Van der Waerden'e göre, genel formdaki oranın MÖ 18. yüzyılda Babil'de zaten biliniyor olması çok muhtemeldir. e.
Yaklaşık MÖ 400. e., Proclus'a göre Plato, cebir ve geometriyi birleştiren Pisagor üçlülerini bulmak için bir yöntem verdi. Yaklaşık 300 M.Ö. e. Öklid'in "Elementleri"nde Pisagor teoreminin en eski aksiyomatik kanıtı ortaya çıktı.
ifade
Ana formülasyon cebirsel işlemleri içerir - bacakların uzunlukları eşit olan bir dik üçgende a (\görüntüleme stili a) ve b (\görüntüleme stili b), ve hipotenüsün uzunluğu c (\görüntüleme stili c), ilişki yerine getirilir:
.Alan kavramına başvurarak eşdeğer bir geometrik formülasyon da mümkündür şekil: bir dik üçgende, hipotenüs üzerine inşa edilen karenin alanı, bacaklar üzerine inşa edilen karelerin alanlarının toplamına eşittir. Bu formda, teorem Öklid'in Principia'sında formüle edilmiştir.
Ters Pisagor Teoremi- kenarlarının uzunlukları ilişki ile ilgili olan herhangi bir üçgenin dikdörtgenliği hakkında ifade a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Sonuç olarak, pozitif sayıların herhangi bir üçlüsü için a (\görüntüleme stili a), b (\görüntüleme stili b) ve c (\görüntüleme stili c), öyle ki a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), bacakları olan bir dik üçgen var a (\görüntüleme stili a) ve b (\görüntüleme stili b) ve hipotenüs c (\görüntüleme stili c).
Kanıtı
Bilimsel literatürde, hem geometrinin temel değeri hem de sonucun basitliği ile açıklanan Pisagor teoreminin en az 400 kanıtı kaydedilmiştir. Kanıtların ana yönleri şunlardır: elementlerin oranlarının cebirsel kullanımı üçgen (örneğin, popüler benzerlik yöntemidir), alan yöntemi, ayrıca çeşitli egzotik kanıtlar (örneğin, diferansiyel denklemleri kullanarak) vardır.
Benzer üçgenler aracılığıyla
Öklid'in klasik ispatı, hipotenüsün üzerindeki karenin dik açıdan yüksekliğiyle, bacakların üzerindeki karelerle kesilerek oluşturulan dikdörtgenler arasındaki alanların eşitliğini sağlamayı amaçlar.
İspat için kullanılan yapı şu şekildedir: dik açılı bir dik üçgen için C (\görüntüleme stili C), bacaklar üzerinde kareler ve hipotenüs üzerinde kareler A B I K (\displaystyle ABIK) yükseklik inşa ediliyor CH (\ Displaystyle CH) ve onu devam ettiren ışın s (\görüntüleme stili s), hipotenüsün üzerindeki kareyi iki dikdörtgene böler ve . İspat, dikdörtgenin alanlarının eşitliğini sağlamaya yöneliktir. AH J K (\displaystyle AHJK) bacak üzerinde bir kare ile AC (\ Displaystyle AC); hipotenüsün üzerindeki bir kare olan ikinci dikdörtgenin ve diğer ayağın üzerindeki dikdörtgenin alanlarının eşitliği benzer şekilde kurulur.
Dikdörtgenin alanlarının eşitliği AH J K (\displaystyle AHJK) ve A C E D (\displaystyle ACED)üçgenlerin uyumu ile kurulur △ A CK (\displaystyle \triangle ACK) ve △ A B D (\displaystyle \triangle ABD), her birinin alanı karelerin alanının yarısına eşit olan AH J K (\displaystyle AHJK) ve A C E D (\displaystyle ACED) sırasıyla, aşağıdaki özellik ile bağlantılı olarak: bir üçgenin alanı, şekillerin ortak bir kenarı varsa, bir dikdörtgenin alanının yarısına eşittir ve üçgenin ortak kenara olan yüksekliği, diğer tarafıdır. dikdörtgen. Üçgenlerin uyumu, iki kenarın (karelerin kenarları) ve aralarındaki açının (bir dik açı ve bir açıdan oluşan) eşitliğinden kaynaklanır. A (\görüntüleme stili A).
Böylece ispat, hipotenüsün üzerindeki karenin alanının dikdörtgenlerden oluştuğunu belirler. AH J K (\displaystyle AHJK) ve B H J I (\displaystyle BHJI), bacakların üzerindeki karelerin alanlarının toplamına eşittir.
Leonardo da Vinci'nin Kanıtı
Alan yöntemi ayrıca Leonardo da Vinci'nin bulduğu ispatı da içerir. Bir dik üçgen olsun △ A B C (\displaystyle \triangle ABC) dik açı C (\görüntüleme stili C) ve kareler A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG) ve A B H J (\displaystyle ABHJ)(resmi görmek). Yandaki bu kanıtta H J (\ Displaystyle HJ) ikincisi, dışarıya uyumlu bir üçgen inşa edilmiştir. △ A B C (\displaystyle \triangle ABC) ayrıca, hem hipotenüse göre hem de yüksekliğe göre yansıdı (yani, J I = B C (\displaystyle JI=BC) ve H I = AC (\displaystyle HI=AC)). Düz C I (\ Displaystyle CI) hipotenüs üzerine kurulan kareyi iki eşit parçaya böler, çünkü üçgenler △ A B C (\displaystyle \triangle ABC) ve △ J H I (\displaystyle \triangle JHI) inşaatta eşittir. Kanıt, dörtgenlerin eşliğini kurar C A J I (\displaystyle CAJI) ve D A B G (\displaystyle DABG), her birinin alanı, bir yandan, bacaklardaki karelerin alanlarının yarısı ile orijinal üçgenin alanının toplamına, diğer yandan, alanın yarısına eşittir. hipotenüs üzerindeki kare artı orijinal üçgenin alanı. Toplamda, bacakların üzerindeki karelerin alanlarının toplamının yarısı, Pisagor teoreminin geometrik formülasyonuna eşdeğer olan hipotenüs üzerindeki karenin alanının yarısına eşittir.
