Умножение с една и съща основа. Свойства на степените: формулировки, доказателства, примери

Нека разгледаме темата за трансформиране на изрази със степени, но първо ще се спрем на редица трансформации, които могат да бъдат извършени с всякакви изрази, включително мощности. Ще научим как да отваряме скоби, да даваме сходни членове, да работим с основа и степен, да използваме свойствата на степените.

Какво представляват мощностните изрази?

AT училищен курсмалко хора използват фразата "мощни изрази", но този термин постоянно се среща в сборниците за подготовка за изпита. В повечето случаи фразата обозначава изрази, които съдържат степени в техните записи. Това ще отразим в нашето определение.

Определение 1

Мощно изразяванее израз, който съдържа степени.

Даваме няколко примера за изрази на степен, започвайки със степен с естествен показател и завършвайки със степен с реален показател.

Най-простите изрази за степен могат да се считат за степени на число с естествен показател: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Както и степени с нулев показател: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . И степени с цели отрицателни степени: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Малко по-трудно е да се работи със степен, която има рационални и ирационални показатели: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Индикаторът може да бъде променлива 3 x - 54 - 7 3 x - 58 или логаритъм x 2 l g x − 5 x l g x.

Заехме се с въпроса какво представляват изразите на сила. Сега нека да разгледаме тяхната трансформация.

Основните типове трансформации на степенни изрази

Първо, ще разгледаме основните трансформации на идентичност на изрази, които могат да бъдат изпълнени със степенни изрази.

Пример 1

Изчислете стойността на израза на мощността 2 3 (4 2 − 12).

Решение

Ние ще извършим всички трансформации в съответствие с реда на действията. В този случай ще започнем с извършване на действията в скоби: ще заменим степента с цифрова стойност и ще изчислим разликата между двете числа. Ние имаме 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Остава да сменим степента 2 3 неговото значение 8 и изчислете продукта 8 4 = 32. Ето нашия отговор.

Отговор: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Пример 2

Опростете израза със степени 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Решение

Изразът, даден ни в условието на проблема, съдържа подобни членове, които можем да доведем: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Отговор: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

Пример 3

Изразете израз със степени на 9 - b 3 · π - 1 2 като произведение.

Решение

Нека представим числото 9 като степен 3 2 и приложете формулата за съкратено умножение:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Отговор: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

А сега нека преминем към анализа на идентични трансформации, които могат да бъдат приложени конкретно към изрази на степен.

Работа с основа и степен

Степента в основата или експонентата може да има числа, променливи и някои изрази. Например, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7и . Трудно се работи с такива записи. Много по-лесно е да замените израза в основата на степента или израза в експонентата с идентично равен израз.

Трансформациите на степента и индикатора се извършват по известните ни правила отделно един от друг. Най-важното е, че в резултат на трансформациите се получава израз, идентичен с оригиналния.

Целта на трансформациите е да се опрости оригиналния израз или да се получи решение на проблема. Например, в примера, който дадохме по-горе, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 можете да извършвате операции, за да отидете на степен 4 , 1 1 , 3 . Отваряйки скобите, можем да въведем подобни термини в основата на степента (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1)и да получите израз на мощност в по-проста форма a 2 (x + 1).

Използване на Power Properties

Свойствата на степените, записани като равенства, са един от основните инструменти за трансформиране на изрази със степени. Тук представяме основните от тях, имайки предвид това аи bса всякакви положителни числа и rи с- произволни реални числа:

Определение 2

• a r a s = a r + s;
• a r: a s = a r − s ;
• (a b) r = a r b r;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s.

В случаите, когато имаме работа с естествени, цели числа, положителни показатели, ограниченията върху числата a и b могат да бъдат много по-малко строги. Така например, ако вземем предвид равенството a m a n = a m + n, където ми нса естествени числа, тогава ще е вярно за всякакви стойности на a, както положителни, така и отрицателни, както и за а = 0.

Можете да прилагате свойствата на градусите без ограничения в случаите, когато основите на градусите са положителни или съдържат променливи, чийто диапазон от приемливи стойности е такъв, че базите приемат само положителни стойности върху него. Всъщност в рамките на училищната програма по математика задачата на ученика е да избере подходящото свойство и да го приложи правилно.

При подготовката за прием в университети може да има задачи, при които неточното прилагане на свойства ще доведе до стесняване на ODZ и други трудности с решението. В този раздел ще разгледаме само два такива случая. Повече информация по темата можете да намерите в темата "Преобразуване на изрази с помощта на експонентни свойства".

Пример 4

Представете израза a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5като степен с основа а.

Решение

Като начало използваме свойството за степенуване и трансформираме втория фактор, използвайки го (a 2) − 3. След това използваме свойствата на умножение и деление на степени с една и съща основа:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2 .

Отговор: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Преобразуването на степенните изрази по свойството степен може да се извърши както отляво надясно, така и в обратна посока.

Пример 5

Намерете стойността на степенния израз 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Решение

Ако приложим равенството (a b) r = a r b r, от дясно на ляво, тогава получаваме произведение от формата 3 7 1 3 21 2 3 и след това 21 1 3 21 2 3 . Нека добавим степените, когато умножаваме степени с еднакви основи: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Има и друг начин за извършване на трансформации:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Отговор: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Пример 6

Като се има предвид израз на мощност a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, въведете нова променлива t = a 0, 5.

Решение

Представете си степента а 1, 5как a 0, 5 3. Използване на свойството степен в степен (a r) s = a r sот дясно на ляво и получаваме (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . В получения израз можете лесно да въведете нова променлива t = a 0, 5: получи t 3 − t − 6.

Отговор: t 3 − t − 6 .

Преобразуване на дроби, съдържащи степени

Обикновено имаме работа с два варианта на степенни изрази с дроби: изразът е дроб със степен или съдържа такава дроб. Всички основни трансформации на дроби са приложими към такива изрази без ограничения. Те могат да бъдат намалени, доведени до нов знаменател, да работят отделно с числителя и знаменателя. Нека илюстрираме това с примери.

Пример 7

Опростете израза за степен 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Решение

Имаме работа с дроб, така че ще извършим трансформации както в числителя, така и в знаменателя:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Поставете минус пред дробта, за да промените знака на знаменателя: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Отговор: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Дробите, съдържащи степени, се редуцират до нов знаменател по същия начин като рационалните дроби. За да направите това, трябва да намерите допълнителен фактор и да умножите числителя и знаменателя на дробта по него. Необходимо е да изберете допълнителен фактор по такъв начин, че да не изчезва за никакви стойности на променливите от ODZ променливите за оригиналния израз.

Пример 8

Приведете дробите към нов знаменател: а) a + 1 a 0, 7 към знаменателя а, б) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 към знаменателя x + 8 y 1 2 .

Решение

а) Избираме фактор, който ще ни позволи да намалим до нов знаменател. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a,следователно като допълнителен фактор приемаме а 0, 3. Диапазонът от допустими стойности на променливата a включва множеството от всички положителни реални числа. В тази област степента а 0, 3не отива на нула.

Нека умножим числителя и знаменателя на една дроб по а 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

б) Обърнете внимание на знаменателя:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Умножете този израз по x 1 3 + 2 · y 1 6 , получаваме сумата от кубове x 1 3 и 2 · y 1 6 , т.е. x + 8 · y 1 2 . Това е нашият нов знаменател, към който трябва да приведем първоначалната дроб.

