Power funktion, dess egenskaper och graf lektion. Lektion ”Kraftfunktioner, deras egenskaper och grafer

Potensfunktion, dess egenskaper och graf Demonstrationsmaterial Lektion-föreläsning Funktionsbegrepp. Funktionsegenskaper. Potensfunktion, dess egenskaper och graf. Betyg 10. Alla rättigheter förbehålls. Copyright med Copyright med

Lektionens framsteg: Upprepning. Fungera. Funktioners egenskaper. Att lära sig nytt material. 1. Definition av en potensfunktion.Definition av en potensfunktion. 2. Egenskaper och grafer för effektfunktioner Egenskaper och grafer för effektfunktioner. Konsolidering av det studerade materialet. Verbal räkning. Verbal räkning. Lektionssammanfattning. Hemuppgift Hemuppgift.

Definitionsdomän och värdedomän för en funktion Alla värden för den oberoende variabeln bildar definitionsdomänen för funktionen x y=f(x) f Definitionsdomän för funktionen Värdedomän för funktionen Alla värden som den beroende variabeln tar bildar domänen av värden för funktionen Funktion. Funktionsegenskaper

Graf för en funktion Låt en funktion ges där xY y x.75 3 0.6 4 0.5 Grafen för en funktion är mängden av alla punkter i koordinatplanet, vars abskiss är lika med värdena på argumentet, och ordinaterna är lika med motsvarande värden för funktionen. Fungera. Funktionsegenskaper

Y x Definitionsdomän och värdeområde för funktionen 4 y=f(x) Definitionsdomän för funktionen: Funktionsvärdeområde: Funktion. Funktionsegenskaper

Jämn funktion y x y=f(x) Grafen för en jämn funktion är symmetrisk med avseende på op-förstärkarens axel. Funktionen y=f(x) kallas även om f(-x) = f(x) för valfritt x från definitionsdomänen för funktionen Funktion. Funktionsegenskaper

Udda funktion y x y=f(x) Grafen för en udda funktion är symmetrisk med avseende på origo O(0;0) Funktionen y=f(x) kallas udda om f(-x) = -f(x) för valfritt x från regionfunktionsdefinitionerna Funktion. Funktionsegenskaper

Definition av en potensfunktion En funktion där p är ett givet reellt tal kallas en potensfunktion. p y=x p P=x y 0 Lektionens framsteg

Potensfunktion x y 1. Definitionsdomänen och värdeintervallet för potensfunktioner av formen, där n är ett naturligt tal, är alla reella tal. 2. Dessa funktioner är udda. Deras graf är symmetrisk om ursprunget. Egenskaper och grafer för potensfunktioner

Potensfunktioner med en rationell positiv exponent. Definitionsdomänen är alla positiva tal och talet 0. Värdeintervallet för funktioner med en sådan exponent är också alla positiva tal och talet 0. Dessa funktioner är varken jämna eller udda . y x Egenskaper och grafer för potensfunktioner

Potensfunktion med rationell negativ exponent. Definitionsdomänen och värdeintervallet för sådana funktioner är alla positiva tal. Funktionerna är varken jämna eller udda. Sådana funktioner minskar genom hela deras definitionsdomän. y x Egenskaper och grafer för effektfunktioner Lektionens framsteg

Lektionens mål:

Pedagogisk:

introducera eleverna för maktfunktioner och deras egenskaper,
lära ut färdigheten att använda funktioners egenskaper för att lösa ekvationer grafiskt och jämföra tal.

Utvecklandet:

utveckling av induktivt och deduktivt tänkande.

Pedagogisk:

skapa aktiv inlärningsförmåga.

Arbetsformer i lektionen:

kollektiv,
oral,
skriven.

Utrustning:

multimediaprojektor,
dator,
presentation ,
disk ”Nya möjligheter att behärska matematikkursen 5-11”.