Sonsuz küçük yöntemle ispat
Diferansiyel denklem tekniğini kullanan birkaç kanıt vardır. Özellikle, Hardy, sonsuz küçük bacak artışlarını kullanan bir kanıtla tanınır. a (\görüntüleme stili a) ve b (\görüntüleme stili b) ve hipotenüs c (\görüntüleme stili c) ve orijinal dikdörtgenle benzerliği koruyarak, yani aşağıdaki diferansiyel ilişkilerin yerine getirilmesini sağlar:
d bir d c = c bir (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).Değişkenlerin ayrılması yöntemiyle, onlardan bir diferansiyel denklem türetilir. c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), kimin entegrasyonu ilişkiyi verir c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Başlangıç koşullarının uygulanması a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) bir sabiti 0 olarak tanımlar, bu da teoremin doğrulanmasıyla sonuçlanır.
Son formüldeki ikinci dereceden bağımlılık, üçgenin kenarları ve artımlar arasındaki doğrusal orantı nedeniyle ortaya çıkarken, toplam, farklı bacakların artımından bağımsız katkılardan kaynaklanmaktadır.
Varyasyonlar ve Genellemeler
Üç tarafta benzer geometrik şekiller
Pisagor teoreminin önemli bir geometrik genellemesi, "Başlangıçlar" da Öklid tarafından, yanlardaki karelerin alanlarından keyfi benzer geometrik şekillerin alanlarına hareket edilerek verilmiştir: bacaklar üzerine inşa edilen bu tür şekillerin alanlarının toplamı olacaktır. hipotenüs üzerine inşa edilmiş, onlara benzer bir figürün alanına eşittir.
Bu genellemenin ana fikri, böyle bir geometrik şeklin alanının, doğrusal boyutlarından herhangi birinin karesiyle ve özellikle herhangi bir kenar uzunluğunun karesiyle orantılı olmasıdır. Bu nedenle, alanlarla benzer rakamlar için A (\görüntüleme stili A), B (\görüntüleme stili B) ve C (\görüntüleme stili C) uzunlukları ile bacaklar üzerine inşa a (\görüntüleme stili a) ve b (\görüntüleme stili b) ve hipotenüs c (\görüntüleme stili c) buna göre bir ilişki vardır:
A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B) )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).Pisagor teoremine göre a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), sonra yapılır.
Ayrıca, bir dik üçgenin kenarlarındaki benzer üç geometrik şeklin alanları için Pisagor teoremine başvurmadan kanıtlamak mümkünse, bağıntı A + B = C (\displaystyle A+B=C), sonra Öklid'in genellemesinin ispatının tersini kullanarak Pisagor teoreminin ispatını türetebiliriz. Örneğin, hipotenüs üzerinde alanı olan ilk üçgene uygun bir dik üçgen oluşturursak C (\görüntüleme stili C), ve bacaklarda - alanları olan iki benzer dik açılı üçgen A (\görüntüleme stili A) ve B (\görüntüleme stili B), daha sonra bacaklardaki üçgenlerin, ilk üçgenin yüksekliğine bölünmesinin bir sonucu olarak oluştuğu, yani üçgenlerin iki küçük alanının toplamının üçüncünün alanına eşit olduğu ortaya çıkıyor, böylece A + B = C (\displaystyle A+B=C) ve benzer şekiller için ilişki uygulanarak Pisagor teoremi türetilir.
kosinüs teoremi
Pisagor teoremi, keyfi bir üçgende kenarların uzunluklarını ilişkilendiren daha genel kosinüs teoreminin özel bir halidir:
a 2 + b 2 − 2 a b cos θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),kenarlar arasındaki açı nerede a (\görüntüleme stili a) ve b (\görüntüleme stili b). Açı 90° ise, cos θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), ve formül her zamanki Pisagor teoremini basitleştirir.
keyfi üçgen
Pisagor teoreminin, yalnızca kenarların uzunluklarının oranı üzerinde çalışan keyfi bir üçgene genelleştirilmesi var, ilk olarak Sabian astronom Sabit ibn Kurra tarafından kurulduğuna inanılıyor. İçinde, kenarları olan keyfi bir üçgen için, bir ikizkenar yanında tabanı olan bir üçgen c (\görüntüleme stili c), köşe orijinal üçgenin tepe noktası ile çakışıyor, kenarın karşısında c (\görüntüleme stili c) ve tabandaki açılar açıya eşit θ (\displaystyle \theta ) ters taraf c (\görüntüleme stili c). Sonuç olarak, orijinaline benzer iki üçgen oluşur: birincisi kenarlı a (\görüntüleme stili a), yazılı ikizkenar üçgenin yan tarafı ondan uzakta ve r (\görüntüleme stili r)- yan parçalar c (\görüntüleme stili c); ikincisi yandan simetriktir b (\görüntüleme stili b) bir parti ile s (\görüntüleme stili s)- tarafın ilgili kısmı c (\görüntüleme stili c). Sonuç olarak, ilişki yerine getirilir:
a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),hangi Pisagor teoremine dejenere olur θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi/2). Oran, oluşturulan üçgenlerin benzerliğinin bir sonucudur:
c a = bir r , c b = b s ⇒ c r + c s = bir 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r))),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).Pappus alanı teoremi
Öklidyen olmayan geometri
Pisagor teoremi, Öklid geometrisinin aksiyomlarından türetilmiştir ve Öklid dışı geometri için geçersizdir - Pisagor teoreminin yerine getirilmesi, Öklid paralelliği varsayımıyla eşdeğerdir.
