Степенна функция, нейните свойства и урок по графика. Урок „Степенни функции, техните свойства и графики

Степенна функция, нейните свойства и графика Демонстрационен материал Урок-лекция Понятие за функция. Функционални свойства. Степенна функция, нейните свойства и графика. 10 клас Всички права запазени. Авторско право с Авторско право със

Ход на урока: Повторение. функция. Свойства на функциите. Учене на нов материал. 1. Дефиниция на степенна функция. Дефиниция на степенна функция. 2. Свойства и графики на степенни функции Свойства и графики на степенни функции. Затвърдяване на изучения материал. Устно броене. Устно броене. Обобщение на урока. Домашна работа. Домашна работа.

Област на дефиниция и област на стойности на функция Всички стойности на независимата променлива формират областта на дефиниция на функцията x y=f(x) f Област на дефиниция на функцията Област на стойности на функцията Всички стойности, които зависимата променлива приема от домейна на стойностите на функцията Функция. Функционални свойства

Графика на функция Нека е дадена функция, където xY y x.75 3 0.6 4 0.5 Графиката на функция е множеството от всички точки на координатната равнина, чиито абциси са равни на стойностите на аргумента, и ординатите са равни на съответните стойности на функцията. функция. Функционални свойства

Y x Област на дефиниция и диапазон от стойности на функцията 4 y=f(x) Област на дефиниция на функцията: Област на стойности на функцията: Функция. Функционални свойства

Четна функция y x y=f(x) Графиката на четна функция е симетрична по отношение на оста на операционния усилвател Функцията y=f(x) се извиква дори ако f(-x) = f(x) за всяко x от областта на дефиниране на функцията Функция. Функционални свойства

Нечетна функция y x y=f(x) Графиката на нечетна функция е симетрична по отношение на началото O(0;0) Функцията y=f(x) се нарича нечетна, ако f(-x) = -f(x) за всяко x от дефинициите на регионалната функция Функция. Функционални свойства

Дефиниция на степенна функция Функция, където p е дадено реално число, се нарича степенна функция. p y=x p P=x y 0 Напредък на урока

Степенна функция x y 1. Домейнът на дефиниция и обхватът на стойностите на степенните функции от формата, където n е естествено число, са всички реални числа. 2. Тези функции са странни. Тяхната графика е симетрична спрямо началото. Свойства и графики на степенни функции

Степенни функции с рационален положителен показател. Домейнът на дефиниция са всички положителни числа и числото 0. Диапазонът от стойности на функции с такъв показател също е всички положителни числа и числото 0. Тези функции не са нито четни, нито нечетни . y x Свойства и графики на степенни функции

Степенна функция с рационален отрицателен показател. Домейнът на дефиниция и обхватът на стойностите на такива функции са всички положителни числа. Функциите не са нито четни, нито нечетни. Такива функции намаляват в цялата им област на дефиниране. y x Свойства и графики на степенни функции Ход на урока

Цели на урока:

Образователни:

запознават учениците със степенните функции и техните свойства,
преподават умение за използване на свойствата на функциите при графично решаване на уравнения и сравняване на числа.

Развитие:

развитие на умения за индуктивно и дедуктивно мислене.

Образователни:

внушаване на умения за активно учене.

Форми на работа в урока:

колективен,
орално,
написана.

Оборудване:

мултимедиен проектор,
компютър,
презентация,
диск „Нови възможности за овладяване на курса по математика 5-11“.

Структура на урока:

Организиране на времето
Поставяне на домашна работа
Проверка на домашните
Учене на нов материал
Приложение на изучения материал
Самостоятелна работа (с тест в час)
Обобщаване на урока

По време на часовете

1. Постановка на къщата. задачи

У дома: стр. 22 № 499, 501,508 (учебник Ю.Н. Макаричев)

2. Проверка на къщата. задачи с помощта на презентация(Приложение 1)

(учениците бяха помолени да построят графики и да изброят свойствата на следните функции: y = x, y = x 2, y = 1/x, y = vx, y = x 3

3. Изучаване на нов материал.

Функция от формата y=x k, където k е цяло число, се нарича степенна функция. Тези функции, които се разглеждат у дома, са силови функции.

y = x, k=1 y = 1/x, k=-1

y = x 2, k=2 y = vx, k=1/2

y = x 3, k = 3

Нашата задача е да построим графики и да изброим свойствата на степенните функции за всяко цяло число k.