Така че намерихме допълнителен множител x 1 3 + 2 · y 1 6 . В обхвата на приемливите стойности на променливите хи гизразът x 1 3 + 2 y 1 6 не изчезва, така че можем да умножим числителя и знаменателя на дробта по него:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Отговор: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

Пример 9

Намалете дробта: а) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, б) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Решение

а) Използвайте най-големия общ знаменател (НОД), с който числителят и знаменателят могат да бъдат намалени. За числата 30 и 45 това е 15. Можем и да намалим x 0, 5 + 1и върху x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Получаваме:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

б) Тук наличието на идентични фактори не е очевидно. Ще трябва да извършите някои трансформации, за да получите същите множители в числителя и знаменателя. За да направим това, разширяваме знаменателя, използвайки формулата за разликата на квадратите:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Отговор:а) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Основните операции с дроби включват свеждане до нов знаменател и свеждане на дроби. И двете действия се извършват при спазване на редица правила. При събиране и изваждане на дроби първо се привеждат дробите към общ знаменател, след което се извършват действия (събиране или изваждане) с числителите. Знаменателят остава същият. Резултатът от нашите действия е нова дроб, чийто числител е произведението на числителите, а знаменателят е произведението на знаменателите.

Пример 10

Направете стъпките x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Решение

Нека започнем с изваждане на дробите, които са в скоби. Нека ги приведем към общ знаменател:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Нека извадим числителите:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Сега умножаваме дроби:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Нека намалим с градус х 1 2, получаваме 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Освен това можете да опростите израза на степента в знаменателя, като използвате формулата за разликата на квадратите: квадрати: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Отговор: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Пример 11

Опростете израза за степен x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Решение

Можем да намалим дробта с (x 2 , 7 + 1) 2. Получаваме дроб x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Нека продължим трансформациите на x степени x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Сега можете да използвате свойството за деление на степен със същите основи: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Преминаваме от последния продукт към дробта x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Отговор: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

В повечето случаи е по-удобно да прехвърляте множители с отрицателни експоненти от числителя към знаменателя и обратно, като промените знака на експонентата. Това действие опростява по-нататъшното решение. Нека дадем пример: степенният израз (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 може да бъде заменен с x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Преобразуване на изрази с корени и степени

В задачите има степенни изрази, които съдържат не само степени с дробни показатели, но и корени. Желателно е такива изрази да се свеждат само до корени или само до степени. Преходът към степени е за предпочитане, тъй като с тях се работи по-лесно. Такъв преход е особено полезен, когато DPV на променливите за оригиналния израз ви позволява да замените корените със степени, без да е необходимо да имате достъп до модула или да разделяте DPV на няколко интервала.

Пример 12

Изразете израза x 1 9 x x 3 6 като степен.

Решение

Валиден диапазон на променлива хсе определя от две неравенства x ≥ 0и x · x 3 ≥ 0 , които определят множеството [ 0 , + ∞) .

В този набор имаме право да преминем от корени към правомощия:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Използвайки свойствата на градусите, ние опростяваме получения израз за степен.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = х 1 3

Отговор: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Преобразуване на степени с променливи в степента

Тези трансформации са доста лесни за извършване, ако правилно използвате свойствата на степента. Например, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Можем да заменим произведението на степента, по отношение на което се намира сумата от някаква променлива и число. От лявата страна това може да се направи с първия и последния термин от лявата страна на израза:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Сега нека разделим двете страни на уравнението на 7 2 х. Този израз на ODZ на променливата x приема само положителни стойности:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Нека съкратим дробите със степени, получаваме: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Накрая съотношението на степените с еднакви показатели се заменя със степени на отношенията, което води до уравнението 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , което е еквивалентно на 5 5 7 x 2 - 3 5 7 х - 2 = 0 .

Въвеждаме нова променлива t = 5 7 x , която свежда решението на първоначалното експоненциално уравнение до решението на квадратното уравнение 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Преобразуване на изрази със степени и логаритми

В задачи се срещат и изрази, съдържащи степени и логаритми. Примери за такива изрази са: 1 4 1 - 5 log 2 3 или log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Трансформацията на такива изрази се извършва с помощта на горните подходи и свойства на логаритмите, които сме анализирали подробно в темата "Трансформация на логаритмични изрази".

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Събиране и изваждане на степени

Очевидно числата със степени могат да се събират като други количества , като ги добавяте един по един със знаците им.

И така, сумата от a 3 и b 2 е a 3 + b 2 .
Сумата от a 3 - b n и h 5 -d 4 е a 3 - b n + h 5 - d 4.

Коефициенти същите степени на едни и същи променливимогат да се добавят или изваждат.

И така, сумата от 2a 2 и 3a 2 е 5a 2 .

Също така е очевидно, че ако вземем два квадрата a, или три квадрата a, или пет квадрата a.

Но градуси различни променливии различни степени идентични променливи, трябва да се добавят чрез добавянето им към техните знаци.

И така, сборът от 2 и 3 е сборът от 2 + a 3.

Очевидно е, че квадратът на a и кубът на a не са нито два пъти квадрат на a, а два пъти куб на a.

Сборът от a 3 b n и 3a 5 b 6 е a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Изважданестепените се извършват по същия начин като събирането, с изключение на това, че знаците на субтрахенда трябва да бъдат съответно променени.

Или:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Степенно умножение

Числата със степени могат да се умножават като други количества, като се записват едно след друго, със или без знака за умножение между тях.

И така, резултатът от умножаването на a 3 по b 2 е a 3 b 2 или aaabb.

Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Резултатът в последния пример може да бъде подреден чрез добавяне на същите променливи.
Изразът ще приеме формата: a 5 b 5 y 3 .

Чрез сравняване на няколко числа (променливи) със степени можем да видим, че ако произволни две от тях се умножат, тогава резултатът е число (променлива) със степен, равна на сумастепени на термини.

И така, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Тук 5 е степента на резултата от умножението, равна на 2 + 3, сумата от степените на членовете.

И така, a n .a m = a m+n .

За a n, a се взема като фактор толкова пъти, колкото е степента на n;

И a m се взема като фактор толкова пъти, на колкото е равна степента m;

Ето защо, степени с еднакви основи могат да се умножат чрез добавяне на показателите.

И така, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Умножете (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Отговор: x 4 - y 4.
Умножете (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Това правило е вярно и за числа, чиито показатели са − отрицателен.

1. И така, a -2 .a -3 = a -5 . Това може да се запише като (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ако a + b се умножат по a - b, резултатът ще бъде a 2 - b 2: т.е

Резултатът от умножаването на сбора или разликата на две числа е равен на сбора или разликата на техните квадрати.

Ако сборът и разликата на две числа се повишат до квадрат, резултатът ще бъде равен на сбора или разликата на тези числа в четвъртостепен.

И така, (a - y). (a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Деление на степени

Числата със степени могат да бъдат разделени като други числа чрез изваждане от делителя или чрез поставянето им под формата на дроб.

Така че a 3 b 2 делено на b 2 е a 3 .

Записването на 5, разделено на 3, изглежда като $\frac $. Но това е равно на 2. В поредица от числа
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
всяко число може да бъде разделено на друго и показателят ще бъде равен на разликапоказатели за делими числа.

При деление на степени с еднаква основа се изваждат техните показатели..

И така, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Тоест $\frac = y$.

И a n+1:a = a n+1-1 = a n. Тоест $\frac = a^n$.

Или:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Правилото е валидно и за числа с отрицателенградусни стойности.
Резултатът от разделянето на -5 на -3 е -2.
Освен това $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Необходимо е много добре да се овладеят умножението и делението на степени, тъй като такива операции се използват много широко в алгебрата.