Lektionens struktur:

Att organisera tid
Göra läxor
Kollar läxor
Att lära sig nytt material
Tillämpning av det studerade materialet
Självständigt arbete (med testning i klassen)
Sammanfattning av lektionen

Under lektionerna

1.Staging huset. uppgifter

Hemma: p22 nr 499, 501 508 (lärobok av Yu.N. Makarychev)

2. Kontrollerar huset. uppgifter med hjälp av presentation(Bilaga 1)

(eleverna ombads att bygga grafer och lista egenskaperna för följande funktioner: y = x, y = x 2, y = 1/x, y = vx, y = x 3

3. Studera nytt material.

En funktion av formen y=x k, där k är ett heltal kallas en potensfunktion. De funktioner som övervägdes hemma är kraftfunktioner.

y = x, k=1 y = 1/x, k=-1

y = x 2, k=2 y = vx, k=1/2

y = x 3, k = 3

Vår uppgift är att konstruera grafer och lista egenskaperna hos potensfunktioner för ett heltal k.

Med hjälp av en skiva observerar eleverna hur grafen för en funktion förändras beroende på k, och drar slutsatser som de skriver ner i en anteckningsbok. (I det virtuella laboratoriet på disken kan du bygga en graf av vilken funktion som helst, inklusive en effektfunktion. Om du ändrar indikatorns värden ändrar grafen dess utseende, så slutsatserna är uppenbara).

1) y=x 2n, n €N graf för parabelfunktionen

(Bild 1)

2)y=x 2n+ 1 graf av den kubiska parabelfunktionen

(Figur 2)

3)y = 1/ x 2n+ 1 graf för hyperbelfunktionen

(Figur 3)

4)y = 1/ x 2n grafen för denna funktion är inte bekant för eleverna, vi bygger den i en anteckningsbok och listar egenskaperna för denna funktion.

(Figur 4)

a) O.O.F. x-alla utom 0

b) E(y): y>0

c) N.F. Nej

d) till och med

e) ökar med x< 0, а убывает при х > 0

f) det finns inget max- och minivärde

4. Överväg tillämpningen av funktioners egenskaper för att lösa problem.

1) Lös ekvationen 1/x 2 =3x-2

Eleverna föreslår olika metoder och kommer fram till att denna ekvation kan lösas grafiskt. Grafen för funktionen y = 1/x 2 är redan konstruerad, allt som återstår är att konstruera grafen för funktionen y = 3x-2 i samma koordinatplan.

(Figur 5)

Svar: x=1.

2) y = x 2n, jämför:

f(-0,2) och f(-3)

3) y=x 2n+ 1, jämför:

f(-0,2) och f(-3)

(uppgiften genomförs tillsammans med läraren)

Under lösningen vänder vi oss hela tiden till grafen för den önskade funktionen, fastställer vilket intervall x tillhör, hur funktionen beter sig på detta intervall

5. Självständigt arbete.

Uppgift på bilden.

Självtest

Den sista uppgiften föreslås för mer avancerade elever.

6. Sammanfattning av lektionen.

Låt oss sammanfatta det material som tas upp i lektionen. Vi fokuserar på att potensfunktionens graf och egenskaper beror på exponenten.

Lektionens ämne: "Kraftfunktioner, deras egenskaper och grafer"

Lektionens mål:

Pedagogisk:

Skapa förutsättningar för bildandet av kunskap om egenskaperna och egenskaperna hos grafer av potensfunktioner y = x r för olika värden på r.

Pedagogisk:

Att främja utvecklingen av elevernas informationsförmåga: förmågan att arbeta med bildtext, förmågan att skriva en stödjande sammanfattning.

Att främja utvecklingen av kreativa och mentala aktiviteter hos elever.

Fortsätt att utveckla färdigheterna för att tydligt och tydligt uttrycka dina tankar, analysera och dra slutsatser.

Pedagogisk:

Fortsätta utvecklingen av en kultur av matematiskt tal.

Bidra till bildandet av kommunikativ kompetens.

Lektionstyp: kombinerad

Former för att organisera utbildningsaktiviteter: frontal, individuell.

