Rovnoramenné je taký trojuholník, ktorý má rovnakú dĺžku svojich dvoch strán.
Pri riešení problémov k téme "Rovnoramenný trojuholník" je potrebné použiť nasledujúce známe vlastnosti:
1.
Uhly oproti rovnakým stranám sú rovnaké.
2.
Stredy, stredy a výšky nakreslené z rovnakých uhlov sa navzájom rovnajú.
3.
Stred, stred a výška nakreslené k základni rovnoramenného trojuholníka sa navzájom zhodujú.
4.
Stred vpísanej kružnice a stred opísanej kružnice ležia vo výške, a teda na strednej osi a stredovej osi k základni.
5.
Uhly, ktoré sú v rovnoramennom trojuholníku rovnaké, sú vždy ostré.
Trojuholník je rovnoramenný, ak má nasledovné znamenia:
1.
Dva uhly trojuholníka sú rovnaké.
2.
Výška je rovnaká ako medián.
3.
Stred je rovnaký ako stred.
4.
Výška sa zhoduje s osou.
5.
Dve výšky trojuholníka sú rovnaké.
6.
Dve osi trojuholníka sú rovnaké.
7.
Dva stredy trojuholníka sú rovnaké.
Zvážte niekoľko úloh na danú tému "Rovnoramenný trojuholník" a poskytnúť podrobné riešenie.
Úloha 1.
V rovnoramennom trojuholníku je výška nakreslená k základni 8 a základňa súvisí so stranou ako 6: 5. Zistite, ako ďaleko od vrcholu trojuholníka je priesečník jeho priesečníkov.
rozhodnutie.
Nech je daný rovnoramenný trojuholník ABC (obr. 1).
1) Pretože AC: BC = 6: 5, potom AC = 6x a BC = 5x. BH je výška nakreslená k základni AC trojuholníka ABC.
Pretože bod H je stredom AC (vlastnosťou rovnoramenného trojuholníka), potom HC \u003d 1/2 AC \u003d 1/2 6x \u003d 3x.
BC 2 \u003d VN 2 + HC 2;
(5x) 2 \u003d 8 2 + (3x) 2;
x = 2, teda
AC \u003d 6x \u003d 6 2 \u003d 12 a
BC \u003d 5x \u003d 5 2 \u003d 10.
3) Keďže priesečník priesečníkov trojuholníka je stredom kružnice, ktorá je do neho vpísaná, potom
OH = r. Polomer kružnice vpísanej do trojuholníka ABC nájdeme podľa vzorca
4) S ABC = 1/2 (AC BH); S ABC = 1/2 (128) = 48;
p = 1/2 (AB + BC + AC); p = 1/2 (10 + 10 + 12) = 16, potom OH = r = 48/16 = 3.
Preto VO \u003d VN - OH; VO \u003d 8 – 3 \u003d 5.
odpoveď: 5.
Úloha 2.
Osa AD je nakreslená v rovnoramennom trojuholníku ABC. Plochy trojuholníkov ABD a ADC sa rovnajú 10 a 12. Nájdite plochu štvorca postaveného vo výške tohto trojuholníka prikresleného k základni AC trikrát.
rozhodnutie.
Uvažujme trojuholník ABC - rovnoramenný, AD - os uhla A (obr. 2).
1) Napíšme obsahy trojuholníkov BAD a DAC:
S BAD = 1/2 AB AD sin α; S DAC = 1/2 AC AD sin α.
2) Nájdite pomer plôch:
S BAD /S DAC = (1/2 AB AD sin α) / (1/2 AC AD sin α) = AB/AC.
Pretože S BAD = 10, S DAC = 12, potom 10/12 = AB/AC;
AB/AC = 5/6, potom nech AB = 5x a AC = 6x.
AN \u003d 1/2 AC \u003d 1/2 6x \u003d 3x.
3) Z trojuholníka ABN - obdĺžnikový podľa Pytagorovej vety AB 2 \u003d AN 2 + VN 2;
25x 2 \u003d VN 2 + 9x 2;
4) SA BC = 1/2 AC HV; S A B C \u003d 1/2 6x 4x \u003d 12x 2.
Od S A BC \u003d S BAD + S DAC \u003d 10 + 12 \u003d 22, potom 22 \u003d 12x 2;
x 2 \u003d 11/6; VN 2 \u003d 16x 2 \u003d 16 11/6 \u003d 1/3 8 11 \u003d 88/3.