Примери за решаване на примери с дроби, съдържащи числа със степени

1. Намалете експонентите в $\frac $ Отговор: $\frac $.

2. Намалете експонентите в $\frac$. Отговор: $\frac $ или 2x.

3. Намалете показателите a 2 / a 3 и a -3 / a -4 и ги приведете към общ знаменател.
a 2 .a -4 е -2 първи числител.
a 3 .a -3 е a 0 = 1, вторият числител.
a 3 .a -4 е a -1 , общият числител.
След опростяване: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Редуцирайте показателите 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и ги приведете към общ знаменател.
Отговор: 2a 3 / 5a 7 и 5a 5 / 5a 7 или 2a 3 / 5a 2 и 5/5a 2.

5. Умножете (a 3 + b)/b 4 по (a - b)/3.

6. Умножете (a 5 + 1)/x 2 по (b 2 - 1)/(x + a).

7. Умножете b 4 /a -2 по h -3 /x и a n /y -3 .

8. Разделете a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Отговор: a/y.

степен свойства

Напомняме ви, че в този урок разбираме степен свойствас натурални показатели и нула. Степените с рационални показатели и техните свойства ще бъдат разгледани в уроците за 8 клас.

Експонента с естествен показател има няколко важни свойства, които ви позволяват да опростите изчисленията в примери за степен.

Имот #1
Продукт на мощности

При умножаване на степени с една и съща основа, основата остава непроменена, а показателите се добавят.

a m a n \u003d a m + n, където "a" е произволно число, а "m", "n" са произволни естествени числа.

Това свойство на степените също засяга произведението на три или повече степени.

• Опростете израза.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Присъства като степен.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Присъства като степен.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Моля, обърнете внимание, че в посоченото свойство става дума само за умножаване на степени с еднакви бази.. Не се отнася за добавянето им.

Не можете да замените сбора (3 3 + 3 2) с 3 5 . Това е разбираемо, ако
пресметнете (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 и 3 5 = 243

Имот №2
Частни степени

При деление на степени с една и съща основа основата остава непроменена и показателят на делителя се изважда от показателя на делителя.

• Запишете частното като степен
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Изчисли.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Пример. Решете уравнението. Използваме свойството на частичните степени.
3 8: t = 3 4

Отговор: t = 3 4 = 81

Използвайки свойства № 1 и № 2, можете лесно да опростявате изрази и да извършвате изчисления.

Пример. Опростете израза.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Пример. Намерете стойността на израз, като използвате свойствата на степента.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Моля, обърнете внимание, че свойство 2 се занимава само с разделението на правомощията със същите основи.

Не можете да замените разликата (4 3 −4 2) с 4 1 . Това е разбираемо, ако изчислите (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 и 4 1 = 4

Имот #3
степенуване

При повишаване на степен на степен основата на степента остава непроменена, а показателите се умножават.

(a n) m \u003d a n m, където "a" е произволно число, а "m", "n" са произволни естествени числа.

Напомняме ви, че частното може да бъде представено като дроб. Затова ще се спрем по-подробно на темата за повдигане на дроб на степен на следващата страница.

Как да умножим мощностите

Как да умножим правомощията? Кои мощности могат да се умножават и кои не? Как се умножава число по степен?

В алгебрата можете да намерите произведението на степените в два случая:

1) ако степените имат една и съща основа;

2) ако степените са с еднакви показатели.

Когато се умножават степени с една и съща основа, основата трябва да остане същата, а показателите трябва да се добавят:

При умножаване на градуси с едни и същи показатели общият индикатор може да бъде изваден от скоби:

Помислете как да умножавате степени с конкретни примери.

Единицата в експонента не е написана, но при умножаване на степените се вземат предвид:

При умножаване броят на градусите може да бъде произволен. Трябва да се помни, че не можете да напишете знака за умножение преди буквата:

В изразите първо се извършва степенуване.

Ако трябва да умножите число по степен, първо трябва да извършите степенуване и едва след това - умножение:

Умножение на степени с една и съща основа

Този видео урок е достъпен чрез абонамент

Имате ли вече абонамент? Да вляза

В този урок ще научим как да умножаваме степени с една и съща основа. Първо, припомняме дефиницията на степента и формулираме теорема за валидността на равенството . След това даваме примери за приложението му към конкретни числа и го доказваме. Ще приложим теоремата и за решаване на различни задачи.

Тема: Степен с натурален показател и неговите свойства

Урок: Умножение на степени с еднакви основи (формула)

1. Основни определения

Основни определения:

н- показател,

— н-та степен на число.

2. Изложение на теорема 1

Теорема 1.За произволен брой аи всеки естествен ни кравенството е вярно:

С други думи: ако а- всякакъв брой; ни кестествени числа, тогава:

Следователно правило 1:

3. Обяснителни задачи

Заключение:специални случаи потвърдиха правилността на теорема № 1. Нека го докажем в общ случай, тоест за всякакви аи всеки естествен ни к.

4. Доказателство на теорема 1

Дадено е число а- всякакви; числа ни к-естествено. Докажи:

Доказателството се основава на дефиницията на степента.

5. Решение на примери с помощта на теорема 1

Пример 1:Присъства като степен.

За да решим следните примери, използваме теорема 1.

и)

6. Обобщение на теорема 1

Ето едно обобщение:

7. Решение на примери с помощта на обобщение на теорема 1

8. Решаване на различни задачи с помощта на теорема 1

Пример 2:Изчислете (можете да използвате таблицата на основните степени).

а) (според таблицата)

б)

Пример 3:Запишете като степен с основа 2.

а)

Пример 4:Определете знака на числото:

, а -отрицателно, защото показателят при -13 е странно.

Пример 5:Заменете ( ) със степен с основа r:

Имаме, т.е.

9. Обобщаване

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6-то издание. М.: Просвещение. 2010 г

1. Училищен асистент (Източник).

1. Изразете като степен:

а б В Г Д)

3. Запишете като степен с основа 2:

4. Определете знака на числото:

а)

5. Заменете ( ) със степен на число с основа r:

а) r 4 ( ) = r 15 ; б) ( ) r 5 = r 6

Умножение и деление на степени с еднакви показатели

В този урок ще изучаваме умножението на степени с еднакви показатели. Първо, нека си припомним основните дефиниции и теореми за умножаване и деление на степени с еднакви основи и повишаване на степен на степен. След това формулираме и доказваме теореми за умножение и деление на степени с еднакви показатели. И тогава с тяхна помощ ще решим редица типични проблеми.

Напомняне на основни определения и теореми

Тук а- основа на степента

— н-та степен на число.

Теорема 1.За произволен брой аи всеки естествен ни кравенството е вярно:

При умножаване на степени с една и съща основа степените се събират, основата остава непроменена.

Теорема 2.За произволен брой аи всеки естествен ни к,такова, че н > кравенството е вярно:

При деление на степени с една и съща основа степените се изваждат, а основата остава непроменена.

Теорема 3.За произволен брой аи всеки естествен ни кравенството е вярно:

Всички горни теореми бяха за степени с еднакви основания, този урок ще разглежда степени със същото показатели.

Примери за умножение на степени с еднакви показатели

Разгледайте следните примери:

Нека напишем изразите за определяне на степента.

Заключение:От примерите можете да видите това , но това все още трябва да се докаже. Ние формулираме теоремата и я доказваме в общия случай, тоест за всеки аи bи всеки естествен н.

Твърдение и доказателство на теорема 4

За всякакви числа аи bи всеки естествен нравенството е вярно:

ДоказателствоТеорема 4 .