Öklid dışı geometride, bir dik üçgenin kenarları arasındaki ilişki mutlaka Pisagor teoreminden farklı bir biçimde olacaktır. Örneğin, küresel geometride, birim kürenin oktantını sınırlayan bir dik üçgenin üç kenarının da uzunlukları vardır. π / 2 (\displaystyle \pi/2) Pisagor teoremi ile çelişen .
Ayrıca, eğer üçgenin dikdörtgen olması şartı, üçgenin iki açısının toplamının üçüncüye eşit olması şartı ile değiştirilirse, Pisagor teoremi hiperbolik ve eliptik geometride geçerlidir.
küresel geometri
Yarıçapı olan bir küre üzerindeki herhangi bir dik üçgen için R (\görüntüleme stili R)(örneğin, üçgendeki açı doğruysa) kenarlarla a , b , c (\displaystyle a,b,c) taraflar arasındaki ilişki:
cos (c R) = cos (a R) ⋅ cos (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\sağ)=\cos \left((\frac) (a)(R))\sağ)\cdot \cos \sol((\frac (b)(R))\sağ)).Bu eşitlik, tüm küresel üçgenler için geçerli olan küresel kosinüs teoreminin özel bir hali olarak türetilebilir:
cos (c R) = cos (a R) ⋅ cos (b R) + günah (a R) ⋅ günah (b R) ⋅ cos γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\sağ)=\cos \sol((\frac (a)(R))\sağ)\cdot \cos \sol((\frac (b)(R))\sağ)+\ sin \left((\frac (a)(R))\sağ)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\sağ)\cdot \cos \gamma ). ch c = ch bir ⋅ ch b (\displaystyle \operatöradı (ch) c=\operatöradı (ch) a\cdot \operatöradı (ch) b),nerede ch (\displaystyle \operatöradı (ch) )- hiperbolik kosinüs. Bu formül, tüm üçgenler için geçerli olan hiperbolik kosinüs teoreminin özel bir halidir:
ch c = ch bir ⋅ ch b − sh bir ⋅ sh b ⋅ cos γ (\displaystyle \operatöradı (ch) c=\operatöradı (ch) a\cdot \operatöradı (ch) b-\operatöradı (sh) a\cdot \operatöradı (sh) b\cdot \cos \gamma ),nerede γ (\displaystyle \gamma )- tepe noktası bir kenara zıt olan açı c (\görüntüleme stili c).
Hiperbolik kosinüs için Taylor serisini kullanma ( ch x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatöradı (ch) x\yaklaşık 1+x^(2)/2)) hiperbolik üçgen azalırsa (yani, a (\görüntüleme stili a), b (\görüntüleme stili b) ve c (\görüntüleme stili c) sıfıra eğilim), o zaman bir dik üçgendeki hiperbolik ilişkiler klasik Pisagor teoreminin ilişkisine yaklaşır.
Başvuru
İki boyutlu dikdörtgen sistemlerde mesafe
Pisagor teoreminin en önemli uygulaması, bir dikdörtgen (sistem) koordinatlarında iki nokta arasındaki uzaklığın belirlenmesidir: uzaklık s (\görüntüleme stili s) koordinatlı noktalar arasında (a , b) (\displaystyle (a,b)) ve (c , d) (\displaystyle (c,d)) eşittir:
s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).Karmaşık sayılar için, Pisagor teoremi, modül (karmaşık) sayıyı bulmak için doğal bir formül verir. z = x + y ben (\displaystyle z=x+yi) uzunluğa eşittir
teorem
Bir dik üçgende, hipotenüsün uzunluğunun karesi, bacak uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir (Şekil 1):
$c^(2)=a^(2)+b^(2)$
Pisagor Teoreminin Kanıtı
$A B C$ üçgeni, $C$ açısına sahip bir dik üçgen olsun (Şekil 2).
$C$ köşesinden $A B$ hipotenüsüne bir yükseklik çizin, yüksekliğin tabanını $H$ olarak belirtin.
$A C H$ dik üçgeni iki açıdan $A B C$ üçgenine benzer ($\angle A C B=\angle C H A=90^(\circ)$, $\angle A$ ortaktır). Benzer şekilde, $C B H$ üçgeni, $A B C$ üçgenine benzer.
Notasyonun tanıtılması
$$B C=a, A C=b, A B=c$$
üçgenlerin benzerliğinden bunu elde ederiz
$$\frac(a)(c)=\frac(H B)(a), \frac(b)(c)=\frac(A H)(b)$$
Bu yüzden bizde var
$$a^(2)=c \cdot H B, b^(2)=c \cdot A H$$
Elde edilen eşitlikleri toplayarak,
$$a^(2)+b^(2)=c \cdot H B+c \cdot A H$$
$$a^(2)+b^(2)=c \cdot(H B+A H)$$
$$a^(2)+b^(2)=c \cdot A B$$
$$a^(2)+b^(2)=c \cdot c$$
$$a^(2)+b^(2)=c^(2)$$
Q.E.D.
Pisagor teoreminin geometrik formülasyonu
teorem
Bir dik üçgende, hipotenüs üzerine kurulan karenin alanı, bacaklar üzerine kurulan karelerin alanlarının toplamına eşittir (Şekil 2):
Problem çözme örnekleri
Örnek
Egzersiz yapmak. Bacakları 6 cm ve 8 cm olan bir $A B C$ köşeli üçgen verildiğinde bu üçgenin hipotenüsünü bulunuz.