5) Plocha štvorca sa rovná VN 2 = 88/3; 3 88/3 = 88.
odpoveď: 88.
Úloha 3.
V rovnoramennom trojuholníku je základňa 4 a strana 8. Nájdite druhú mocninu výšky zníženej na stranu.
rozhodnutie.
V trojuholníku ABC - rovnoramenný BC \u003d 8, AC \u003d 4 (obr. 3).
1) ВН - výška nakreslená k základni AC trojuholníka ABC.
Pretože bod H je stredom AC (vlastnosťou rovnoramenného trojuholníka), potom HC \u003d 1/2 AC \u003d 1/2 4 \u003d 2.
2) Z trojuholníka VNS - pravouhlého podľa Pytagorovej vety VS 2 \u003d VN 2 + NS 2;
64 = HH2+4;
3) S ABC \u003d 1/2 (AC BH), ako aj S ABC \u003d 1/2 (AM BC), potom prirovnáme správne časti vzorcov, dostaneme
1/2 AC BH = 1/2 AM BC;
AM = (AC BH)/BC;
AM = (√60 4)/8 = (2√15 4)/8 = √15.
odpoveď: 15.
Úloha 4.
V rovnoramennom trojuholníku sa základňa a výška na ňu spustená rovnajú 16. Nájdite polomer kružnice opísanej tomuto trojuholníku.
rozhodnutie.
V trojuholníku ABC - rovnoramenná základňa AC \u003d 16, BH \u003d 16 - výška pritiahnutá k základni AC (obr. 4).
1) AN \u003d HC \u003d 8 (vlastnosťou rovnoramenného trojuholníka).
2) Z trojuholníka VNS - pravouhlého podľa Pytagorovej vety
BC 2 \u003d VN 2 + HC 2;
BC 2 \u003d 8 2 + 16 2 \u003d (8 2) 2 + 8 2 \u003d 8 2 4 + 8 2 \u003d 8 2 5;
3) Uvažujme trojuholník ABC: podľa sínusovej vety 2R = AB/sin C, kde R je polomer kružnice opísanej okolo trojuholníka ABC.
sin C \u003d BH / BC (z trojuholníka VNS podľa definície sínusu).
sin C = 16/(8√5) = 2/√5, potom 2R = 8√5/(2/√5);
2R = (8√5 √5)/2; R = 10.
odpoveď: 10.
Úloha 5.
Dĺžka výšky nakreslenej k základni rovnoramenného trojuholníka je 36 a polomer vpísanej kružnice je 10. Nájdite plochu trojuholníka.
rozhodnutie.
Nech je daný rovnoramenný trojuholník ABC.
1) Keďže stred kružnice vpísanej do trojuholníka je priesečníkom jej priesečníkov, potom O ϵ VN a AO je stred uhla A a prúd je OH \u003d r \u003d 10 (obr. 5).
2) VO \u003d VN - OH; VO \u003d 36 – 10 \u003d 26.
3) Uvažujme trojuholník ABH. Podľa vety o uhle trojuholníka
AB/AN = BO/OH;
AB/AN = 26/10 = 13/5, potom nech AB = 13x a AH = 5x.
Podľa Pytagorovej vety AB 2 \u003d AN 2 + VN 2;
(13x) 2 \u003d 36 2 + (5x) 2;
169x 2 \u003d 25x 2 + 36 2;
144x 2 \u003d (12 3) 2;
144 x 2 = 144 9;
x \u003d 3, potom AC \u003d 2 AN \u003d 10x \u003d 10 3 \u003d 30.
4) S ABC = 1/2 (AC BH); S ABC = 1/2 (36 30) = 540;
odpoveď: 540.
Úloha 6.
V rovnoramennom trojuholníku sa dve strany rovnajú 5 a 20. Nájdite os uhla na základni trojuholníka.
rozhodnutie.
1) Predpokladajme, že strany trojuholníka sú 5 a základňa je 20.
Potom 5 + 5< 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (obr. 6).
2) Nech LC = x, potom BL = 20 – x. Podľa vety o uhle trojuholníka
AB/AC = BL/LC;
20/5 \u003d (20 - x) / x,
potom 4x \u003d 20 - x;
LC = 4; BL = 20 - 4 = 16.