С помощта на диск учениците наблюдават как се променя графиката на дадена функция в зависимост от k и правят изводи, които записват в тетрадка. (Във виртуалната лаборатория на диска можете да изградите графика на всяка функция, включително функция на мощността. Ако промените стойностите на индикатора, тогава графиката променя външния си вид, така че заключенията са очевидни).

1) y=x 2n, n €N графика на функцията парабола

(Снимка 1)

2)y=x 2n+ 1 графика на функцията кубична парабола

(Фигура 2)

3)y = 1/ x 2n+ 1 графика на функцията хипербола

(Фигура 3)

4)y = 1/ x 2n графиката на тази функция не е позната на учениците, изграждаме я в тетрадка и изброяваме свойствата на тази функция.

(Фигура 4)

а) O.O.F. x-всички освен 0

б) E(y): y>0

в) Н.Ф. Не

г) дори

д) нараства с x< 0, а убывает при х > 0

е) няма максимална и минимална стойност

4. Разгледайте приложението на свойствата на функциите при решаване на проблеми.

1) Решете уравнението 1/x 2 =3x-2

Учениците предлагат различни методи и стигат до извода, че това уравнение може да се реши графично. Графиката на функцията y = 1/x 2 вече е построена, остава само да се построи графиката на функцията y = 3x-2 в същата координатна равнина.

(Фигура 5)

Отговор: x=1.

2) y = x 2n, сравнете:

f(-0,2) и f(-3)

3) y=x 2n+ 1, сравнете:

f(-0,2) и f(-3)

(задачата се изпълнява заедно с учителя)

По време на решението ние постоянно се обръщаме към графиката на желаната функция, установяваме към кой интервал x принадлежи, как се държи функцията на този интервал

5. Самостоятелна работа.

Задача на слайда.

Самотест

Последната задача се предлага за по-подготвени ученици.

6. Обобщаване на урока.

Нека обобщим материала, разгледан в урока. Фокусираме се върху факта, че графиката и свойствата на степенната функция зависят от експонентата.

Тема на урока: „Степенни функции, техните свойства и графики“

Цели на урока:

Образователни:

Създайте условия за формиране на знания за свойствата и характеристиките на графиките на мощностните функции y = x r за различни стойности на r.

Образователни:

Да се насърчи развитието на информационните умения на учениците: способност за работа с текст на слайд, способност за писане на поддържащо резюме.

Да насърчава развитието на творческата и умствената дейност на учениците.

Продължете да развивате уменията ясно и ясно да изразявате мислите си, да анализирате и да правите заключения.

Образователни:

Продължаване на развитието на културата на математическата реч.

Допринасят за формирането на комуникативна компетентност.

Тип урок:комбинирани

Форми на организиране на образователни дейности:челен, индивидуален.

Методи:обяснително-илюстративни, частично търсещи.

Средства за обучение:

компютър, медиен проектор;

Черна дъска;

слайд презентация (PowerPoint), (Приложение 1);

учебник “Алгебра и началото на анализа”, изд. А. Г. Мордкович;

работна тетрадка, инструменти за рисуване;

поддържащо резюме на темата (Word документ), (Приложение 3);

В резултат на изучаването на темата студентите трябва

Зная:концепция за степенна функция,

свойства на степенна функция в зависимост от показателя.

Умейте да:наименувайте свойствата на степенна функция в зависимост от показателя,

изграждане на графики (скици на графики) на степенни функции с рационални

индикатор

извършва прости трансформации на графики,

да можете да напишете подкрепящо резюме,

можете ясно и ясно да изразявате мислите си, да анализирате и да правите заключения.

По време на часовете: Продължаваме да работим върху развитието на уменията за конструиране на графики на степенни функции. Редица такива функции са ни познати от курса по алгебра за 7-9 клас, това са функции с естествен показател и степенни функции с отрицателен цяло число. В миналия урок записахме с вас теорията на степенните функции с дробни показатели

y = x p, където p е дадено реално число

Свойствата и графиката на степенна функция зависят от свойствата на степента с реален показател и по-специално от стойностите на x и p, за които степента x p има смисъл.

Обобщение на свойствата на степенните функции. Работа с опорен контур.