Çözüm. Bacağın durumuna göre $a=6$ cm, $b=8$ cm Sonra Pisagor teoremine göre hipotenüsün karesi
$c^(2)=a^(2)+b^(2)=6^(2)+8^(2)=36+64=100$
Dolayısıyla gerekli hipotenüsü elde ederiz.
$c=\sqrt(100)=10$ (cm)
Cevap. 10 cm
Örnek
Egzersiz yapmak. Bacaklarından birinin diğerinden 5 cm daha uzun olduğu ve hipotenüsün 25 cm olduğu biliniyorsa bir dik üçgenin alanını bulun.
Çözüm. Küçük bacağın uzunluğu $x$ cm olsun, o zaman büyük olanın uzunluğu $(x+5)$ cm olsun. O zaman Pisagor teoremine göre elimizde:
$$x^(2)+(x+5)^(2)=25^(2)$$
Parantezleri açıyoruz, benzerlerini azaltıyoruz ve ortaya çıkan ikinci dereceden denklemi çözüyoruz:
$x^(2)+5 x-300=0$
Vieta'nın teoremine göre, bunu elde ederiz.
$x_(1)=15$ (cm) , $x_(2)=-20$ (cm)
$x_(2)$ değeri problemin koşulunu sağlamaz, yani küçük bacak 15 cm ve büyük bacak 20 cm'dir.
Bir dik üçgenin alanı, bacaklarının uzunluklarının çarpımının yarısıdır, yani
$$S=\frac(15 \cdot 20)(2)=15 \cdot 10=150\left(\mathrm(cm)^(2)\sağ)$$
Cevap.$S=150\sol(\mathrm(cm)^(2)\sağ)$
Geçmiş referansı
Pisagor teoremi- bir dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi kuran Öklid geometrisinin temel teoremlerinden biri.
Antik Çin kitabı "Zhou bi suan jing", kenarları 3, 4 ve 5 olan bir Pisagor üçgeninden bahseder. En büyük Alman matematik tarihçisi Moritz Kantor (1829 - 1920), 3^(2)+4^(2) eşitliğinin olduğuna inanır. )=5^ (2) $, Mısırlılar tarafından MÖ 2300 civarında zaten biliniyordu. Bilim adamına göre, inşaatçılar daha sonra kenarları 3, 4 ve 5 olan dik açılı üçgenleri kullanarak dik açılar yaptılar. Babilliler arasında Pisagor teoremi hakkında biraz daha fazla şey biliniyor. Bir metin, bir ikizkenar dik üçgenin hipotenüsünün yaklaşık bir hesaplamasını verir.
Şu anda bilimsel literatürde bu teoremin 367 ispatı kaydedilmiştir. Muhtemelen, Pisagor teoremi, bu kadar etkileyici sayıda kanıtı olan tek teoremdir. Böyle bir çeşitlilik ancak teoremin geometri için temel önemi ile açıklanabilir.
Yüzde yüz emin olabileceğiniz bir şey var ki, hipotenüsün karesinin ne olduğu sorulduğunda, herhangi bir yetişkin cesurca cevap verecektir: "Bacakların karelerinin toplamı." Bu teorem her eğitimli insanın zihnine sağlam bir şekilde yerleşmiştir, ancak birinden bunu kanıtlamasını istemek yeterlidir ve o zaman zorluklar ortaya çıkabilir. Bu nedenle, Pisagor teoremini kanıtlamanın farklı yollarını hatırlayalım ve düşünelim.
Biyografiye kısa bir bakış
Pisagor teoremi neredeyse herkese tanıdık geliyor, ancak bir nedenden dolayı onu üreten kişinin biyografisi o kadar popüler değil. Düzelteceğiz. Bu nedenle, Pisagor teoremini kanıtlamanın farklı yollarını incelemeden önce, onun kişiliğini kısaca tanımanız gerekir.
Pisagor - bugünden bir filozof, matematikçi, düşünür, biyografisini bu büyük adamın anısına gelişen efsanelerden ayırt etmek çok zordur. Ancak takipçilerinin yazılarından da anlaşılacağı gibi, Samoslu Pisagor, Samos adasında doğdu. Babası sıradan bir taş kesiciydi ama annesi soylu bir aileden geliyordu.
Efsaneye göre, Pythagoras'ın doğumu, çocuğun adını alan Pythia adında bir kadın tarafından tahmin edildi. Onun kehanetine göre, doğan bir erkek çocuk, insanlığa pek çok fayda ve hayır getirecekti. Aslında yaptığı da buydu.
Bir teoremin doğuşu
Pythagoras gençliğinde Mısır'daki ünlü Mısırlı bilgelerle tanışmak için Mısır'a taşındı. Onlarla görüştükten sonra, Mısır felsefesi, matematiği ve tıbbının tüm büyük başarılarını öğrendiği çalışmaya kabul edildi.
Muhtemelen, Pisagor'un piramitlerin görkeminden ve güzelliğinden ilham aldığı ve büyük teorisini yarattığı yer Mısır'dı. Bu okuyucuları şok edebilir, ancak modern tarihçiler Pisagor'un teorisini kanıtlamadığına inanıyor. Ancak bilgisini yalnızca daha sonra gerekli tüm matematiksel hesaplamaları tamamlayan takipçilerine aktardı.
Öyle olabilir ki, bugün bu teoremi kanıtlamak için bir teknik değil, aynı anda birkaç tane bilinmektedir. Bugün sadece eski Yunanlıların hesaplamalarını tam olarak nasıl yaptıklarını tahmin edebiliyoruz, bu yüzden burada Pisagor teoremini kanıtlamanın farklı yollarını ele alacağız.