3) Použime vzorec trojuholníkového uhla:
AL 2 \u003d AB AC - BL LC,
potom AL2 = 205 - 416 = 36;
odpoveď: 6.
Máte nejaké otázky? Neviete, ako riešiť problémy s geometriou?
Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!
stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.
VIII . Skupiny úloh na zostavenie.
Riešenie skupín úloh pomocou pomocného trojuholníka.
Podstatou metódy je konštrukcia pomocných trojuholníkov a využitie ich vlastností a novozískaných prvkov na konečné riešenie úlohy.
Konštrukčná analýza pozostáva z nasledujúcich krokov:
V analýze hľadajte pomocný trojuholník.
Ak sa objavia nové prvky, pomocou ktorých je už možné zostrojiť trojuholník ABC, tak je cieľ splnený.
Ak sa tak nestane, možno sa dá zostrojiť ešte jeden pomocný trojuholník, ktorý dá chýbajúce prvky.
Poďme analyzovať podstatu metódy na príkladoch.
Úloha 1. Zostrojte rovnoramenný trojuholník ABC ( b= c) zapnuté a, h b .
Hľadáme pomocný trojuholník. Je zrejmé, že je vhodné považovať trojuholník CDB za taký trojuholník.
To poskytne uhol C, teda uhol ABC. Existuje teda a, uhol B, uhol C, takže môžete zostaviť trojuholník ABC. Schematicky to napíšeme takto:
(a, h b) → Δ CDB →< C.
(a,< B, < C) → Δ ABC.
Úlohy na samostatné riešenie:
Použitím uvažovania podobných tým, ktoré sú uvedené, odporúčame zostrojiť rovnoramenný trojuholník (b=c) podľa nasledujúcich údajov:
a)< А, h b ;
b)< В, h с;
G)< В, h b ;
e)< С, h b .
Úloha 2. Zostrojte trojuholník pozdĺž polomeru r vpísanej kružnice, uhla A a uhla B.
Nech som stredom kruhu vpísaného do trojuholníka ABC.
(r; ½< А) → Δ AID → |AD|;
(r; ½< В) → Δ ВID → |ВD|;
(|AD| + |ВD| = |AB|) → (s,< А, < В) → Δ ABC.
Úlohy na samostatné riešenie:
Zostavte trojuholník pomocou nasledujúcich prvkov:
a) a, hc, hb; b) a, ha, hb; c) a, ma, mb;
G)< A, l A , b; д) R, h а, m a ; е) a, R, h b ;
g) b, h b, mb (kde m sú stredy, l sú stredy, h sú výšky).
Sám za seba:
Riešenie skupín problémov na základe hlavného.
Hlavná úloha:
zostrojte kosoštvorec ABCD pozdĺž uhlopriečky BD a výšky BM. (∆BHD →< BDH → равнобедренный Δ BDA → ABCD);
postavte lichobežník na štyroch stranách.
Zostrojte trojuholník, ktorý má dve strany a uhol medzi nimi.
Hlavná úloha:
Zostrojte pravouhlý trojuholník na dvoch nohách.
Zostrojte kosoštvorec pozdĺž dvoch uhlopriečok.
Zostrojte obdĺžnik s dvoma nerovnakými stranami.
Zostrojte rovnobežník s dvomi uhlopriečkami a uhlom medzi nimi.
Zostrojte obdĺžnik pozdĺž uhlopriečok a uhla medzi nimi.
Zostrojte trojuholník so stranou a dvoma susednými uhlami.
Úlohy na samostatné riešenie:
Hlavná úloha:
Zostrojte rovnoramenný trojuholník so základňou a uzavretým uhlom.
Zostrojte pravouhlý trojuholník s nohou a priľahlým ostrým uhlom.
Zostrojte kosoštvorec, ktorému je daný uhol a uhlopriečka prechádzajúca vrcholom tohto uhla.
Zostrojte rovnoramenný trojuholník podľa výšky a uhla vo vrchole.
Zostrojte štvorec pozdĺž danej uhlopriečky.
Zostrojte pravouhlý trojuholník s preponou a ostrým uhlom.
Úlohy na samostatné riešenie:
Hlavná úloha:
Zostrojte rovnoramenný trojuholník pozdĺž strany a uhla na základni.
Zostrojte rovnoramenný trojuholník na strane a uhol vo vrchole.
