Podľa van der Waerdena je veľmi pravdepodobné, že pomer vo všeobecnej forme bol známy už v Babylone okolo 18. storočia pred Kristom. e.
Približne 400 rokov pred Kr. e., podľa Prokla, Platón dal metódu na nájdenie pytagorejských trojíc kombinovaním algebry a geometrie. Okolo roku 300 p.n.l. e. v „Prvkoch“ Euklida sa objavil najstarší axiomatický dôkaz Pytagorovej vety.
Znenie
Hlavná formulácia obsahuje algebraické operácie - v pravouhlom trojuholníku, ktorého dĺžky sú rovnaké a (\displaystyle a) a b (\displaystyle b), a dĺžka prepony je c (\displaystyle c), vzťah je splnený:
.Je tiež možná ekvivalentná geometrická formulácia, ktorá sa uchýli k pojmu plocha číslo: v pravouhlom trojuholníku sa plocha štvorca postaveného na prepone rovná súčtu plôch štvorcov postavených na nohách. V tejto forme je veta formulovaná v Euklidovom princípe.
Inverzná Pytagorova veta- výrok o pravouhlosti ľubovoľného trojuholníka, ktorého dĺžky strán súvisí vzťahom a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). V dôsledku toho pre akúkoľvek trojicu kladných čísel a (\displaystyle a), b (\displaystyle b) a c (\displaystyle c), také že a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), tam je pravouhlý trojuholník s nohami a (\displaystyle a) a b (\displaystyle b) a preponu c (\displaystyle c).
Dôkaz
Vo vedeckej literatúre bolo zaznamenaných najmenej 400 dôkazov Pytagorovej vety, čo sa vysvetľuje tak základnou hodnotou pre geometriu, ako aj elementárnosťou výsledku. Hlavné smery dôkazov sú: algebraické využitie pomerov prvkov trojuholník (ako je napríklad populárna metóda podobnosti), plošná metóda, existujú aj rôzne exotické dôkazy (napríklad pomocou diferenciálnych rovníc).
Cez podobné trojuholníky
Cieľom Euklidovho klasického dôkazu je stanoviť rovnosť plôch medzi obdĺžnikmi vytvorenými z disekcie štvorca nad preponou o výšku z pravého uhla so štvorcami nad nohami.
Konštrukcia použitá na dôkaz je nasledovná: pre pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C (\displaystyle C), štvorce nad nohami a a štvorce nad preponou A B I K (\displaystyle ABIK) výška sa stavia CH (\displaystyle CH) a lúč, ktorý v ňom pokračuje s (\displaystyle s), rozdelenie štvorca nad preponou na dva obdĺžniky a . Dôkaz je zameraný na stanovenie rovnosti plôch obdĺžnika A H J K (\displaystyle AHJK) so štvorcom cez nohu A C (\displaystyle AC); Rovnosť plôch druhého obdĺžnika, ktorým je štvorec nad preponou, a obdĺžnika nad druhým ramenom sa stanoví podobným spôsobom.
Rovnosť plôch obdĺžnika A H J K (\displaystyle AHJK) a A C E D (\displaystyle ACED) stanovené prostredníctvom zhody trojuholníkov △ A C K (\displaystyle \trojuholník ACK) a △ A B D (\displaystyle \trojuholník ABD), pričom plocha každého z nich sa rovná polovici plochy štvorcov A H J K (\displaystyle AHJK) a A C E D (\displaystyle ACED) v spojení s nasledujúcou vlastnosťou: plocha trojuholníka sa rovná polovici plochy obdĺžnika, ak majú postavy spoločnú stranu, a výška trojuholníka k spoločnej strane je druhá strana obdĺžnik. Zhoda trojuholníkov vyplýva z rovnosti dvoch strán (strany štvorcov) a uhla medzi nimi (zloženého z pravého uhla a uhla v A (\displaystyle A).