Pisagor teoremi
Herhangi bir hesaplamaya başlamadan önce, hangi teoriyi kanıtlayacağınızı bulmanız gerekir. Pisagor teoremi şöyle görünür: "Açılarından birinin 90 o olduğu bir üçgende, bacakların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir."
Pisagor Teoremini ispatlamanın toplamda 15 farklı yolu vardır. Bu oldukça büyük bir sayı, bu yüzden en popülerlerine dikkat edelim.
Birinci yöntem
Önce elimizdekileri tanımlayalım. Bu veriler Pisagor teoremini kanıtlamanın diğer yolları için de geçerli olacaktır, bu nedenle mevcut tüm gösterimleri hemen hatırlamalısınız.
Bacakları a, b ve hipotenüsü c'ye eşit olan bir dik üçgen verildiğini varsayalım. İlk ispat yöntemi, dik açılı bir üçgenden bir karenin çizilmesi gerektiği gerçeğine dayanır.
Bunu yapmak için, bacak uzunluğu a'ya bacağa eşit bir segment çizmeniz ve bunun tersi gerekir. Bu yüzden karenin iki eşit tarafını ortaya çıkarmalıdır. Sadece iki paralel çizgi çizmek için kalır ve kare hazır.
Ortaya çıkan şeklin içinde, orijinal üçgenin hipotenüsüne eşit bir kenarı olan başka bir kare çizmeniz gerekir. Bunu yapmak için, ac ve sv köşelerinden c'ye eşit iki paralel parça çizmeniz gerekir. Böylece, biri orijinal dik açılı üçgenin hipotenüsü olan karenin üç tarafını elde ederiz. Sadece dördüncü bölümü çizmek için kalır.
Ortaya çıkan şekle dayanarak, dış karenin alanının (a + b) 2 olduğu sonucuna varabiliriz. Şeklin içine bakarsanız, iç kareye ek olarak dört dik üçgene sahip olduğunu görebilirsiniz. Her birinin alanı 0,5 av.
Bu nedenle, alan: 4 * 0.5av + s 2 \u003d 2av + s 2
Dolayısıyla (a + c) 2 \u003d 2av + c 2
Ve bu nedenle, 2 \u003d 2 + 2'de
Teorem kanıtlanmıştır.
İkinci yöntem: benzer üçgenler
Pisagor teoreminin ispatı için bu formül, geometri bölümünden benzer üçgenler hakkındaki bir ifadeye dayanarak türetilmiştir. Bir dik üçgenin bacağının, hipotenüsüyle orantılı ortalama ve 90 o'luk bir açının tepe noktasından çıkan hipotenüs segmenti olduğunu söylüyor.
İlk veriler aynı kalır, o yüzden hemen ispatla başlayalım. AB kenarına dik bir CD doğru parçası çizelim. Yukarıdaki açıklamaya göre, üçgenlerin bacakları eşittir:
AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.
Pisagor teoreminin nasıl ispatlanacağı sorusuna cevap verebilmek için ispat her iki eşitsizliğin karesi alınarak yapılmalıdır.
AC 2 \u003d AB * HELL ve SV 2 \u003d AB * DV
Şimdi ortaya çıkan eşitsizlikleri eklememiz gerekiyor.
AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), burada AD + DV \u003d AB
Şekline dönüştü:
AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB
Ve bu nedenle:
AC 2 + CB 2 \u003d AB 2
Pisagor teoreminin ispatı ve onu çözmenin çeşitli yolları, bu probleme çok yönlü bir yaklaşım gerektirir. Ancak, bu seçenek en basitlerinden biridir.
Başka bir hesaplama yöntemi
Pisagor teoremini kanıtlamanın farklı yollarının açıklaması, kendi başınıza uygulamaya başlayana kadar hiçbir şey söylemeyebilir. Birçok yöntem yalnızca matematiksel hesaplamaları değil, aynı zamanda orijinal üçgenden yeni şekillerin oluşturulmasını da içerir.
Bu durumda, uçağın ayağından başka bir dik açılı VSD üçgeni tamamlamak gerekir. Böylece, şimdi ortak bir bacağı BC olan iki üçgen var.
Benzer şekillerin alanlarının, benzer doğrusal boyutlarının kareleri kadar bir orana sahip olduğunu bilerek, o zaman:
S avs * s 2 - S avd * 2'de \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2
S avs * (2'den 2'ye kadar) \u003d a 2 * (S avd -S vd)
2'den 2'ye \u003d 2
c 2 \u003d 2 + 2'de
Bu seçenek, 8. sınıf için Pisagor teoremini kanıtlamanın farklı yöntemlerinden pek uygun olmadığından, aşağıdaki tekniği kullanabilirsiniz.
Pisagor teoremini kanıtlamanın en kolay yolu. incelemeler
Tarihçiler, bu yöntemin ilk olarak antik Yunanistan'da bir teoremi kanıtlamak için kullanıldığına inanırlar. Kesinlikle herhangi bir hesaplama gerektirmediğinden en basitidir. Bir resmi doğru çizerseniz, a 2 + b 2 \u003d c 2 ifadesinin kanıtı açıkça görülebilir.
Bu yöntemin koşulları öncekinden biraz farklı olacaktır. Teoremi kanıtlamak için ABC dik üçgeninin ikizkenar olduğunu varsayalım.
AC hipotenüsünü karenin kenarı olarak alıyoruz ve üç kenarını çiziyoruz. Ayrıca ortaya çıkan karede iki çapraz çizgi çizmek gerekir. Böylece içinde dört ikizkenar üçgen elde edersiniz.