Metoder: förklarande-illustrerande, delvis sökande.

Utbildningsmedel:

dator, mediaprojektor;

svarta tavlan;

bildpresentation (PowerPoint), (bilaga 1);

lärobok "Algebra och analysens början", red. A.G. Mordkovich;

arbetsbok, ritverktyg;

stödjande sammanfattning av ämnet (Word-dokument), (bilaga 3);

Som ett resultat av att studera ämnet bör eleverna

Känna till: begreppet maktfunktion,

egenskaper hos en potensfunktion beroende på exponenten.

Kunna: namnge egenskaperna för en potensfunktion beroende på exponenten,

bygga grafer (skisser av grafer) av potensfunktioner med rationell

indikator

utföra enkla graftransformationer,

kunna skriva en stödjande sammanfattning,

kunna tydligt och tydligt uttrycka dina tankar, analysera och dra slutsatser.

Under lektionerna: Vi fortsätter att arbeta med att utveckla kompetensen att konstruera grafer över potensfunktioner. Ett antal sådana funktioner är bekanta för oss från algebrakursen för årskurs 7-9, det är funktioner med naturlig exponent och potensfunktioner med negativ heltalsexponent. I förra lektionen skrev vi med dig ner teorin om potensfunktioner med bråkexponenter

y = x p, där p är ett givet reellt tal

Egenskaperna och grafen för en potensfunktion beror på egenskaperna hos potensen med en reell exponent, och i synnerhet på värdena av x och p för vilka potensen x p är meningsfull.

Generalisering av egenskaper hos maktfunktioner. Arbeta med en stödjande disposition.

1. Arbeta i styrelsen: konstruera grafer över funktioner. y=x 4, y=x 7, y=x -2, y=x -5, y=x 2/5, y=x 1,3, y=x -1/3

7 personer arbetar i styrelsen, kvar på plats, förenade i grupper för ytterligare verifiering

Vi listar fastigheterna enligt planen.

Domän.

Värdeintervall (uppsättning värden).

Jämn, udda funktion.

Ökar, minskar.

I slutet av arbetet, kontrollera av eleverna som stannade på plats (bilder med grafer över funktioner visas på skärmen).

2. "matematisk lotto" Färdiga funktionsdiagram visas på skärmen, uppsättningar av formler skrivs på tavlan och relationer måste upprättas.

Ömsesidig kontroll:

Rätt svar: nr 1 578 643 192

3 Muntligt arbete

1. Använd graferna för dessa funktioner och hitta intervallen i vilka grafen för funktionen y = x π ligger ovanför (under) grafen för funktionen y = x.

2. Använd graferna för dessa funktioner och hitta intervallen i vilka grafen för funktionen y = x sin 45 ligger ovanför (under) grafen för funktionen y = x.

3. Använd figuren för att hitta intervallen i vilka grafen för funktionen y = x 1- π ligger ovanför (under) grafen för funktionen y = x.

Konvertera grafer

I många fall kan funktionsgrafer konstrueras genom vissa transformationer av redan kända funktionsgrafer i enklare form. Låt oss komma ihåg några av dem.

Överväg att omvandla grafen för en potensfunktion verbalt och konstruera sedan två grafer.

Självständigt arbete

Definiera en potensfunktion själv, rita den, beskriv dess egenskaper

I den senaste lektionen upprepade och generaliserade vi vår kunskap om ämnet "Begreppet en exponent."

Låt oss komma ihåg att om - pe dividerat med ku är ett vanligt bråktal, och ku inte är lika med ett och a är större än eller lika med noll, så menar vi med uttrycket a i styrkan av pe dividerat med ku roten till graden ku av a till styrkan av pe.

Till exempel kan siffran en punkt tre till potensen tre sjundedelar skrivas som den sjunde roten av en punkt tre i kub.

Funktioner av formen, där k är valfritt reellt tal, brukar kallas potensfunktioner.