Dôkaz teda stanovuje, že plocha štvorca nad preponou sa skladá z obdĺžnikov A H J K (\displaystyle AHJK) a B H J I (\displaystyle BHJI), sa rovná súčtu plôch štvorcov nad nohami.
Dôkaz Leonarda da Vinciho
Plošná metóda zahŕňa aj dôkaz, ktorý našiel Leonardo da Vinci. Nech existuje pravouhlý trojuholník △ A B C (\displaystyle \trojuholník ABC) pravý uhol C (\displaystyle C) a štvorcov A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG) a A B H J (\displaystyle ABHJ)(pozri obrázok). V tomto dôkaze na strane H J (\displaystyle HJ) ten druhý, trojuholník je zostrojený smerom von, zhodný △ A B C (\displaystyle \trojuholník ABC), navyše odráža vo vzťahu k prepone aj vo vzťahu k výške k nej (tj. J I = B C (\displaystyle JI=BC) a H I = AC (\displaystyle HI=AC)). Rovno C I (\displaystyle CI) rozdeľuje štvorec postavený na prepone na dve rovnaké časti, pretože trojuholníky △ A B C (\displaystyle \trojuholník ABC) a △ J H I (\displaystyle \trojuholník JHI) v stavebníctve sú si rovní. Dôkaz stanovuje zhodnosť štvoruholníkov C A J I (\displaystyle CAJI) a D A B G (\displaystyle DABG), pričom plocha každého z nich sa na jednej strane rovná súčtu polovice plôch štvorcov na nohách a plochy pôvodného trojuholníka, na druhej strane polovici plochy štvorec na prepone plus plocha pôvodného trojuholníka. Celkovo sa polovica súčtu plôch štvorcov nad nohami rovná polovici plochy štvorca nad preponou, čo je ekvivalentné geometrickej formulácii Pytagorovej vety.
Dôkaz infinitezimálnou metódou
Existuje niekoľko dôkazov pomocou techniky diferenciálnych rovníc. Hardymu sa pripisuje najmä dôkaz pomocou nekonečne malých prírastkov nôh a (\displaystyle a) a b (\displaystyle b) a preponu c (\displaystyle c), a zachovanie podobnosti s pôvodným obdĺžnikom, teda zabezpečenie splnenia nasledujúcich diferenciálnych vzťahov:
d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).Metódou separácie premenných je z nich odvodená diferenciálna rovnica c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), ktorých integrácia dáva vzťah c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Aplikácia počiatočných podmienok a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) definuje konštantu ako 0, čo vedie k tvrdeniu vety.
Kvadratická závislosť v konečnom vzorci sa objavuje v dôsledku lineárnej úmernosti medzi stranami trojuholníka a prírastkami, zatiaľ čo súčet je spôsobený nezávislými príspevkami prírastku rôznych častí.
Variácie a zovšeobecnenia
Podobné geometrické tvary na troch stranách
Dôležité geometrické zovšeobecnenie Pytagorovej vety dal Euklides v „Začiatkoch“, pričom sa presunul od plôch štvorcov na stranách k plochám ľubovoľných podobných geometrických útvarov: súčet plôch takýchto útvarov postavených na nohách bude rovná ploche postavy podobnej im, postavenej na prepone.
Hlavnou myšlienkou tohto zovšeobecnenia je, že plocha takéhoto geometrického útvaru je úmerná štvorcu ľubovoľného z jeho lineárnych rozmerov a najmä štvorcu dĺžky ktorejkoľvek strany. Preto pre podobné čísla s plochami A (\displaystyle A), B (\displaystyle B) a C (\displaystyle C) postavené na nohách s dĺžkami a (\displaystyle a) a b (\displaystyle b) a preponu c (\displaystyle c) podľa toho existuje vzťah:
A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2))\,\šípka doprava \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).Keďže podľa Pytagorovej vety a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), potom je hotovo.