1.Работа на дъската: конструиране на графики на функции. y=x 4, y=x 7, y=x -2, y=x -5, y=x 2/5, y=x 1,3, y=x -1/3

На дъската работят 7 души, които остават на място, обединени в групи за допълнителна проверка

Изброяваме имотите по план.

Домейн.

Диапазон от стойности (набор от стойности).

Четна, нечетна функция.

Увеличаване, намаляване.

В края на работата проверете от учениците, които са останали на място (на екрана се показват слайдове с графики на функции).

2. "математическо лото" На екрана се показват готови графики на функции, на дъската са написани набори от формули и трябва да се установят връзки.

Взаимна проверка:

Верни отговори: № 1 578 643 192

3 Устна работа

1. Използвайки графиките на тези функции, намерете интервалите, в които графиката на функцията y = x π лежи над (под) графиката на функцията y = x.

2. Използвайки графиките на тези функции, намерете интервалите, в които графиката на функцията y = x sin 45 лежи над (под) графиката на функцията y = x.

3. Използвайки фигурата, намерете интервалите, в които графиката на функцията y = x 1- π лежи над (под) графиката на функцията y = x.

Преобразуване на графики

В много случаи функционалните графики могат да бъдат конструирани чрез някои трансформации на вече известни функционални графики с по-проста форма. Нека си припомним някои от тях.

Помислете за вербално преобразуване на графиката на степенна функция и след това изградете две графики.

Самостоятелна работа

Дефинирайте сами степенна функция, начертайте я, опишете нейните свойства

В последния урок повторихме и обобщихме знанията си по темата „Концепцията за показател“.

Нека си припомним, че ако - pe делено на ku е обикновена дроб и ku не е равно на едно и a е по-голямо или равно на нула, тогава с израза a на степен pe делено на ku имаме предвид корена от степента ku на a на степен pe.

Например, числото едно точка три на степен три седми може да бъде записано като корен от седма част от една точка три на куб.

Функциите от формата, където k е всяко реално число, обикновено се наричат степенни функции.

Днес ще разгледаме случая, когато k е рационален (дробен) показател.

В курса по алгебра за 7-9 клас изучавахте свойствата и графиките на степенните функции с естествен показател. Функция (k-всяко реално число), степенна функция.

За k=n (n∈N), -степенна функция с естествен показател.

Нека си припомним графиките на такива функции.

Графиката на функцията или y=x (y е равно на x на първа степен или y е равно на x) е права линия.

Графиката на функцията (E е равно на x на квадрат) е парабола.

Графиката на функцията (E е равно на X в куб) е кубична парабола.

Графиката на степенна функция (y е равно на x на степен ka) в случай на четно k е подобна на парабола. Фигурата показва графика на степенна функция с k равно на шест.

Графиката на степенна функция (y е равно на x на степен ka) в случай на нечетно k е подобна на кубична парабола. Фигурата показва графика на степенна функция с k равно на седем.

Ако показателят на степенната функция има отрицателно цяло число, тогава получаваме функция от вида: y е равно на x на степен минус en или y е равно на единица, делено на x на n-та степен.

Ако n е четно число, тогава графиката изглежда като тази, показана на фигурата.

Къде е показана функцията y=x-2 или y=?

Ако n е нечетно число, тогава графиката изглежда така.

Чертежът показва функцията y=x-3, или y=

Ако показателят на степенна функция е равен на нула, тогава функцията ще приеме формата: Графиката на такава функция е права линия, минаваща през ордината 1 и успоредна на абсцисната ос.

За k=-n (n∈Z), -степенна функция с отрицателно цяло число.

Да разгледаме степенна функция (E е равно на x на степен k), където k е отрицателно или положително дробно число.

Като пример, нека изградим графика на степенна функция (E е равно на x на степен две точка три).

Домейнът на неговата дефиниция (т.е. всички стойности, приети от x) е лъч с начало в точка нула.

В тази област на дефиниция ще изградим графики на функции (y равно на x на квадрат) - това е разклонение на парабола, подчертано в светло зелено, и (y равно на x на квадрат) - разклонение на кубична парабола, подчертано в тъмно зелено.

Лесно се проверява, че на интервала (0;1) кубичната парабола е разположена под параболата, а на отворения лъч (1;+) - отгоре.