Idag kommer vi att överväga fallet där k är en rationell (fraktionell) exponent.

I algebrakursen för årskurs 7-9 studerade du egenskaper och grafer för potensfunktioner med naturlig exponent. Funktion (k-valfritt reellt tal), effektfunktion.

För k=n (n∈N), -potensfunktion med naturlig exponent.

Låt oss komma ihåg graferna för sådana funktioner.

Grafen för funktionen eller y=x (y är lika med x i första potens eller y är lika med x) är en rät linje.

Grafen för funktionen (E är lika med x i kvadrat) är en parabel.

Grafen för funktionen (E är lika med X i kub) är en kubisk parabel.

Grafen för en potensfunktion (y är lika med x till potensen av ka) i fallet med jämn k liknar en parabel. Figuren visar en graf över en potensfunktion med k lika med sex.

Grafen för en potensfunktion (y är lika med x till potensen av ka) i fallet med udda k liknar en kubisk parabel. Figuren visar en graf över en potensfunktion med k lika med sju.

Om potensfunktionens exponent har ett negativt heltal så får vi en funktion av formen: y är lika med x i potens minus en eller y är lika med ett dividerat med x i n:te potens.

Om n är ett jämnt tal, ser grafen ut som den som visas i figuren.

Var visas funktionen y=x-2 eller y=?

Om n är ett udda tal, så ser grafen ut så här.

Ritningen visar funktionen y=x-3, eller y=

Om exponenten för en potensfunktion är lika med noll, kommer funktionen att ta formen: Grafen för en sådan funktion är en rät linje som går genom ordinatan ett och är parallell med abskissaxeln.

För k=-n (n∈Z), -potensfunktion med negativ heltalsexponent.

Betrakta en potensfunktion (E är lika med x till potensen k), där k är ett negativt eller positivt bråktal.

Som ett exempel, låt oss bygga en graf av en potensfunktion (E är lika med x potensen av två komma tre).

Domänen för dess definition (det vill säga alla värden som accepteras av x) är en stråle med början vid nollpunkten.

I denna definitionsdomän kommer vi att konstruera grafer av funktioner (y lika med x i kvadrat) - detta är en gren av en parabel, markerad i ljusgrönt, och (y lika med x i kub) - en gren av en kubisk parabel, markerad i mörkgrönt.

Det är lätt att verifiera att på intervallet (0;1) är den kubiska parabeln belägen under parabeln och på den öppna strålen (1;+) - ovanför.

Observera att graferna för funktionerna (y är lika med x i kvadrat), (y är lika med x i potensen av två komma tre) och (y är lika med x i kuber) passerar genom punkterna (0;0) och (1;1).

För andra värden av argumentet x, är grafen för funktionen (y är lika med x i potensen av två komma tre) mellan graferna för funktionerna (y är lika med x i kvadrat) och (y är lika med x kubad).

Situationen är liknande med vilken potensfunktion som helst, där är ett oegentligt bråk, det vill säga täljaren m är större än nämnaren n. Grafen för denna funktion är en kurva som liknar grenen av en parabel.

Ju högre funktionsindex k, desto "brantare" riktas grenen.

Figuren visar grafen för funktionen y är lika med x med sju sekunders potens.

Således kan vi urskilja följande egenskaper hos potensfunktionen igr är lika med x till potensen em dividerat med en, där täljaren m är större än nämnaren n.

1. Definitionsdomänen är värdena på x från noll till plus oändlighet.

4. Begränsad underifrån av x-axeln, inte begränsad från ovan.

5. Funktionen tar det minsta värdet noll; spelar inte så stor roll.

8. Konvexa nedåt.

Låt oss bygga en graf över funktionen, där är en egen bråkdel (täljaren är mindre än nämnaren) och 0< <1.

De tidigare diskuterade egenskaperna och grafen för funktionen (y är lika med den n:te roten av x) eller (y är lika med x i potensen av en dividerat med n) gäller också för funktionen, där är en egen bråkdel och 0< <1.