Okrem toho, ak je možné dokázať bez použitia Pytagorovej vety, že pre plochy troch podobných geometrických útvarov na stranách pravouhlého trojuholníka platí nasledujúci vzťah: A + B = C (\displaystyle A+B=C), potom pomocou rubu dôkazu Euklidovho zovšeobecnenia môžeme odvodiť dôkaz Pytagorovej vety. Napríklad, ak na prepone zostrojíme pravouhlý trojuholník zhodný s počiatočnou preponou s plochou C (\displaystyle C), a na nohách - dva podobné pravouhlé trojuholníky s plochami A (\displaystyle A) a B (\displaystyle B), potom sa ukáže, že trojuholníky na nohách sú tvorené v dôsledku delenia počiatočného trojuholníka jeho výškou, to znamená, že súčet dvoch menších oblastí trojuholníkov sa rovná ploche tretieho, teda A + B = C (\displaystyle A+B=C) a použitím vzťahu pre podobné útvary je odvodená Pytagorova veta.
Kosínusová veta
Pytagorova veta je špeciálnym prípadom všeobecnejšej kosínusovej vety, ktorá spája dĺžky strán v ľubovoľnom trojuholníku:
a 2 + b 2 − 2 a b cos θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),kde je uhol medzi stranami a (\displaystyle a) a b (\displaystyle b). Ak je uhol 90°, tak cos θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0) a vzorec sa zjednoduší na obvyklú Pytagorovu vetu.
Ľubovoľný trojuholník
Existuje zovšeobecnenie Pytagorovej vety na ľubovoľný trojuholník, ktorý funguje výlučne na pomere dĺžok strán a predpokladá sa, že ho prvýkrát vytvoril sabovský astronóm Sabit ibn Kurra. V ňom, pre ľubovoľný trojuholník so stranami, rovnoramenný trojuholník so základňou na strane c (\displaystyle c), vrchol sa zhoduje s vrcholom pôvodného trojuholníka oproti strane c (\displaystyle c) a uhly na základni rovné uhlu θ (\displaystyle \theta ) opačná strana c (\displaystyle c). V dôsledku toho sa vytvoria dva trojuholníky, podobné pôvodnému: prvý so stranami a (\displaystyle a), bočná strana vpísaného rovnoramenného trojuholníka ďaleko od nej, a r (\displaystyle r)- bočné diely c (\displaystyle c); druhá je k nej zboku symetrická b (\displaystyle b) s partiou s (\displaystyle s)- príslušná časť strany c (\displaystyle c). V dôsledku toho je splnený vzťah:
a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),ktorá degeneruje do Pytagorovej vety pri θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Pomer je dôsledkom podobnosti vytvorených trojuholníkov:
c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\šípka doprava \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).Pappusova oblasťová veta
Neeuklidovská geometria
Pytagorova veta je odvodená z axióm Euklidovej geometrie a je neplatná pre neeuklidovskú geometriu – naplnenie Pytagorovej vety sa rovná postulátu Euklidovskej o rovnobežnosti.
V neeuklidovskej geometrii bude vzťah medzi stranami pravouhlého trojuholníka nevyhnutne vo forme odlišnej od Pytagorovej vety. Napríklad v sférickej geometrii majú všetky tri strany pravouhlého trojuholníka, ktorý spája oktant jednotkovej gule, dĺžku π / 2 (\displaystyle \pi /2), čo je v rozpore s Pytagorovou vetou.