По определение на степента:

Така че ние сме го доказали .

За да умножите степени с една и съща степен, е достатъчно да умножите основите и да оставите степента непроменена.

Твърдение и доказателство на теорема 5

Формулираме теорема за деление на степени с еднакви показатели.

За произволен брой аи b() и всеки естествен нравенството е вярно:

ДоказателствоТеорема 5 .

Нека запишем и по дефиниция на степен:

Изложение на теоремите с думи

Така че ние сме го доказали.

За да разделите степени с еднакви експоненти една в друга, достатъчно е да разделите една основа на друга и да оставите експонентата непроменена.

Решаване на типични задачи с помощта на теорема 4

Пример 1:Изразете като продукт на мощности.

За решаване на следните примери използваме теорема 4.

За да разрешите следния пример, припомнете си формулите:

Обобщение на теорема 4

Обобщение на теорема 4:

Решаване на примери с помощта на обобщена теорема 4

Продължете да решавате типични проблеми

Пример 2:Запишете като степен на продукт.

Пример 3:Запишете като степен с показател 2.

Примери за изчисление

Пример 4:Изчислете по най-рационалния начин.

2. Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: VENTANA-GRAF

3. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др.. Алгебра 7 .M .: Образование. 2006 г

2. Училищен асистент (Източник).

1. Представяне като продукт на мощности:

а) ; б) ; в) ; G) ;

2. Запишете като степен на продукта:

3. Напишете под формата на степен с индикатор 2:

4. Изчислете по най-рационалния начин.

Урок по математика на тема "Умножение и деление на степени"

Раздели:Математика

Педагогическа цел:

ученикът ще научида разграничават свойствата на умножение и деление на степени с естествен показател; прилагайте тези свойства в случай на същите основи;

ученикът ще има възможностда може да извършва трансформации на степени с различни базиси и да може да извършва трансформации в комбинирани задачи.

Задачи:

организират работата на учениците чрез повтаряне на предварително изучен материал;

осигурете нивото на възпроизвеждане чрез изпълнение на различни видове упражнения;

организират самооценка на учениците чрез тестване.

Дейностни единици на доктрината:определяне на степента с натурален показател; компоненти на степента; определение за частно; асоциативен закон за умножение.

I. Организиране на демонстрация на усвояване на съществуващите знания от учениците. (етап 1)

а) Актуализиране на знанията:

2) Формулирайте дефиниция на степента с естествен показател.

a n \u003d a a a a ... a (n пъти)

b k \u003d b b b b a ... b (k пъти) Обосновете отговора си.

II. Организиране на самооценка на обучавания по степента на притежаване на съответния опит. (стъпка 2)

Тест за самопроверка: (самостоятелна работа в два варианта.)

A1) Изразете произведението 7 7 7 7 x x x като степен:

A2) Изразете като произведение степента (-3) 3 x 2

A3) Изчислете: -2 3 2 + 4 5 3

Подбирам броя на задачите в теста в съответствие с подготовката на класа.

За теста давам ключ за самотест. Критерии: издържан-неуспешен.

III. Учебно-практическа задача (стъпка 3) + стъпка 4. (учениците сами ще формулират свойствата)

изчислете: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

Опростете: a 2 a 20 =? b 30 b 10 b 15 =?

В хода на решаването на задачи 1) и 2) учениците предлагат решение, а аз, като учител, организирам клас, за да намеря начин за опростяване на степените при умножение с еднакви основи.

Учител: измислете начин за опростяване на степени при умножение с една и съща основа.

В клъстера се появява запис:

Темата на урока е формулирана. Умножение на степени.

Учител: измислете правило за разделяне на степени с еднакви основи.

Разсъждение: какво действие проверява разделението? a 5: a 3 = ? че a 2 a 3 = a 5

Връщам се към схемата - клъстер и допълвам записа - ..при деление изваждам и добавям темата на урока. ...и деление на степени.

IV. Съобщаване на студентите за границите на знанията (като минимум и като максимум).

Учител: минималната задача за днешния урок е да научите как да прилагате свойствата на умножението и делението на степени с еднакви основи, а максималната: да прилагате умножението и делението заедно.

Пиша на дъската : a m a n = a m + n ; a m: a n = a m-n

V. Организация на изучаването на нов материал. (стъпка 5)

а) По учебник: № 403 (а, в, д) задачи с различна формулировка

No 404 (а, д, е) самостоятелна работа, след което организирам взаимна проверка, давам ключовете.

б) За каква стойност на m е в сила равенството? a 16 a m \u003d a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Задача: измислете подобни примери за разделяне.

в) № 417 (а), № 418 (а) Капани за ученици: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 \u003d a 2.

VI. Обобщаване на наученото, провеждане на диагностична работа (която насърчава учениците, а не учителите, да изучават тази тема) (стъпка 6)

диагностична работа.

Тест(поставете ключовете обратна странатест).

Варианти на задачата: представи като степен частното x 15: x 3; представи като степен произведението (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; за които m е вярно равенството a 16 a m = a 32; намерете стойността на израза h 0: h 2 с h = 0,2; пресметнете стойността на израза (5 2 5 0) : 5 2 .

Обобщение на урока. Отражение.Разделям класа на две групи.

Намерете аргументите от група I: в полза на познаването на свойствата на степента и група II - аргументи, които ще кажат, че можете да правите без свойства. Слушаме всички отговори, правим заключения. В следващите уроци можете да предложите статистически данни и да озаглавите рубриката „Не се вписва в главата ми!“

Средно човек изяжда 32 10 2 кг краставици през живота си.

Осата е в състояние да направи непрекъснат полет от 3,2 10 2 км.

Когато стъклото се напука, пукнатината се разпространява със скорост около 5 10 3 km/h.

Една жаба изяжда над 3 тона комари през живота си. Като използвате градуса, запишете в kg.

Най-плодовита е океанската риба - луната (Mola mola), която снася до 300 000 000 яйца с диаметър около 1,3 mm при едно хвърляне на хайвера. Напишете това число с градус.

VII. Домашна работа.

История справка. Кои числа се наричат ​​числа на Ферма.

стр.19. #403, #408, #417

Използвани книги:

Учебник "Алгебра-7", автори Ю.Н. Макаричев, Н.Г. Миндюк и др.

Дидактически материал за 7 клас, Л.В. Кузнецова, L.I. Звавич, С.Б. Суворов.

Енциклопедия по математика.

Вестник "Квант".

Свойства на степени, формулировки, доказателства, примери.

След като се определи степента на числото, е логично да се говори за степен свойства. В тази статия ще дадем основните свойства на степента на числото, като същевременно ще се докоснем до всички възможни показатели. Тук ще дадем доказателства за всички свойства на степента и ще покажем как тези свойства се прилагат при решаване на примери.

Навигация в страницата.

Свойства на степени с естествени показатели

По дефиниция на степен с естествен показател, степента на a n е произведението на n множителя, всеки от които е равен на a . Въз основа на това определение и използването свойства за умножение на реални числа, можем да получим и обосновем следното свойства на степен с естествен показател:

основното свойство на степента a m ·a n =a m+n , нейното обобщение a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ;

свойството на частични степени с еднакви основи a m:a n =a m−n ;

свойство на степента на продукта (a b) n =a n b n, неговото разширение (a 1 a 2 a k) n = a 1 n a 2 n a k n;

частно свойство в натура (a:b) n =a n:b n ;

степенуване (a m) n =a m n, неговото обобщение (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 ·n 2 ·... n k ;

сравняване на степен с нула:

• ако a>0, тогава a n >0 за всяко естествено n;
• ако a=0, тогава a n =0;
• ако a 2 m >0 , ако a 2 m−1 n ;
• ако m и n са естествени числа, така че m>n , тогава за 0m n и за a>0 неравенството a m >a n е вярно.