Låt oss komma ihåg dessa egenskaper:

1. Definitionsdomänen är alla värden på x från noll till plus oändlighet.

2. Funktionen är varken jämn eller udda.

3. Funktionen ökar över hela definitionsdomänen.

5. Funktionen tar det minsta värdet noll; spelar inte så stor roll.

6. Funktionen är kontinuerlig över hela definitionsdomänen.

7. Funktionens omfång är spelets värden från noll till plus oändlighet.

8. Konvexa uppåt. funktion, där är en egen bråkdel (täljaren är mindre än nämnaren) och 0<

2. Varken jämnt eller udda.

3. Ökar med.

4. Avgränsad underifrån av x-axeln, inte begränsad från ovan.

5. ynaim=0; spelar inte så stor roll.

6. Kontinuerlig.

8. Konvexa uppåt.

Låt oss betrakta följande typ av potensfunktion - en funktion av formen: y är lika med x till potensen minus em dividerat med en.

Tidigare ritade vi en potensfunktion med en negativ heltalsexponent lika med x med potensen minus k, där k är ett naturligt tal.

Om x är större än noll ser grafen för denna funktion ut som en gren av en hyperbel.

På ett liknande sätt konstrueras en graf över vilken potensfunktion som helst med en negativ rationell (fraktionell) exponent.

Man bör komma ihåg att grafen för en sådan funktion har två asymptoter: en horisontell etta - y är lika med noll och en vertikal asymptot - x är lika med noll.

Så, potensfunktionen igr är lika med x till potensen minus em dividerat med en har följande egenskaper (och x är större än noll, eftersom i fallet med en negativ bas med en negativ exponent, kraften i uttrycket inte Vettigt):

1) Definitionsdomänen är en öppen stråle från noll till oändlighet.

2) Funktionen är varken jämn eller udda.

3) Funktionen minskar över hela definitionsdomänen.

4) Botten är begränsad av x-axeln, toppen är inte begränsad.

5) Funktionen har inget minimum- eller maxvärde.

6) Funktionen är kontinuerlig över hela definitionsdomänen.

7) Funktionens omfång är spelets värden från noll till plus oändlighet.

8) Konvexa nedåt.

Power-funktionens egenskaper (x 0):

2). Varken jämnt eller udda.

3). Minskar.

4). Botten är begränsad av x-axeln, toppen är inte begränsad.

5). Har inte det minsta eller största värdet.

6). Kontinuerlig för

8). Konvexa nedåt.

Du vet redan att derivatan av en potensfunktion av formen yrek är lika med x potensen av en, där n är ett naturligt tal, lika med n gånger x potensen av n minus ett.

På samma sätt kan du beräkna derivatan av en potensfunktion med en rationell exponent.

Följande teorem är alltså sant:

Om x är större än noll och r är ett godtyckligt rationellt tal, så är derivatan av potensfunktionen y lika med x i potensen av r, och beräknas med formeln: derivatan av x till potensen av r är lika med till r gånger x till potensen av r minus ett.

Till exempel är derivatan av a till minus tredje potens lika med minus tre och med minus fyra potens.

Derivatan av x i potensen minus två tredjedelar är lika med minus två tredjedelar av x i potensen av minus fem tredjedelar.

Här representerades minus ett som en oegentlig bråkdel av tre tredjedelar, sedan lades bråken minus två tredjedelar och minus tre tredjedelar till.

Sats: om x>0, r-rationellt tal, då

Det är inte svårt att få motsvarande formel för att integrera en potensfunktion när r inte är lika med ett. Så, den obestämda integralen av x till potensen av r är lika med x till potensen av r plus ett dividerat med r plus ett plus konstanten ce.

Det är inte svårt att förstå att funktionen är lika med x till potensen av r plus ett, dividerat med r plus ett är antiderivatan av funktionen lika med x till potensen av r. Formel för att integrera en kraftfunktion:

En funktion är antiderivata av en funktion.