Navyše Pytagorova veta platí v hyperbolickej a eliptickej geometrii, ak sa požiadavka, že trojuholník je pravouhlý, nahradí podmienkou, že súčet dvoch uhlov trojuholníka sa musí rovnať tretiemu.
sférická geometria
Pre ľubovoľný pravouhlý trojuholník na guli s polomerom R (\displaystyle R)(napríklad ak je uhol v trojuholníku pravý) so stranami a , b , c (\displaystyle a,b,c) vzťah medzi stranami je:
cos (c R) = cos (a R) ⋅ cos (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)).Túto rovnosť možno odvodiť ako špeciálny prípad sférickej kosínusovej vety, ktorá platí pre všetky sférické trojuholníky:
cos (c R) = cos (a R) ⋅ cos (b R) + sin (a R) ⋅ sin (b R) ⋅ cos γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch c = ch a ⋅ ch b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),kde ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- hyperbolický kozín. Tento vzorec je špeciálnym prípadom hyperbolickej kosínusovej vety, ktorá platí pre všetky trojuholníky:
ch c = ch a ⋅ ch b − sh a ⋅ sh b ⋅ cos γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (sh) a\cdot \operatorname (sh) b\cdot \cos \gamma ),kde γ (\displaystyle \gamma )- uhol, ktorého vrchol je oproti strane c (\displaystyle c).
Použitie Taylorovho radu pre hyperbolický kosínus ( ch x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\približne 1+x^(2)/2)) možno ukázať, že ak sa hyperbolický trojuholník zmenšuje (teda kedy a (\displaystyle a), b (\displaystyle b) a c (\displaystyle c) majú tendenciu k nule), potom sa hyperbolické vzťahy v pravouhlom trojuholníku približujú vzťahu klasickej Pytagorovej vety.
Aplikácia
Vzdialenosť v dvojrozmerných pravouhlých sústavách
Najdôležitejšou aplikáciou Pytagorovej vety je určiť vzdialenosť medzi dvoma bodmi v súradniciach pravouhlého systému: vzdialenosť s (\displaystyle s) medzi bodmi so súradnicami (a , b) (\displaystyle (a,b)) a (c, d) (\displaystyle (c,d)) rovná sa:
s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).Pre komplexné čísla dáva Pytagorova veta prirodzený vzorec na nájdenie modulového komplexného čísla – napr. z = x + y i (\displaystyle z=x+yi) rovná sa dĺžke
Veta
V pravouhlom trojuholníku sa druhá mocnina dĺžky prepony rovná súčtu druhých mocnín dĺžok nôh (obr. 1):
$c^(2)=a^(2)+b^(2)$
Dôkaz Pytagorovej vety
Nech trojuholník $A B C$ je pravouhlý trojuholník s pravým uhlom $C$ (obr. 2).
Nakreslíme výšku od vrcholu $C$ po preponu $A B$, základňu výšky označíme ako $H$ .
Pravoúhlý trojuholník $A C H$ je podobný trojuholníku $A B C$ v dvoch uhloch ($\uhol A C B=\uhol C H A=90^(\circ)$, $\uhol A$ je bežný). Podobne trojuholník $C B H$ je podobný ako $A B C$ .
Predstavenie notácie
$$B C=a, A C=b, A B=c$$
z podobnosti trojuholníkov dostaneme, že
$$\frac(a)(c)=\frac(H B)(a), \frac(b)(c)=\frac(A H)(b)$$
Preto to máme
$$a^(2)=c \cdot H B, b^(2)=c \cdot A H$$
Sčítaním získaných rovnosti dostaneme
$$a^(2)+b^(2)=c \cdot H B+c \cdot A H$$
$$a^(2)+b^(2)=c \cdot(H B+A H)$$
$$a^(2)+b^(2)=c \cdot A B$$
$$a^(2)+b^(2)=c \cdot c$$
$$a^(2)+b^(2)=c^(2)$$
Q.E.D.
Geometrická formulácia Pytagorovej vety
Veta
V pravouhlom trojuholníku sa plocha štvorca postaveného na prepone rovná súčtu plôch štvorcov postavených na nohách (obr. 2):
Príklady riešenia problémov
Príklad
Cvičenie. Dostanete pravouhlý trojuholník $A B C$, ktorého nohy sú 6 cm a 8 cm. Nájdite preponu tohto trojuholníka.