AB ve CB bacaklarına ayrıca bir kare çizmeniz ve her birine bir çapraz çizgi çizmeniz gerekir. İlk çizgiyi A köşesinden, ikincisi - C'den çiziyoruz.
Şimdi ortaya çıkan çizime dikkatlice bakmanız gerekiyor. AC hipotenüsünde orijinaline eşit dört üçgen ve bacaklarda iki üçgen olduğundan, bu teoremin doğruluğunu gösterir.
Bu arada, Pisagor teoremini kanıtlamanın bu yöntemi sayesinde ünlü ifade doğdu: "Pisagor pantolonları her yöne eşittir."
J. Garfield'ın Kanıtı
James Garfield, Amerika Birleşik Devletleri'nin 20. Başkanıdır. Amerika Birleşik Devletleri'nin hükümdarı olarak tarihe damgasını vurmanın yanı sıra, yetenekli bir kendi kendini yetiştirdi.
Kariyerinin başında, bir halk okulunda sıradan bir öğretmendi, ancak kısa süre sonra yüksek öğretim kurumlarından birinin müdürü oldu. Kendini geliştirme arzusu ve Pisagor teoreminin yeni bir kanıt teorisi sunmasına izin verdi. Teorem ve çözümünün bir örneği aşağıdaki gibidir.
İlk önce bir kağıda iki dik üçgen çizmeniz gerekir, böylece birinin bacağı ikincisinin devamı olur. Bu üçgenlerin köşelerinin bir yamuk ile sonuçlanması için bağlanması gerekir.
Bildiğiniz gibi, bir yamuğun alanı, tabanlarının ve yüksekliğinin toplamının yarısının ürününe eşittir.
S=a+b/2 * (a+b)
Ortaya çıkan yamuğu üç üçgenden oluşan bir şekil olarak düşünürsek, alanı aşağıdaki gibi bulunabilir:
S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2
Şimdi iki orijinal ifadeyi eşitlememiz gerekiyor
2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2
c 2 \u003d 2 + 2'de
Pisagor teoremi ve nasıl kanıtlanacağı hakkında birden fazla kitap kitabı yazılabilir. Fakat bu bilginin uygulamaya konulamamasının bir anlamı var mı?
Pisagor teoreminin pratik uygulaması
Ne yazık ki, modern okul müfredatı bu teoremin sadece geometrik problemlerde kullanılmasını sağlar. Mezunlar, bilgi ve becerilerini pratikte nasıl uygulayacaklarını bilmeden kısa sürede okul duvarlarını terk edecekler.
Aslında herkes Pisagor teoremini günlük yaşamında kullanabilir. Ve sadece profesyonel faaliyetlerde değil, aynı zamanda sıradan ev işlerinde de. Pisagor teoreminin ve ispat yöntemlerinin son derece gerekli olabileceği birkaç durumu ele alalım.
Teorem ve astronomi bağlantısı
Yıldızların ve üçgenlerin kağıda nasıl bağlanabileceği gibi görünüyor. Aslında astronomi, Pisagor teoreminin yaygın olarak kullanıldığı bir bilim alanıdır.
Örneğin, uzayda bir ışık demetinin hareketini düşünün. Işığın her iki yönde de aynı hızda hareket ettiğini biliyoruz. Işık ışınının hareket ettiği yörüngeye AB diyoruz. ben. Işığın A noktasından B noktasına gitmesi için gereken sürenin yarısı, hadi diyelim t. Ve ışının hızı - c. Şekline dönüştü: c*t=l
Aynı ışına başka bir düzlemden, örneğin v hızında hareket eden bir uzay gemisinden bakarsanız, o zaman cisimlerin böyle bir gözlemi ile hızları değişecektir. Bu durumda durağan elemanlar bile ters yönde v hızıyla hareket edecektir.
Diyelim ki çizgi roman sağa doğru gidiyor. Ardından, ışının aralarında koştuğu A ve B noktaları sola doğru hareket edecektir. Ayrıca, ışın A noktasından B noktasına hareket ettiğinde, A noktasının hareket etmek için zamanı vardır ve buna göre ışık zaten yeni bir C noktasına ulaşacaktır. A noktasının kaydırdığı mesafenin yarısını bulmak için, çarpmanız gerekir. astarın hızı, kirişin (t ") seyahat süresinin yarısı kadardır.
Ve bu süre zarfında bir ışık huzmesinin ne kadar uzağa gidebileceğini bulmak için, yeni kayın s'nin yolunun yarısını belirlemeli ve aşağıdaki ifadeyi almalısınız:
C ve B ışık noktalarının yanı sıra uzay çizgisinin bir ikizkenar üçgenin köşeleri olduğunu hayal edersek, A noktasından çizgiye doğru olan doğru parçası onu iki dik üçgene böler. Dolayısıyla Pisagor teoremi sayesinde bir ışık huzmesinin kat edebileceği mesafeyi bulabilirsiniz.
Bu örnek, elbette, en başarılısı değil, çünkü sadece birkaçı pratikte deneyecek kadar şanslı olabilir. Bu nedenle, bu teoremin daha sıradan uygulamalarını ele alıyoruz.
Mobil sinyal iletim aralığı
Modern yaşam artık akıllı telefonlar olmadan hayal edilemez. Ancak aboneleri mobil iletişim yoluyla bağlayamazlarsa ne kadar işe yararlar?!
Mobil iletişimin kalitesi doğrudan mobil operatörün anteninin bulunduğu yüksekliğe bağlıdır. Bir telefonun bir mobil kuleden ne kadar uzakta sinyal alabileceğini hesaplamak için Pisagor teoremini uygulayabilirsiniz.