Веднага отбелязваме, че всички написани равенства са идентиченпри посочените условия, като дясната и лявата им част могат да се сменят. Например, основното свойство на фракцията a m a n = a m + n с опростяване на изразичесто се използва под формата a m+n = a m a n .

Сега нека разгледаме подробно всеки от тях.

Нека започнем със свойството на произведението на две степени с еднакви основи, което се нарича основното свойство на степента: за всяко реално число a и всякакви естествени числа m и n е вярно равенството a m ·a n =a m+n.

Нека докажем основното свойство на степента. По дефиниция на степен с естествен показател, произведението на степените с еднакви основи на формата a m a n може да бъде записано като произведението . Поради свойствата на умножението, полученият израз може да бъде записан като и този продукт е степента на a с естествен показател m+n, тоест a m+n. Това завършва доказателството.

Нека дадем пример, потвърждаващ основното свойство на степента. Нека вземем степени с еднакви основи 2 и естествени степени 2 и 3, според основното свойство на степента можем да запишем равенството 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Нека проверим неговата валидност, за което изчисляваме стойностите на изразите 2 2 ·2 3 и 2 5 . Извършвайки степенуване, имаме 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 и 2 5 =2 2 2 2 2=32 , тъй като получаваме равни стойности, тогава равенството 2 2 2 3 = 2 5 е вярно и потвърждава основното свойство на степента.

Основното свойство на степен, базирано на свойствата на умножението, може да се обобщи до произведението на три или повече степени с еднакви основи и естествени показатели. Така че за всяко число k от естествените числа n 1 , n 2 , …, n k равенството a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k е вярно.

Например, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 =(2.1) 17 .

Можете да преминете към следващото свойство на градусите с естествен показател - свойството на частични правомощия със същите основи: за всяко ненулево реално число a и произволни естествени числа m и n, отговарящи на условието m>n , е вярно равенството a m:a n =a m−n.

Преди да дадем доказателство за това свойство, нека обсъдим значението на допълнителните условия във формулировката. Условието a≠0 е необходимо, за да се избегне деленето на нула, тъй като 0 n =0, а когато се запознахме с делението, се съгласихме, че е невъзможно да се дели на нула. Условието m>n е въведено, за да не излизаме извън естествените показатели. Наистина, за m>n показателят a m−n е естествено число, в противен случай ще бъде или нула (което се случва, когато m−n) или отрицателно число (което се случва, когато m m−n a n =a (m−n) + n = a m От полученото равенство a m−n a n = a m и от връзката на умножение с деление следва, че a m−n е частична степен на a m и a n Това доказва свойството на частични степени с еднакви основи.

Да вземем пример. Да вземем две степени с еднакви бази π и естествени експоненти 5 и 2, разглежданото свойство на степента съответства на равенството π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

Сега помислете продукт степен свойство: естествената степен n на произведението на всеки две реални числа a и b е равна на произведението на степените a n и b n, тоест (a b) n =a n b n.

Наистина, по дефиниция на степен с естествен показател, имаме . Последна бройкавъз основа на свойствата на умножението може да се пренапише като , което е равно на a n b n .

Ето един пример: .

Това свойство се простира до степента на произведението на три или повече фактора. Това означава, че свойството естествена степен n на произведението от k фактора се записва като (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

За по-голяма яснота показваме това свойство с пример. За произведението на три фактора на степен 7 имаме .

Следващият имот е естествена собственост: частното на реалните числа a и b, b≠0 спрямо естествената степен n е равно на частното на степените a n и b n, тоест (a:b) n =a n:b n.

Доказателството може да се извърши с помощта на предишното свойство. Така че (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n и от равенството (a:b) n b n =a n следва, че (a:b) n е частно от a n върху b n.

Нека напишем това свойство, използвайки примера на конкретни числа: .

Сега нека глас степенно свойство: за всяко реално число a и всякакви естествени числа m и n степента на a m на степен n е равна на степента на a с показател m·n , тоест (a m) n =a m·n .

Например (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

Доказателството за степенното свойство в степен е следната верига от равенства: .

Разглежданото свойство може да бъде разширено до степен в степен в степен и т.н. Например, за всякакви естествени числа p, q, r и s равенството . За по-голяма яснота нека дадем пример с конкретни числа: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Остава да се спрем на свойствата на сравняване на степени с естествен показател.

Започваме с доказване на сравнителното свойство на нула и степен с естествен показател.

Първо, нека обосновем, че a n >0 за всяко a>0.

Произведението на две положителни числа е положително число, както следва от определението за умножение. Този факт и свойствата на умножението ни позволяват да твърдим, че резултатът от умножаването на произволен брой положителни числа също ще бъде положително число. А степента на a с естествен показател n по дефиниция е произведението на n множителя, всеки от които е равен на a. Тези аргументи ни позволяват да твърдим, че за всяка положителна основа a степента на a n е положително число. По силата на доказаното свойство 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 и .

Съвсем очевидно е, че за всяко естествено n с a=0 степента на a n е нула. Наистина, 0 n =0·0·…·0=0 . Например 0 3 =0 и 0 762 =0 .

Нека да преминем към отрицателните основи.

Нека започнем със случая, когато показателят е четно число, означим го като 2 m , където m е естествено число. Тогава . Според правилото за умножение на отрицателни числа всяко от произведенията на формата a a е равно на произведението на модулите на числата a и a, което означава, че е положително число. Следователно продуктът също ще бъде положителен. и степен a 2 m . Ето примери: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 и .

И накрая, когато основата на a е отрицателно число и показателят е нечетно число 2 m−1, тогава . Всички продукти a·a са положителни числа, произведението на тези положителни числа също е положително и неговото умножение по оставащото отрицателно число a води до отрицателно число. По силата на това свойство (−5) 3 17 n n е произведението на лявата и дясната част на n истински неравенства a свойства на неравенствата, важи и доказаното неравенство на вида a n n. Например, поради това свойство, неравенствата 3 7 7 и .

Остава да докажем последното изброени имотистепени с натурални показатели. Нека го формулираме. От двете степени с естествени показатели и еднакви положителни основи, по-малко от една, степента е по-голяма, чийто показател е по-малък; а от две степени с естествени показатели и еднакви основи по-големи от единица, по-голяма е степента, чийто показател е по-голям. Обръщаме се към доказателството за това свойство.

Нека докажем, че за m>n и 0m n . За да направим това, записваме разликата a m − a n и я сравняваме с нула. Записаната разлика след изваждане на n извън скобите ще приеме формата a n ·(a m−n −1) . Полученият продукт е отрицателен като произведението на положително число a n и отрицателно число a m−n −1 (a n е положително като естествена степен на положително число, а разликата a m−n −1 е отрицателна, тъй като m−n >0 поради началното условие m>n , откъдето следва, че за 0m−n е по-малко от едно). Следователно a m − a n m n , което трябваше да се докаже. Например даваме правилното неравенство.

Остава да се докаже и втората част от имота. Нека докажем, че за m>n и a>1, a m >a n е вярно. Разликата a m −a n след изваждане на n извън скобите приема формата a n ·(a m−n −1) . Това произведение е положително, тъй като за a>1 степента на a n е положително число, а разликата a m−n −1 е положително число, тъй като m−n>0 поради началното условие, а за a>1, степента на m−n е по-голяма от единица. Следователно a m − a n >0 и a m >a n , което трябваше да се докаже. Това свойство се илюстрира от неравенството 3 7 >3 2 .