Riešenie. Podľa stavu nohy $a=6$ cm, $b=8$ cm Potom podľa Pytagorovej vety druhá mocnina prepony
$c^(2)=a^(2)+b^(2)=6^(2)+8^(2)=36+64=100 $
Dostaneme teda požadovanú preponu
$c=\sqrt(100)=10$ (cm)
Odpoveď. 10 cm
Príklad
Cvičenie. Nájdite oblasť pravouhlého trojuholníka, ak je známe, že jedna z jeho nôh je o 5 cm dlhšia ako druhá a prepona je 25 cm.
Riešenie. Nech $x$ cm je dĺžka menšej nohy, potom $(x+5)$ cm je dĺžka väčšej nohy. Potom podľa Pytagorovej vety máme:
$$x^(2)+(x+5)^(2)=25^(2)$$
Otvoríme zátvorky, zmenšíme podobné a vyriešime výslednú kvadratickú rovnicu:
$x^(2)+5 x-300=0$
Podľa Vietovej vety to dostaneme
$x_(1)=15$ (cm) , $x_(2)=-20$ (cm)
Hodnota $x_(2)$ nespĺňa podmienku úlohy, čo znamená, že menšia noha má 15 cm a väčšia 20 cm.
Plocha pravouhlého trojuholníka je polovica súčinu dĺžok jeho nôh, to znamená
$$S=\frac(15 \cdot 20)(2)=15 \cdot 10=150\left(\mathrm(cm)^(2)\right)$$
Odpoveď.$S=150\vľavo(\mathrm(cm)^(2)\vpravo)$
Odkaz na históriu
Pytagorova veta- jedna zo základných teorém euklidovskej geometrie, stanovujúca vzťah medzi stranami pravouhlého trojuholníka.
Staroveká čínska kniha „Zhou bi suan jing“ hovorí o pytagorejskom trojuholníku so stranami 3, 4 a 5. Najväčší nemecký historik matematiky Moritz Kantor (1829 - 1920) verí, že rovnosť $3^(2)+4^(2 )=5^ (2) $ poznali už Egypťania okolo roku 2300 pred Kr. Podľa vedca potom stavitelia postavili pravé uhly pomocou pravouhlých trojuholníkov so stranami 3, 4 a 5. O Pytagorovej vete je medzi Babylončanmi známe niečo viac. Jeden text uvádza približný výpočet prepony rovnoramenného pravouhlého trojuholníka.
V súčasnosti je vo vedeckej literatúre zaznamenaných 367 dôkazov tejto vety. Pravdepodobne je Pytagorova veta jedinou vetou s takým pôsobivým počtom dôkazov. Takáto rozmanitosť sa dá vysvetliť iba základným významom vety pre geometriu.
Jednou vecou si môžete byť stopercentne istí, že na otázku, aká je druhá mocnina prepony, každý dospelý smelo odpovie: "Súčet štvorcov nôh." Táto veta je pevne zakorenená v mysli každého vzdelaného človeka, ale stačí niekoho požiadať, aby to dokázal, a potom môžu nastať ťažkosti. Preto si zapamätajme a pouvažujme o rôznych spôsoboch dokazovania Pytagorovej vety.
Stručný prehľad životopisu
Pytagorova veta je známa takmer každému, ale z nejakého dôvodu nie je biografia osoby, ktorá ju vytvorila, taká populárna. Opravíme to. Preto pred štúdiom rôznych spôsobov dokazovania Pytagorovej vety sa musíte krátko zoznámiť s jeho osobnosťou.
Pythagoras - filozof, matematik, mysliteľ, dnes je veľmi ťažké rozlíšiť jeho životopis od legiend, ktoré sa vyvinuli na pamiatku tohto veľkého muža. Ale ako vyplýva zo spisov jeho nasledovníkov, Pytagoras zo Samosu sa narodil na ostrove Samos. Jeho otec bol obyčajný kamenár, ale matka pochádzala zo šľachtickej rodiny.
