nádejí na úspech bolo čoraz menej.

V roku 1963, keď mal len desať rokov, bol Andrew Wiles už fascinovaný matematikou. Keď sa dozvedel o Veľkej vete, uvedomil si, že sa od nej nemôže odchýliť. Ako školák, študent, postgraduálny študent sa na túto úlohu pripravoval.

Keď sa Wiles dozvedel o zisteniach Kena Ribeta, vrhol sa na dokazovanie Taniyama-Shimurovej domnienky. Rozhodol sa pracovať v úplnej izolácii a utajení. "Pochopil som, že všetko, čo má niečo spoločné s Fermatovou poslednou vetou, je príliš zaujímavé... Príliš veľa divákov úmyselne zasahuje do dosiahnutia cieľa." Sedem rokov tvrdej práce sa vyplatilo, Wiles konečne dokončil dôkaz dohadu Taniyama-Shimura.

V roku 1993 anglický matematik Andrew Wiles predstavil svetu svoj dôkaz Fermatovej poslednej vety (Wiles čítal svoju senzáciu na konferencii v Inštitúte Sira Isaaca Newtona v Cambridge.), práca na ktorej trvala viac ako sedem rokov.

Ukázalo sa, že toto rozhodnutie obsahuje hrubú chybu, hoci vo všeobecnosti je to pravda. Wiles sa nevzdal, zavolal si na pomoc známeho špecialistu na teóriu čísel Richarda Taylora a už v roku 1994 zverejnili opravený a doplnený dôkaz vety. Najúžasnejšie je, že táto práca zabrala až 130 (!) strán v matematickom časopise Annals of Mathematics. Ale ani tam sa príbeh neskončil - posledná bodka bola urobená až v nasledujúcom roku 1995, keď bola zverejnená konečná a z matematického hľadiska „ideálna“ verzia dôkazu.

„...pol minúty po začiatku slávnostnej večere pri príležitosti jej narodenín som dal Nadii rukopis úplného dôkazu“ (Andrew Wales). Už som spomínal, že matematici sú zvláštni ľudia?

Tentoraz o dôkaze nebolo pochýb. Dva články boli podrobené najdôkladnejšej analýze av máji 1995 boli uverejnené v Annals of Mathematics.

Od toho momentu prešlo veľa času, no v spoločnosti stále panuje názor o neriešiteľnosti Fermatovej poslednej vety. Ale aj tí, ktorí vedia o nájdenom dôkaze, pokračujú v práci týmto smerom – málokto je spokojný s tým, že Veľká veta vyžaduje riešenie na 130 stranách!

Preto sa teraz sily toľkých matematikov (väčšinou amatérov, nie profesionálnych vedcov) vrhajú na hľadanie jednoduchého a stručného dôkazu, ale táto cesta s najväčšou pravdepodobnosťou nikam nepovedie ...

zdroj