Моля, обърнете внимание, че графиките на функциите (y е равно на x на квадрат), (y е равно на x на степен две точка три) и (y е равно на x на куб) минават през точките (0;0) и (1;1).

За други стойности на аргумента x, графиката на функцията (y е равно на x на степен две точка три) е между графиките на функциите (y е равно на x на квадрат) и (y е равно на x на куб).

Подобна е ситуацията с всяка степенна функция, където е неправилна дроб, тоест числителят m е по-голям от знаменателя n. Графиката на тази функция е крива, подобна на разклонение на парабола.

Колкото по-висок е функционалният индекс k, толкова „по-стръмен“ е насочен клонът.

Фигурата показва графиката на функцията y е равна на x на степен седем секунди.

По този начин можем да различим следните свойства на степенната функция igr е равна на x на степен em, разделено на en, където числителят m е по-голям от знаменателя n.

1. Областта на дефиниция е стойностите на x от нула до плюс безкрайност.

4.Ограничено отдолу от оста x, неограничено отгоре.

5. Функцията приема най-малката стойност нула; няма най-голямо значение.

8. Изпъкнал надолу.

Нека построим графика на функцията, където е правилна дроб (числителят е по-малък от знаменателя) и 0< <1.

Обсъдените по-рано свойства и графика на функцията (y е равно на корен n-ти от x) или (y е равно на x на степен едно, делено на n) също се отнасят за функцията, където е правилна дроб и 0< <1.

Нека си припомним тези свойства:

1. Областта на дефиниция е всички стойности на x от нула до плюс безкрайност.

2. Функцията не е нито четна, нито нечетна.

3. Функцията нараства в цялата област на дефиниция.

5. Функцията приема най-малката стойност нула; няма най-голямо значение.

6. Функцията е непрекъсната в цялата дефинирана област.

7. Диапазонът на функцията е стойностите на играта от нула до плюс безкрайност.

8. Изпъкнал нагоре. функция, където е правилна дроб (числителят е по-малък от знаменателя) и 0<

2. Нито четно, нито нечетно.

3. Увеличава се с.

4. Ограничен отдолу от оста x, неограничен отгоре.

5. ynaim=0; няма най-голямо значение.

6.Непрекъснато.

8. Изпъкнал нагоре.

Нека разгледаме следния тип степенна функция - функция от вида: y е равно на x на степен минус em, делено на en.

Преди това начертахме степенна функция с отрицателна цяло число, равна на x на степен минус k, където k е естествено число.

Ако x е по-голямо от нула, графиката на тази функция изглежда като разклонение на хипербола.

По подобен начин се построява графика на всяка степенна функция с отрицателен рационален (дробен) показател.

Трябва да се има предвид, че графиката на такава функция има две асимптоти: хоризонтална - y е равно на нула и вертикална асимптота - x е равно на нула.

И така, степенната функция igr е равна на x на степен минус em делено на en има следните свойства (и x е по-голямо от нула, тъй като в случай на отрицателна основа с отрицателна експонента, степента на израза не има смисъл):

1) Областта на дефиниция е отворен лъч от нула до безкрайност.

2) Функцията не е нито четна, нито нечетна.

3) Функцията намалява по цялата област на дефиниция.

4) Дъното е ограничено от оста x, горната част не е ограничена.

5) Функцията няма минимална или максимална стойност.

6) Функцията е непрекъсната в цялата област на дефиниция.

7) Диапазонът на функцията е стойностите на играта от нула до плюс безкрайност.

8) Изпъкнал надолу.

Свойства на степенната функция (x 0):

2). Нито четно, нито нечетно.

3). Намалява.

4). Дъното е ограничено от оста x, горната част не е ограничена.

5). Няма най-малка или най-голяма стойност.

6). Непрекъснато за

8). Изпъкнал надолу.

Вече знаете, че производната на степенна функция от вида yrek е равна на x на степен en, където n е естествено число, равно на n по x на степен n минус едно.

По подобен начин можете да изчислите производната на степенна функция с рационален показател.

Следователно следната теорема е вярна:

Ако x е по-голямо от нула и r е произволно рационално число, тогава производната на степенната функция y е равна на x на степен r и се изчислява по формулата: производната на x на степен r е равна на r по х на степен r минус едно.