Låt oss överväga tillämpningen av den förvärvade kunskapen när vi konstruerar en graf av en potensfunktion.

Konstruera en graf av funktionen y är lika med x plus två upp till hälften.

1. Låt oss bygga en graf över funktionen x i ena halvans potens. Detta är en funktion av formen där är ett egenbråk (täljaren är mindre än nämnaren) och 0< <1.График такой функции мы уже строили, на рисунке график выделен красным цветом.

2. Det är uppenbart att grafen för funktionen y är lika med x plus två till hälften är konstruerad med hjälp av en parallell translation relativt x-axeln med två enheter till vänster. I figuren är grafen markerad i grönt.

Plotta funktionen

1. - ett specialfall för en funktion av formen, där - är ett egenbråk (täljaren är mindre än nämnaren) och 0< <1.

2. Grafen erhölls genom parallell translation längs X-axel 2-enheterna till vänster.

Lektionsplanering:

"Maktfunktion, dess egenskaper och graf"

Fullständiga namn Stadnik Elena Ivanovna

Arbetsplats St. Petersburg, Pushkinsky-distriktets GBOU-skola nr 606

fördjupning i engelska.

Jobbtitel mattelärare

Artikel Matematiker

Klass 10

Ämne och nummer i ämnet"Kraftfunktion, dess egenskaper och grafer"

2 lektioner i ämnet (2 lektioner totalt)

Grundläggande handledning Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, Yu.V. Sidorov, N.E. Fedorova och andra.

"Algebra och början av analys 10-11", lärobok för utbildningsinstitutioner Rekommenderad av Ryska federationens utbildningsministerium: 9:e upplagan Moskva Education 2007.

Syftet med lektionen: Bildande av färdigheter i att tillämpa kunskap om detta ämne vid lösning av standard- och icke-standardiserade algebraiska problem. Forma förmågan att integrera kunskap från olika ämnen i en matematikkurs

Uppgifter:

Utbildning: (bildning av kognitiv UUD)

kunna jämföra tal, lösa ojämlikheter med hjälp av grafer och (eller) egenskaper hos potensfunktioner

Utbildning: (bildning av kommunikativa och personliga pedagogiska färdigheter)

att odla ett hållbart intresse för ämnet, att forma elevernas kommunikativa kompetens, att odla ansvar och noggrannhet

Lektionstyp: generalisering och systematisering av kunskap

Metoder: diskussion, observation, jämförelse, erfarenhet.

Utrustning: tavla, multimediautrustning, interaktiv skrivtavla, dator, undervisningsmaterial, affisch med grafer för nr 126(2;3)

Under lektionerna:

1. Organisatoriskt ögonblick:(2 min.) för att upprepa teorin med hjälp av stödanteckningarna.

2. Kontrollera läxor i grupp.(10 minuter.)

Obligatorisk nivå (1 grupp)

№№119(2,4,6);124(2);128(2;4)

nr. 119 (2,4,6) från platsen anger D (f), E (f) i form av numeriska intervall och figurens nummer enligt den stödjande konturen .(se bilaga 1)

Exempel på svar:

nr. 119(2): D(f)=(); E(f) =(), Fig. 2

nr 119(4): D (f)=(),(0; ),

E (f) =(0;), Fig 3

nr. 119(6):): D(f)=; ); E(f) =; ), fig5

nr 124(2) från platsen

Exempel på svar:

Enligt fig. 13 från läroboken, grafen

ligger ovanför grafen för funktionen

Nr 128. På tavlan skriver elev 1 ner svar på frågor och konstruerar schematiska grafer över funktioner.

Exempel på svar

2) ; D(f)=; );

E(f) =; );

4); D(f)=(-1;); E(f) =(0;);

Avancerad nivå (grupp 2) Medan läraren med grupp 1 kontrollerar D/Z, håller eleverna i grupp 2 på att fylla i korten. Och en elev vid tavlan Nr 129(2,4) Exempelsvar:

D()=R; E () = ; );