Diyelim ki, 200 kilometrelik bir yarıçap içinde bir sinyal yayabilmesi için sabit bir kulenin yaklaşık yüksekliğini bulmanız gerekiyor.
AB (kule yüksekliği) = x;
BC (sinyal iletim yarıçapı) = 200 km;
OS (dünyanın yarıçapı) = 6380 km;
OB=OA+ABOB=r+x
Pisagor teoremini uygulayarak, kulenin minimum yüksekliğinin 2,3 kilometre olması gerektiğini öğreniyoruz.
Günlük yaşamda Pisagor teoremi
İşin garibi, Pisagor teoremi, örneğin bir dolabın yüksekliğini belirlemek gibi günlük konularda bile faydalı olabilir. İlk bakışta, bu tür karmaşık hesaplamaları kullanmaya gerek yoktur, çünkü bir mezura ile basitçe ölçüm yapabilirsiniz. Ancak çoğu kişi, tüm ölçümler doğru bir şekilde alındığından, montaj işlemi sırasında neden bazı sorunların ortaya çıktığını şaşırır.
Gerçek şu ki, gardırop yatay konumda monte edilir ve ancak o zaman yükselir ve duvara monte edilir. Bu nedenle, yapının kaldırılması sürecinde kabinin yan duvarı, odanın hem yüksekliği hem de çapraz olarak serbestçe geçmelidir.
800 mm derinliğinde bir gardırop olduğunu varsayalım. Yerden tavana mesafe - 2600 mm. Deneyimli bir mobilya üreticisi, dolabın yüksekliğinin odanın yüksekliğinden 126 mm daha az olması gerektiğini söyleyecektir. Ama neden tam olarak 126 mm? Bir örneğe bakalım.
Kabinin ideal boyutları ile Pisagor teoreminin çalışmasını kontrol edelim:
AC \u003d √AB 2 + √BC 2
AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - her şey birleşir.
Diyelim ki kabinin yüksekliği 2474 mm değil 2505 mm. O zamanlar:
AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.
Bu nedenle bu dolap bu odaya kurulum için uygun değildir. Çünkü dikey konuma kaldırıldığında vücuduna zarar verilebilir.
Belki de, farklı bilim adamları tarafından Pisagor teoremini kanıtlamanın farklı yollarını düşündükten sonra, bunun doğru olmaktan daha fazlası olduğu sonucuna varabiliriz. Artık aldığınız bilgileri günlük yaşamınızda kullanabilir ve tüm hesaplamaların yalnızca yararlı değil, aynı zamanda doğru olacağından tamamen emin olabilirsiniz.
Pisagor, yaklaşık 2500 yıl önce (MÖ 564-473) yaşamış bir Yunan bilim adamıdır.
Kenarları olan bir dik üçgen verilsin a, b ve İle birlikte(Şek. 267).
Kenarlarına kareler yapalım. Bu karelerin alanları sırasıyla a 2 , b 2 ve İle birlikte 2. bunu kanıtlayalım İle birlikte 2 = bir 2 +b 2 .
Her birinin kenarını ABC dik üçgeninin bacaklarının toplamına eşit bir doğru parçası alarak iki MKOR ve M'K'O'R' karesi oluşturalım (Şek. 268, 269).
Bu karelerde Şekil 268 ve 269'da gösterilen yapıları tamamladıktan sonra, MKOR karesinin alanları olan iki kareye ayrıldığını göreceğiz. a 2 ve b 2 ve her biri ABC dik üçgenine eşit olan dört eşit dik üçgen. M'K'O'R' karesi bir dörtgen (Şekil 269'da gölgelendirilmiştir) ve her biri aynı zamanda ABC üçgenine eşit olan dört dik üçgene bölünmüştür. Gölgeli dörtgen bir karedir, çünkü kenarları eşittir (her biri ABC üçgeninin hipotenüsüne eşittir, yani. İle birlikte) ve açılar ∠1 + ∠2 = 90° düz çizgilerdir, bu nedenle ∠3 = 90°).
Böylece, bacaklar üzerine kurulan karelerin alanlarının toplamı (Şekil 268'de bu kareler gölgeli), dört eşit üçgenin alanları toplamı olmadan MKOR karesinin alanına eşittir ve hipotenüs üzerine inşa edilen kare (Şekil 269'da bu kare de gölgelenmiştir) alanlarının toplamı olmaksızın M'K'O'R' karesinin alanına eşittir, MKOR karesine eşittir. dört benzer üçgen. Dolayısıyla bir dik üçgenin hipotenüsü üzerine kurulan karenin alanı, ayaklar üzerine kurulan karelerin alanlarının toplamına eşittir.
formülü alıyoruz İle birlikte 2 = bir 2 +b 2, nerede İle birlikte- hipotenüs, a ve b- bir dik üçgenin bacakları.
Pisagor teoremi şu şekilde özetlenebilir:
Bir dik üçgenin hipotenüsünün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir.
formülden İle birlikte 2 = bir 2 +b 2 aşağıdaki formülleri alabilirsiniz:
a 2 = İle birlikte 2 - b 2 ;
b2 = İle birlikte 2 - a 2 .
Bu formüller, iki kenarı verilen bir dik üçgenin bilinmeyen tarafını bulmak için kullanılabilir.
Örneğin:
a) bacaklar verilirse a= 4 cm, b\u003d 3 cm, o zaman hipotenüsü bulabilirsiniz ( İle birlikte):
İle birlikte 2 = bir 2 +b 2, yani İle birlikte 2 = 4 2 + 3 2 ; 2 = 25 ile, nereden İle birlikte= √25 = 5(cm);
b) hipotenüs verilirse İle birlikte= 17 cm ve bacak a= 8 cm, sonra başka bir bacak bulabilirsiniz ( b):
b 2 = İle birlikte 2 - a 2, yani b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, nereden b= √225 = 15 (cm).