Podľa legendy narodenie Pythagorasa predpovedala žena menom Pythia, na počesť ktorej bol chlapec pomenovaný. Podľa jej predpovede mal narodený chlapec priniesť ľudstvu veľa výhod a dobra. Čo v skutočnosti urobil.
Zrod vety
V mladosti sa Pytagoras presťahoval do Egypta, aby sa tam stretol so slávnymi egyptskými mudrcami. Po stretnutí s nimi bol prijatý na štúdium, kde spoznal všetky veľké úspechy egyptskej filozofie, matematiky a medicíny.
Pravdepodobne to bolo v Egypte, kde sa Pytagoras inšpiroval majestátnosťou a krásou pyramíd a vytvoril svoju veľkú teóriu. Čitateľov to môže šokovať, no moderní historici veria, že Pytagoras svoju teóriu nepreukázal. Svoje poznatky ale len odovzdal svojim nasledovníkom, ktorí neskôr dokončili všetky potrebné matematické výpočty.
Nech je to akokoľvek, dnes nie je známa jedna technika na dokázanie tejto vety, ale niekoľko naraz. Dnes môžeme len hádať, ako presne starí Gréci robili svoje výpočty, takže tu zvážime rôzne spôsoby dokázania Pytagorovej vety.
Pytagorova veta
Predtým, ako začnete s akýmikoľvek výpočtami, musíte zistiť, ktorú teóriu chcete dokázať. Pytagorova veta znie takto: "V trojuholníku, v ktorom je jeden z uhlov 90 o, sa súčet štvorcov nôh rovná druhej mocnine prepony."
Celkovo existuje 15 rôznych spôsobov, ako dokázať Pytagorovu vetu. Ide o pomerne veľké číslo, preto venujme pozornosť najobľúbenejším z nich.
Metóda jedna
Najprv si definujme, čo máme. Tieto údaje budú platiť aj pre iné spôsoby dokazovania Pytagorovej vety, takže by ste si mali okamžite zapamätať všetky dostupné zápisy.
Predpokladajme, že je daný pravouhlý trojuholník s nohami a, b a preponou rovnou c. Prvý spôsob dôkazu je založený na skutočnosti, že z pravouhlého trojuholníka treba nakresliť štvorec.
Aby ste to dosiahli, musíte nakresliť segment rovný nohe do dĺžky nohy a a naopak. Takže by sa mali ukázať dve rovnaké strany štvorca. Zostáva len nakresliť dve rovnobežné čiary a štvorec je pripravený.
Vo výslednom obrázku musíte nakresliť ďalší štvorec so stranou rovnajúcou sa prepone pôvodného trojuholníka. Aby ste to dosiahli, z vrcholov ac a sv musíte nakresliť dva paralelné segmenty rovné c. Tak dostaneme tri strany štvorca, z ktorých jedna je prepona pôvodného pravouhlého trojuholníka. Zostáva len nakresliť štvrtý segment.
Na základe výsledného čísla môžeme konštatovať, že plocha vonkajšieho štvorca je (a + b) 2. Ak sa pozriete dovnútra obrázku, môžete vidieť, že okrem vnútorného štvorca má štyri pravouhlé trojuholníky. Plocha každého z nich je 0,5 priem.
Preto je oblasť: 4 * 0,5av + s 2 \u003d 2av + s 2
Preto (a + c) 2 \u003d 2av + c 2
A preto s 2 \u003d a 2 + v 2
Veta bola dokázaná.
Metóda dva: podobné trojuholníky
Tento vzorec na dôkaz Pytagorovej vety bol odvodený na základe výroku z časti geometrie o podobných trojuholníkoch. Hovorí, že rameno pravouhlého trojuholníka je stred úmerný jeho prepone a úsečke prepony vychádzajúcej z vrcholu uhla 90 o.
Počiatočné údaje zostávajú rovnaké, takže začnime hneď s dôkazom. Nakreslíme úsečku CD kolmú na stranu AB. Na základe vyššie uvedeného tvrdenia sú nohy trojuholníkov rovnaké:
AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.