Свойства на степените с цели показатели

Тъй като положителните цели числа са естествени числа, тогава всички свойства на степени с цели положителни показатели съвпадат точно със свойствата на степени с естествени показатели, изброени и доказани в предходния параграф.

Дефинирахме степен с отрицателен показател цяло число, както и степен с нулев показател, по такъв начин, че всички свойства на степени с естествен показател, изразени чрез равенства, остават валидни. Следователно всички тези свойства са валидни както за нулев показател, така и за отрицателен показател, докато, разбира се, основите на степените са различни от нула.

И така, за всички реални и ненулеви числа a и b, както и за всички цели числа m и n, са верни следните свойства на степени с цели показатели:

• a m a n \u003d a m + n;
• a m:a n = a m−n ;
• (a b) n = a n b n;
• (a:b) n =a n:b n ;
• (a m) n = a m n;
• ако n е положително цяло число, a и b са положителни числа и a n n и a−n>b−n ;
• ако m и n са цели числа и m>n, тогава за 0m n и за a>1 неравенството a m >a n е изпълнено.

За a=0, степените a m и a n имат смисъл само когато и m, и n са цели положителни числа, тоест естествени числа. Така току-що записаните свойства са валидни и за случаите, когато a=0 и числата m и n са цели положителни числа.

Не е трудно да се докаже всяко от тези свойства, за това е достатъчно да се използват дефинициите на степента с естествен и цял показател, както и свойствата на действията с реални числа. Като пример, нека докажем, че свойството степен е валидно както за положителни цели, така и за неположителни цели числа. За да направим това, трябва да покажем, че ако p е нула или естествено число и q е нула или естествено число, тогава равенствата (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) и (a −p) −q =a (−p) (−q) . Хайде да го направим.

За положителни p и q, равенството (a p) q =a p·q беше доказано в предишния подраздел. Ако p=0 , тогава имаме (a 0) q =1 q =1 и a 0 q =a 0 =1 , откъдето (a 0) q =a 0 q . По същия начин, ако q=0, тогава (a p) 0 =1 и a p 0 =a 0 =1, откъдето (a p) 0 =a p 0 . Ако и двете p=0 и q=0 , тогава (a 0) 0 =1 0 =1 и a 0 0 =a 0 =1 , откъдето (a 0) 0 =a 0 0 .

Нека сега докажем, че (a −p) q =a (−p) q . По дефиниция на степен с отрицателен показател цяло число , тогава . По свойството на частното в степента имаме . Тъй като 1 p =1·1·…·1=1 и , тогава . Последният израз по дефиниция е степен от формата a −(p q) , която по силата на правилата за умножение може да бъде записана като a (−p) q .

по същия начин .

И .

По същия принцип могат да се доказват всички други свойства на степен с цяло число, записани под формата на равенства.

В предпоследното от записаните свойства си струва да се спрем на доказателството на неравенството a −n >b −n , което е вярно за всяко отрицателно цяло число −n и всяко положително a и b, за които условието a . Записваме и трансформираме разликата между лявата и дясната част на това неравенство: . Тъй като по условие а n n , следователно b n − a n >0 . Произведението a n ·b n също е положително като произведението на положителните числа a n и b n . Тогава получената дроб е положителна като частно от положителните числа b n − a n и a n b n . Следователно, откъдето a −n >b −n , което трябваше да се докаже.

Последното свойство на степени с цели показатели се доказва по същия начин, както аналогичното свойство на степени с естествени показатели.

Свойства на степени с рационални показатели

Дефинирахме степента с дробен показател, като разширихме свойствата на степен с целочислен показател към него. С други думи, степени с дробни показатели имат същите свойства като степени с цели числа. а именно:

1. свойство на произведението на степените с една и съща основа за a>0 , и ако и , тогава за a≥0 ;
2. свойство на частични правомощия със същите основи за a>0 ;
3. свойство на дробен продукт за a>0 и b>0 , и ако и , тогава за a≥0 и (или) b≥0 ;
4. частно свойство на дробна степен за a>0 и b>0 , и ако , тогава за a≥0 и b>0 ;
5. степен свойство в степен за a>0 , и ако и , тогава за a≥0 ;
6. свойството за сравняване на степени с равни рационални показатели: за всякакви положителни числа a и b, a 0 е валидно неравенството a p p, а за p p >b p ;
7. свойството за сравняване на степени с рационални показатели и равни бази: за рационални числа p и q, p>q за 0p q, а за a>0, неравенството a p >a q .

Доказателството за свойствата на степените с дробни показатели се основава на дефиницията на степен с дробен показател, върху свойствата на аритметичния корен на n-та степен и върху свойствата на степен с цяло число. Нека дадем доказателство.

По дефиниция на степента с дробен показател и , тогава . Свойствата на аритметичния корен ни позволяват да напишем следните равенства. Освен това, използвайки свойството на степента с цяло число, получаваме , откъдето, по дефиницията на степен с дробен показател, имаме , а показателят на получената степен може да се преобразува както следва: . Това завършва доказателството.

Второто свойство на степените с дробни показатели се доказва по абсолютно същия начин:


Останалите равенства се доказват по подобни принципи:


Обръщаме се към доказателството за следващото свойство. Нека докажем, че за всяко положително a и b , a 0 е валидно неравенството a p p, а за p p >b p . Записваме рационалното число p като m/n, където m е цяло число, а n е естествено число. Условията p 0 в този случай ще бъдат съответно еквивалентни на условията m 0. За m>0 и am m. От това неравенство, по свойството на корените, имаме , и тъй като a и b са положителни числа, тогава, въз основа на дефиницията на степента с дробен показател, полученото неравенство може да бъде пренаписано като , тоест a p p .

По същия начин, когато m m >b m , откъдето , тоест и a p >b p .

Остава да докажем последното от изброените свойства. Нека докажем, че за рационални числа p и q , p>q за 0p q , а за a>0 неравенството a p >a q . Винаги можем да сведем рационалните числа p и q до общ знаменател, нека получим обикновени дроби и , където m 1 и m 2 са цели числа, а n е естествено число. В този случай условието p>q ще съответства на условието m 1 >m 2, което следва от правилото за сравняване на обикновени дроби с еднакви знаменатели. След това, чрез свойството за сравняване на степени с еднакви основи и естествени показатели, за 0m 1 m 2 и за a>1, неравенството a m 1 >a m 2 . Тези неравенства по отношение на свойствата на корените могат да бъдат пренаписани съответно като и . А дефиницията на степен с рационален показател ни позволява да преминем към неравенствата и съответно. От тук правим крайния извод: за p>q и 0p q , и за a>0, неравенството a p >a q .

Свойства на степени с ирационални показатели

От това как се дефинира степен с ирационален показател, можем да заключим, че тя има всички свойства на степени с рационален показател. Така че за всяко a>0, b>0 и ирационални числа p и q е вярно следното свойства на степени с ирационални показатели:

1. a p a q = a p + q ;
2. a p:a q = a p−q ;
3. (a b) p = a p b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q = a p q ;
6. за всякакви положителни числа a и b , a 0 е валидно неравенството a p p, а за p p >b p ;
7. за ирационални числа p и q , p>q за 0p q , а за a>0 неравенството a p >a q .

От това можем да заключим, че степени с всякакви реални показатели p и q за a>0 имат същите свойства.