Sonuç: Eğer iki dik üçgen ABC ve A 1 B 1 C 1 hipotenüs ise İle birlikte ve İle birlikte 1 eşittir ve bacak b ABC üçgeni uzun bacaktan büyüktür b 1 üçgen A 1 B 1 C 1,
sonra bacak a ABC üçgeni ayaktan küçüktür a 1 üçgen A 1 B 1 C 1 .
Gerçekten de, Pisagor teoremine dayanarak şunu elde ederiz:
a 2 = İle birlikte 2 - b 2 ,
a 1 2 = İle birlikte 1 2 - b 1 2
Yazılı formüllerde, eksiler eşittir ve birinci formüldeki çıkarılan, ikinci formüldeki çıkarılandan daha büyüktür, dolayısıyla birinci fark ikinciden küçüktür,
yani a 2 ve 1 2 . Neresi a bir 1.
Pisagor teoremi sadece dik üçgenler için geçerli olduğundan, size verilen üçgenin bir dik üçgen olduğundan emin olun. Dik üçgenlerde, üç açıdan biri her zaman 90 derecedir.
- Bir dik üçgendeki dik açı, dik olmayan açıları temsil eden bir eğri yerine bir kare ile gösterilir.
Üçgenin kenarlarını işaretleyin. Bacakları "a" ve "b" (bacaklar dik açılarda kesişen kenarlardır) ve hipotenüsü "c" olarak belirleyin (hipotenüs, dik açının karşısında yer alan bir dik üçgenin en büyük kenarıdır).
Üçgenin hangi tarafını bulmak istediğinizi belirleyin. Pisagor teoremi, bir dik üçgenin herhangi bir tarafını bulmanızı sağlar (eğer diğer iki taraf biliniyorsa). Hangi tarafın (a, b, c) bulunması gerektiğini belirleyin.
- Örneğin, 5'e eşit bir hipotenüs ve 3'e eşit bir bacak verildi. Bu durumda ikinci bacağı bulmanız gerekiyor. Bu örneğe daha sonra döneceğiz.
- Diğer iki kenar bilinmiyorsa, Pisagor teoremini uygulayabilmek için bilinmeyen kenarlardan birinin uzunluğunun bulunması gerekir. Bunu yapmak için temel trigonometrik işlevleri kullanın (eğer size dik olmayan açılardan birinin değeri verilirse).
a 2 + b 2 \u003d c 2 formülünde size verilen değerleri (veya sizin tarafınızdan bulunan değerleri) değiştirin. a ve b'nin bacaklar ve c'nin hipotenüs olduğunu unutmayın.
- Örneğimizde şunu yazın: 3² + b² = 5².
Bilinen her tarafı kareleyin. Veya üsleri bırakın - sayıları daha sonra kare yapabilirsiniz.
- Örneğimizde şunu yazın: 9 + b² = 25.
Denklemin bir tarafında bilinmeyen tarafı izole edin. Bunu yapmak için bilinen değerleri denklemin diğer tarafına aktarın. Hipotenüsü bulursanız, o zaman Pisagor teoreminde denklemin bir tarafında zaten izole edilmiştir (bu nedenle hiçbir şey yapılması gerekmez).
- Örneğimizde, bilinmeyen b²'yi izole etmek için 9'u denklemin sağ tarafına getirin. b² = 16 elde edersiniz.
Denklemin her iki tarafının karekökünü alın. Bu aşamada, denklemin bir tarafında bilinmeyen (kare) ve diğer tarafında bir kesme (sayı) vardır.
- Örneğimizde, b² = 16. Denklemin her iki tarafının karekökünü alın ve b = 4 olsun. Yani ikinci bacak 4 .
Çok sayıda pratik durumda uygulanabileceği için Pisagor teoremini günlük yaşamda kullanın. Bunu yapmak için, günlük yaşamda dik üçgenleri tanımayı öğrenin - iki nesnenin (veya çizgilerin) dik açılarda kesiştiği ve üçüncü bir nesnenin (veya çizginin) ilk iki nesnenin (veya çizginin) üstlerini (çapraz olarak) birleştirdiği herhangi bir durumda. çizgiler), bilinmeyen tarafı bulmak için Pisagor teoremini kullanabilirsiniz (eğer diğer iki taraf biliniyorsa).
- Örnek: Bir binaya yaslanmış bir merdiven verildi. Merdivenlerin alt kısmı duvarın tabanından 5 metredir. Merdivenlerin üstü yerden 20 metre yüksekliktedir (duvardan yukarı). Merdivenin uzunluğu nedir?
- "Duvarın tabanından 5 metre", a = 5 olduğu anlamına gelir; "yerden 20 metredir", b = 20 anlamına gelir (yani, binanın duvarı ve Dünya'nın yüzeyi dik açılarda kesiştiği için size bir dik üçgenin iki ayağı verilir). Merdivenin uzunluğu, bilinmeyen hipotenüsün uzunluğudur.
- a² + b² = c²
- (5)² + (20)² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- c = √425
- c = 20.6. Böylece, merdivenlerin yaklaşık uzunluğu 20,6 metre.
- "Duvarın tabanından 5 metre", a = 5 olduğu anlamına gelir; "yerden 20 metredir", b = 20 anlamına gelir (yani, binanın duvarı ve Dünya'nın yüzeyi dik açılarda kesiştiği için size bir dik üçgenin iki ayağı verilir). Merdivenin uzunluğu, bilinmeyen hipotenüsün uzunluğudur.