Aby sme odpovedali na otázku, ako dokázať Pytagorovu vetu, dôkaz musí byť podaný umocnením oboch nerovností.
AC 2 \u003d AB * HELL a SV 2 \u003d AB * DV
Teraz musíme pridať výsledné nerovnosti.
AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), kde AD + DV \u003d AB
Ukazuje sa, že:
AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB
A preto:
AC 2 + CB 2 \u003d AB 2
Dôkaz Pytagorovej vety a rôzne spôsoby jej riešenia si vyžadujú všestranný prístup k tomuto problému. Táto možnosť je však jednou z najjednoduchších.
Ďalší spôsob výpočtu
Opis rôznych spôsobov dokazovania Pytagorovej vety nemusí nič povedať, kým nezačnete cvičiť sami. Mnohé metódy zahŕňajú nielen matematické výpočty, ale aj konštrukciu nových útvarov z pôvodného trojuholníka.
V tomto prípade je potrebné doplniť ďalší pravouhlý trojuholník VSD z nohy lietadla. Teraz teda existujú dva trojuholníky so spoločnou nohou BC.
S vedomím, že plochy podobných útvarov majú pomer ako štvorce ich podobných lineárnych rozmerov, potom:
S avs * s 2 - S avd * v 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2
S avs * (od 2 do 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)
od 2 - do 2 \u003d a 2
c 2 \u003d a 2 + v 2
Keďže táto možnosť je sotva vhodná z rôznych metód dokazovania Pytagorovej vety pre ročník 8, môžete použiť nasledujúcu techniku.
Najjednoduchší spôsob, ako dokázať Pytagorovu vetu. Recenzie
Historici sa domnievajú, že táto metóda bola prvýkrát použitá na preukázanie vety v starovekom Grécku. Je to najjednoduchšie, pretože nevyžaduje absolútne žiadne výpočty. Ak nakreslíte obrázok správne, bude jasne viditeľný dôkaz tvrdenia, že a 2 + b 2 \u003d c 2.
Podmienky pre túto metódu sa budú mierne líšiť od predchádzajúcej. Na dôkaz vety predpokladajme, že pravouhlý trojuholník ABC je rovnoramenný.
Zoberieme preponu AC ako stranu štvorca a nakreslíme jeho tri strany. Okrem toho je potrebné vo výslednom štvorci nakresliť dve diagonálne čiary. Takže vo vnútri získate štyri rovnoramenné trojuholníky.
K nohám AB a CB musíte tiež nakresliť štvorec a nakresliť jednu diagonálnu čiaru v každej z nich. Prvý riadok nakreslíme z vrcholu A, druhý - z C.
Teraz sa musíte dôkladne pozrieť na výsledný výkres. Keďže na prepone AC sú štyri trojuholníky, ktoré sa rovnajú pôvodnej prepone, a dva na nohách, naznačuje to pravdivosť tejto vety.
Mimochodom, vďaka tejto metóde dokazovania Pytagorovej vety sa zrodila slávna fráza: "Pytagorove nohavice sú si vo všetkých smeroch rovné."
Dôkaz od J. Garfielda
James Garfield je 20. prezidentom Spojených štátov amerických. Okrem toho, že ako vládca USA zanechal stopu v histórii, bol aj nadaným samoukom.
Na začiatku svojej kariéry bol obyčajným učiteľom na ľudovej škole, no čoskoro sa stal riaditeľom jednej z vysokých škôl. Túžba po sebarozvoji mu umožnila ponúknuť novú teóriu dôkazu Pytagorovej vety. Veta a príklad jej riešenia sú nasledovné.
Najprv musíte na kus papiera nakresliť dva pravouhlé trojuholníky tak, aby noha jedného z nich bola pokračovaním druhého. Vrcholy týchto trojuholníkov musia byť spojené, aby skončili lichobežníkom.