Например, производната на а на минус трета степен е равна на минус три и на степен минус четири.

Производната на х на степен минус две трети е равна на минус две трети от х на степен минус пет трети.

Тук минус едно беше представено като неправилна дроб от три трети, след което бяха добавени дробите минус две трети и минус три трети.

Теорема: ако x>0, r-рационално число, тогава

Не е трудно да се получи съответната формула за интегриране на степенна функция, когато r не е равно на единица. И така, неопределеният интеграл от х на степен r е равен на х на степен r плюс едно делено на r плюс едно плюс константата ce.

Не е трудно да се разбере, че функцията е равна на x на степен r плюс едно, делено на r плюс едно е първоизводната на функцията, равна на x на степен r. Формула за интегриране на степенна функция:

Функцията е антипроизводна на функция.

Нека разгледаме приложението на придобитите знания при построяването на графика на степенна функция.

Постройте графика на функцията y е равно на x плюс две на степен една половина.

1. Нека построим графика на функцията x на степен една половина. Това е функция на формата където е правилна дроб (числителят е по-малък от знаменателя) и 0< <1.График такой функции мы уже строили, на рисунке график выделен красным цветом.

2. Очевидно е, че графиката на функцията y е равна на x плюс две на степен половината е конструирана с помощта на паралелно преместване спрямо оста x с две единици наляво. На фигурата графиката е маркирана в зелено.

Графика на функцията

1. - специален случай за функция от формата, където - е правилна дроб (числителят е по-малък от знаменателя) и 0< <1.

2. Графиката е получена чрез паралелна транслация по оста X 2 единици наляво.

План на урока:

„Степенна функция, нейните свойства и графика“

Пълно име Стадник Елена Ивановна

МестоработаСанкт Петербург, Пушкински район GBOU училище № 606

задълбочено изучаване на английски език.

Длъжностучители по математика

Вещматематици

Клас 10

Тема и номер в темата„Степенна функция, нейните свойства и графики“

2 урока по темата (общо 2 урока)

Основен урокШ. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, Н. Е. Федорова и др.

„Алгебра и началото на анализа 10-11“, учебник за образователни институции, препоръчан от Министерството на образованието на Руската федерация: 9-то издание Москва Образование 2007 г.

Целта на урока:Формиране на умения за прилагане на знания по тази тема при решаване на стандартни и нестандартни алгебрични задачи. Формиране на умение за интегриране на знания от различни теми в курса по математика

Задачи:

Образователни: (формиране на когнитивна UUD)

да може да сравнява числа, да решава неравенства с помощта на графики и (или) свойства на степенни функции

Образователни: (формиране на комуникативни и личностни образователни умения)

да култивира устойчив интерес към предмета, да формира комуникативната компетентност на учениците, да култивира отговорност и точност

Тип урок:обобщаване и систематизиране на знанията

Методи:дискусия, наблюдение, сравнение, опит.

Оборудване:дъска, мултимедийна техника, интерактивна дъска, компютър, учебни материали, постер с графики за № 126(2;3)

По време на часовете:

1.Организационна точка:(2 мин.), за да повторите теорията, като използвате помощните бележки.

2.Проверка на домашното по групи.(10 мин.)

Задължително ниво (1 група)

№№119(2,4,6);124(2);128(2;4)

№ 119 (2,4,6) от мястото посочете D (f), E (f) под формата на цифрови интервали и номера на фигурата според опорния контур .(вижте Приложение 1)

Примерен отговор:

№ 119(2): D (f )=(); E(f) =(),фиг.2

№ 119(4): D (f )=(),(0; ),

E (f) = (0;), Фиг.3

№ 119(6):): D (f )= ; ); E(f) = ; ), фиг.5

No124(2) от място

Примерен отговор:

Според фиг.13 от учебника граф

лежи над графиката на функцията

№ 128. На дъската ученик 1 записва отговори на въпроси и конструира схематични графики на функции.

Примерни отговори

2) ; D(f)= ; );

E(f) = ; );

4) ; D (f )=(-1; ); E(f) =(0;);

Ниво за напреднали (група 2) Докато учителят от група 1 проверява Д/З, учениците от група 2 попълват картите. И един ученик на дъската№ 129(2,4) Примерен отговор:

D ()=R; E () = ; );