• Алгебра - 10 клас. Тригонометрични уравнения Урок и презентация по темата: "Решение на най-простите тригонометрични уравнения" Допълнителни материали Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, предложения! Всички материали […]
• Обявява се конкурс за позицията „ПРОДАВАЧ – КОНСУЛТАНТ”: Отговорности: продажби мобилни телефонии аксесоари за мобилни комуникациисервизна поддръжка за абонати на Beeline, Tele2, MTS тарифни плановеи услуги Beeline и Tele2, MTS консултиране […]
• Паралелепипед по формулата Паралелепипед е многостен с 6 лица, всяко от които е успоредник. Кубоидът е кубоид, чието лице е правоъгълник. Всеки паралелепипед се характеризира с 3 […]
• Общество за защита на правата на потребителите Астана За да получите пин код за достъп до този документ на нашия уебсайт, изпратете SMS съобщение с текст zan на номер Абонати на GSM оператори (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) чрез изпращане на SMS до стаята, […]
• ПРАВОПИС Н И НН В РАЗЛИЧНИТЕ ЧАСТИ НА РЕЧТА 2. Посочете изключенията от тези правила. 3. Как да различим отглаголно прилагателно с наставка -n- от причастие с […]
• Приемете закона за семейните чифлици Приемете федералният законотносно безплатното разпределение на всеки желаещ гражданин Руска федерацияили семейство граждани на парцел земя за уреждане на чифлик на роднини върху него при следните условия: 1. Парцелът е разпределен за […]
• ИНСПЕКЦИЯ НА ГОСТЕХНАДЗОР НА БРЯНСКА ОБЛАСТ Квитанция за плащане на държавно мито (Изтегляне-12,2 kb) Заявления за регистрация за физически лица (Изтегляне-12 kb) Заявления за регистрация за юридически лица (Изтегляне-11,4 kb) 1. При регистрация на нов автомобил : 1.заявление 2.паспорт […]
• Отдавна не сме играли турнири 1х1. И е време да възобновим тази традиция. Докато можем да организираме отделна стълба и турнири за играчи 1v1, предлагаме да използвате профилите на вашите отбори на уебсайта. Извадете или добавете точки за игри в мачове […]

Очевидно числата със степени могат да се събират като други количества , като ги добавяте един по един със знаците им.

И така, сумата от a 3 и b 2 е a 3 + b 2 .
Сумата от a 3 - b n и h 5 -d 4 е a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Коефициенти същите степени на едни и същи променливимогат да се добавят или изваждат.

И така, сумата от 2a 2 и 3a 2 е 5a 2 .

Също така е очевидно, че ако вземем два квадрата a, или три квадрата a, или пет квадрата a.

Но градуси различни променливии различни степени идентични променливи, трябва да се добавят чрез добавянето им към техните знаци.

И така, сборът от 2 и 3 е сборът от 2 + a 3.

Очевидно е, че квадратът на a и кубът на a не са нито два пъти квадрат на a, а два пъти куб на a.

Сборът от a 3 b n и 3a 5 b 6 е a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Изважданестепените се извършват по същия начин като събирането, с изключение на това, че знаците на субтрахенда трябва да бъдат съответно променени.

Или:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Степенно умножение

Числата със степени могат да се умножават като други количества, като се записват едно след друго, със или без знака за умножение между тях.

И така, резултатът от умножаването на a 3 по b 2 е a 3 b 2 или aaabb.

Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Резултатът в последния пример може да бъде подреден чрез добавяне на същите променливи.
Изразът ще приеме формата: a 5 b 5 y 3 .

Чрез сравняване на няколко числа (променливи) със степени можем да видим, че ако произволни две от тях се умножат, тогава резултатът е число (променлива) със степен, равна на сумастепени на термини.

И така, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Тук 5 е степента на резултата от умножението, равна на 2 + 3, сумата от степените на членовете.

И така, a n .a m = a m+n .

За a n, a се взема като фактор толкова пъти, колкото е степента на n;

И a m се взема като фактор толкова пъти, на колкото е равна степента m;

Ето защо, степени с еднакви основи могат да се умножат чрез добавяне на показателите.

И така, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Умножете (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Отговор: x 4 - y 4.
Умножете (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Това правило е вярно и за числа, чиито показатели са - отрицателен.

1. И така, a -2 .a -3 = a -5 . Това може да се запише като (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ако a + b се умножат по a - b, резултатът ще бъде a 2 - b 2: т.е

Резултатът от умножаването на сбора или разликата на две числа е равен на сбора или разликата на техните квадрати.

Ако сборът и разликата на две числа се повишат до квадрат, резултатът ще бъде равен на сбора или разликата на тези числа в четвъртостепен.

И така, (a - y). (a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Деление на степени

Числата със степени могат да бъдат разделени като други числа чрез изваждане от делителя или чрез поставянето им под формата на дроб.

Така че a 3 b 2 делено на b 2 е a 3 .

Или:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Записването на 5, разделено на 3, изглежда като $\frac(a^5)(a^3)$. Но това е равно на 2. В поредица от числа
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
всяко число може да бъде разделено на друго и показателят ще бъде равен на разликапоказатели за делими числа.

При деление на степени с еднаква основа се изваждат техните показатели..

И така, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Тоест $\frac(yyy)(yy) = y$.

И a n+1:a = a n+1-1 = a n. Тоест $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Или:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Правилото е валидно и за числа с отрицателенградусни стойности.
Резултатът от разделянето на -5 на -3 е -2.
Освен това $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Необходимо е много добре да се овладеят умножението и делението на степени, тъй като такива операции се използват много широко в алгебрата.

Примери за решаване на примери с дроби, съдържащи числа със степени

1. Намалете експонентите в $\frac(5a^4)(3a^2)$ Отговор: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Намалете експонентите в $\frac(6x^6)(3x^5)$. Отговор: $\frac(2x)(1)$ или 2x.

3. Намалете показателите a 2 / a 3 и a -3 / a -4 и ги приведете към общ знаменател.
a 2 .a -4 е -2 първи числител.
a 3 .a -3 е a 0 = 1, вторият числител.
a 3 .a -4 е a -1 , общият числител.
След опростяване: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Редуцирайте показателите 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и ги приведете към общ знаменател.
Отговор: 2a 3 / 5a 7 и 5a 5 / 5a 7 или 2a 3 / 5a 2 и 5/5a 2.

5. Умножете (a 3 + b)/b 4 по (a - b)/3.

6. Умножете (a 5 + 1)/x 2 по (b 2 - 1)/(x + a).

7. Умножете b 4 /a -2 по h -3 /x и a n /y -3 .

8. Разделете a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Отговор: a/y.

9. Разделете (h 3 - 1)/d 4 на (d n + 1)/h.

Напомняме ви, че в този урок разбираме степен свойствас натурални показатели и нула. Степените с рационални показатели и техните свойства ще бъдат разгледани в уроците за 8 клас.

Експонента с естествен показател има няколко важни свойства, които ви позволяват да опростите изчисленията в примери за степен.

Имот #1
Продукт на мощности

Помня!

При умножаване на степени с една и съща основа, основата остава непроменена, а показателите се добавят.

a m a n \u003d a m + n, където " a"- всяко число и" m", " n"- всякакви естествени числа.

Това свойство на степените също засяга произведението на три или повече степени.

• Опростете израза.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Присъства като степен.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Присъства като степен.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

важно!

Моля, обърнете внимание, че в посоченото свойство става дума само за умножаване на степени с същите основания . Не се отнася за добавянето им.

Не можете да замените сбора (3 3 + 3 2) с 3 5 . Това е разбираемо, ако
пресметнете (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 и 3 5 = 243

Имот №2
Частни степени

Помня!