Zostrojte trojuholník s tromi stranami.
Úlohy na samostatné riešenie:
Hlavná úloha:
Zostrojte rovnoramenný trojuholník so základňou a stranou.
Zostrojte kosoštvorec pozdĺž strany a uhlopriečky.
Zostrojte rovnobežník s dvomi nerovnakými stranami a uhlopriečkou.
Zostrojte rovnobežník so stranou a dvomi uhlopriečkami.
Zostrojte pravouhlý trojuholník s preponou a preponou.
Úlohy na samostatné riešenie:
Zostrojte rovnoramenný trojuholník na výšku a na stranu.
Zostrojte rovnoramenný trojuholník so základňou a kolmicou spadnutou z konca základne na stranu.
Zostrojte rovnobežník podľa základne, výšky a uhlopriečky.
Zostrojte kosoštvorec na výšku a uhlopriečku.
Zostrojte rovnoramenný trojuholník s bočnou stranou a výškou spustenou z nej.
Zostrojte trojuholník podľa jeho základne, výšky a strany.
Literatúra:
B. I. Argunov, M. B. Balk „Geometrické konštrukcie v rovine“, M, „Osvietenie“, 1955
Glazer G.I. „Dejiny matematiky v škole“ IV - VI trieda., M, „Osvietenie“, 1981
I. Goldenblant „Skúsenosti s riešením geometrických konštrukčných úloh“ „Matematika v škole“ č. 3, 1946
I. A. Kushnir „O jednej metóde riešenia konštrukčných úloh“ „Matematika v škole“ č. 2, 1984
A. I. Mostovoy „Aplikujte rôzne metódy riešenia konštrukčných problémov“ „Matematika v škole“ č. 5, 1983
Učebnica A. A. Popova „Matematika“. "Čeljabinská štátna pedagogická univerzita", 2005
E. M. Selezneva, M. N. Serebryakova „Geometrické konštrukcie v stupňoch I – V stredná škola„Metodický vývoj. Sverdlovsk, 1974
Ako postaviť rovnoramenný trojuholník? To sa dá ľahko urobiť pomocou pravítka, ceruzky a notebookových buniek.
Zo základne začneme stavať rovnoramenný trojuholník. Aby bol výkres párny, počet buniek na základni musí byť párne číslo.
Segment - základňu trojuholníka - rozdelíme na polovicu.
Vrchol trojuholníka je možné zvoliť v ľubovoľnej výške od základne, vždy však presne nad stredom.
Ako zostrojiť ostrý rovnoramenný trojuholník?
Uhly v základni rovnoramenného trojuholníka môžu byť iba ostré. Aby sa rovnoramenný trojuholník ukázal ako ostrý, musí byť ostrý aj uhol vo vrchole.
Ak to chcete urobiť, vyberte hornú časť trojuholníka vyššie, ďaleko od základne.
Čím vyšší je vrchol, tým menší je uhol na vrchole. Zároveň sa zodpovedajúcim spôsobom zväčšia uhly na základni.
Ako zostrojiť tupý rovnoramenný trojuholník?
Keď sa vrchol rovnoramenného trojuholníka približuje k základni, miera uhla na vrchole sa zvyšuje.
Aby sme teda postavili rovnoramenný tupouhlý trojuholník, zvolíme si vrchol nižšie.
Ako zostrojiť rovnoramenný pravouhlý trojuholník?
Ak chcete postaviť rovnoramenný pravouhlý trojuholník, musíte vybrať vrchol vo vzdialenosti rovnajúcej sa polovici základne (je to kvôli vlastnostiam rovnoramenného pravouhlého trojuholníka).
Napríklad, ak je dĺžka základne 6 buniek, potom umiestnime vrchol trojuholníka vo výške 3 buniek nad stredom základne. Poznámka: v tomto prípade je každá bunka v rohoch základne rozdelená diagonálne.
Konštrukciu rovnoramenného pravouhlého trojuholníka možno začať zhora.
Vyberieme vrch, z neho v pravom uhle odložíme rovnaké segmenty hore a doprava. Toto sú strany trojuholníka.
Spojte ich a získajte rovnoramenný pravouhlý trojuholník.
Konštrukcii rovnoramenného trojuholníka pomocou kružidla a pravítka bez delení sa budeme venovať v inej téme.