При деление на степени с една и съща основа основата остава непроменена и показателят на делителя се изважда от показателя на делителя.

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44

Пример. Решете уравнението. Използваме свойството на частичните степени.
3 8: t = 3 4

T = 3 8 − 4

Отговор: t = 3 4 = 81

Използвайки свойства № 1 и № 2, можете лесно да опростявате изрази и да извършвате изчисления.

• Пример. Опростете израза.
  4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
• Пример. Намерете стойността на израз, като използвате свойствата на степента.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  важно!

  Моля, обърнете внимание, че свойство 2 се занимава само с разделението на правомощията със същите основи.

  Не можете да замените разликата (4 3 −4 2) с 4 1 . Това е разбираемо, ако вземем предвид (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 и 4 1 = 4

  Бъди внимателен!

  Имот #3
  степенуване

  Помня!

  При повишаване на степен на степен основата на степента остава непроменена, а показателите се умножават.

  (a n) m \u003d a n m, където "a" е произволно число, а "m", "n" са произволни естествени числа.

  
  

  Свойства 4
  Продуктова степен

  Помня!

  При повдигане на продукт на степен, всеки от факторите се повдига на степен. След това резултатите се умножават.

  (a b) n \u003d a n b n, където "a", "b" са произволни рационални числа; "n" - всяко естествено число.

  • Пример 1
    (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2
    
  • Пример 2
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  важно!

  Моля, обърнете внимание, че свойство № 4, подобно на други свойства на степените, също се прилага в обратен ред.

  (a n b n)= (a b) n

  Тоест, за да умножите степени с еднакви показатели, можете да умножите основите и да оставите степента непроменена.

  • Пример. Изчисли.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Пример. Изчисли.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  В повече трудни примериможе да има случаи, когато умножението и делението трябва да се извършват на степени с различни основи и различни степени. В този случай ви съветваме да направите следното.

  Например, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Пример за степенуване на десетична дроб.

  4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = четири

  Свойства 5
  Степен на частното (дроби)

  Помня!

  За да повдигнете частно на степен, можете да повдигнете дивидента и делителя поотделно на тази степен и да разделите първия резултат на втория.

  (a: b) n \u003d a n: b n, където "a", "b" са произволни рационални числа, b ≠ 0, n е всяко естествено число.

  • Пример. Изразете израза като частични степени.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Напомняме ви, че частното може да бъде представено като дроб. Затова ще се спрем по-подробно на темата за повдигане на дроб на степен на следващата страница.

Една от основните характеристики в алгебрата, а и в цялата математика, е степента. Разбира се, в 21 век всички изчисления могат да се извършват на онлайн калкулатор, но е по-добре да се научите как да го направите сами за развитието на мозъка.

В тази статия ще разгледаме най-важните въпроси относно това определение. А именно, ще разберем какво е това като цяло и какви са основните му функции, какви свойства съществуват в математиката.

Нека да разгледаме примери как изглежда изчислението, какви са основните формули. Ще анализираме основните видове величини и как те се различават от другите функции.

Ще разберем как да решаваме различни проблеми, използвайки тази стойност. Ще покажем с примери как се повдига на нулева степен, ирационално, отрицателно и т.н.

Онлайн калкулатор за степенуване

Каква е степента на числото

Какво означава изразът „повдигнете число на степен“?

Степента n на число a е произведението на множителите с големина a n пъти подред.

Математически изглежда така:

a n = a * a * a * …a n .

Например:

• 2 3 = 2 в третата стъпка. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 в стъпка. две = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 в стъпка. четири = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 в 5 стъпка. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000;
• 10 4 \u003d 10 в 4 стъпки. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

По-долу има таблица с квадратчета и кубчета от 1 до 10.

Таблица на градусите от 1 до 10

По-долу са резултатите от повишаване на естествените числа на положителни степени - "от 1 до 100".

Ч-ло	2 клас	3 клас
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Свойства на степента

Какво е характерно за такава математическа функция? Нека да разгледаме основните свойства.

Учените са установили следното признаци, характерни за всички степени:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m = (a) (b*m) .

Нека проверим с примери:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. От друга страна 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

По същия начин: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. В противен случай 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Ами ако е различно? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Както можете да видите, правилата работят.

Но как да бъде със събиране и изваждане? Всичко е просто. Първо се извършва степенуване и едва след това събиране и изваждане.

Нека да разгледаме примери:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Но в този случай първо трябва да изчислите добавянето, тъй като има действия в скоби: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Как да произвеждаме компютри в повече трудни случаи ? Редът е същият:

• ако има скоби, трябва да започнете с тях;
• след това степенуване;
• след това извършват операции умножение, деление;
• след събиране, изваждане.

Има специфични свойства, които не са характерни за всички степени:

1. Коренът на степен n от числото a до степен m ще бъде записан като: a m / n .
2. При повдигане на дроб на степен: както числителят, така и знаменателят му са предмет на тази процедура.
3. При повдигане на произведението на различни числа на степен, изразът ще съответства на произведението на тези числа на дадена степен. Тоест: (a * b) n = a n * b n.
4. Когато повдигате число на отрицателна степен, трябва да разделите 1 на число в същата стъпка, но със знак „+“.
5. Ако знаменателят на дроб е в отрицателна степен, тогава този израз ще бъде равен на произведението на числителя и знаменателя в положителна степен.
6. Произволно число на степен 0 = 1 и на стъпка. 1 = на себе си.

Тези правила са важни в отделни случаи, ще ги разгледаме по-подробно по-долу.

Степен с отрицателен показател

Какво да правим с отрицателна степен, т.е. когато индикаторът е отрицателен?

Въз основа на свойства 4 и 5(виж точката по-горе) Оказва се:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

И обратно:

1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Ами ако е дроб?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Степен с натурален показател

Разбира се като степен с показатели, равни на цели числа.

Неща, които трябва да запомните:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1…и т.н.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3… и т.н.

Освен това, ако (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...тогава резултатът ще бъде със знак "+". Ако отрицателно число се повдигне на нечетна степен, тогава обратното.

За тях са характерни и общи свойства, както и всички специфични характеристики, описани по-горе.

Дробна степен

Този изглед може да бъде написан като схема: A m / n. Чете се като: корен от n-та степен на числото A на степен m.

С дробен индикатор можете да направите всичко: да намалите, да разложите на части, да повишите до друга степен и т.н.

Степен с ирационален показател

Нека α е ирационално число и А ˃ 0.

За да разберете същността на степента с такъв индикатор, Нека разгледаме различни възможни случаи:

• A \u003d 1. Резултатът ще бъде равен на 1. Тъй като има аксиома - 1 е равно на едно във всички степени;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 са рационални числа;

• 0˂А˂1.

В този случай обратното: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 при същите условия като във втория параграф.

Например показателят е числото π.Това е рационално.

r 1 - в този случай е равно на 3;

r 2 - ще бъде равно на 4.

Тогава за A = 1, 1 π = 1.

A = 2, след това 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, след това (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Такива степени се характеризират с всички математически операции и специфични свойства, описани по-горе.

Заключение

Нека обобщим - за какво са тези стойности, какви са предимствата на такива функции? Разбира се, на първо място, те опростяват живота на математиците и програмистите при решаване на примери, тъй като позволяват минимизиране на изчисленията, намаляване на алгоритми, систематизиране на данни и много други.

Къде другаде могат да бъдат полезни тези знания? Във всяка работна специалност: медицина, фармакология, стоматология, строителство, технология, инженерство, дизайн и др.