Ako viete, plocha lichobežníka sa rovná súčinu polovice súčtu jeho základov a výšky.
S=a+b/2 * (a+b)
Ak vezmeme do úvahy výsledný lichobežník ako obrazec pozostávajúci z troch trojuholníkov, potom jeho oblasť možno nájsť takto:
S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2
Teraz musíme vyrovnať dva pôvodné výrazy
2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2
c 2 \u003d a 2 + v 2
O Pytagorovej vete a o tom, ako ju dokázať, možno napísať viac ako jeden zväzok učebnice. Má to však zmysel, keď sa tieto poznatky nedajú uviesť do praxe?
Praktická aplikácia Pytagorovej vety
Bohužiaľ, moderné školské osnovy umožňujú použitie tejto vety iba v geometrických problémoch. Absolventi čoskoro opustia múry školy bez toho, aby vedeli, ako môžu svoje vedomosti a zručnosti uplatniť v praxi.
Pytagorovu vetu môže v bežnom živote použiť naozaj každý. A to nielen pri profesionálnych činnostiach, ale aj pri bežných domácich prácach. Uvažujme o niekoľkých prípadoch, keď Pytagorova veta a metódy jej dôkazu môžu byť mimoriadne potrebné.
Spojenie vety a astronómie
Zdalo by sa, ako môžu byť hviezdy a trojuholníky spojené na papieri. V skutočnosti je astronómia vedecký odbor, v ktorom sa Pytagorova veta široko používa.
Uvažujme napríklad o pohybe svetelného lúča v priestore. Vieme, že svetlo sa šíri oboma smermi rovnakou rýchlosťou. Trajektóriu nazývame AB, po ktorej sa svetelný lúč pohybuje l. A polovicu času, ktorý trvá, kým sa svetlo dostane z bodu A do bodu B, hovorme t. A rýchlosť lúča - c. Ukazuje sa, že: c*t=l
Ak sa práve na tento lúč pozriete z inej roviny, napríklad z vesmírneho parníka, ktorý sa pohybuje rýchlosťou v, tak pri takomto pozorovaní telies sa ich rýchlosť zmení. V tomto prípade sa aj stacionárne prvky budú pohybovať rýchlosťou v v opačnom smere.
Povedzme, že komiksová vložka pláva doprava. Potom sa body A a B, medzi ktorými sa lúč ponáhľa, presunú doľava. Navyše, keď sa lúč presunie z bodu A do bodu B, bod A má čas sa pohnúť, a preto svetlo už dorazí do nového bodu C. Ak chcete nájsť polovičnú vzdialenosť, o ktorú sa bod A posunul, musíte vynásobiť rýchlosť vložky o polovicu doby prejazdu lúča (t ").
A aby ste zistili, ako ďaleko by sa mohol lúč svetla dostať počas tejto doby, musíte určiť polovicu dráhy nového buku s a získať nasledujúci výraz:
Ak si predstavíme, že body svetla C a B, ako aj priestorová vložka sú vrcholmi rovnoramenného trojuholníka, potom ho úsečka z bodu A po vložku rozdelí na dva pravouhlé trojuholníky. Preto vďaka Pytagorovej vete môžete nájsť vzdialenosť, ktorú by mohol prejsť lúč svetla.
Tento príklad, samozrejme, nie je najúspešnejší, keďže len málokomu sa pošťastí vyskúšať si ho v praxi. Preto uvažujeme o všednejších aplikáciách tejto vety.
Rozsah prenosu mobilného signálu
Moderný život si už nemožno predstaviť bez existencie smartfónov. Nakoľko by však boli užitočné, keby nemohli pripojiť účastníkov prostredníctvom mobilnej komunikácie?!
Kvalita mobilnej komunikácie priamo závisí od výšky, v ktorej sa nachádza anténa mobilného operátora. Ak chcete vypočítať, ako ďaleko od mobilnej veže môže telefón prijímať signál, môžete použiť Pytagorovu vetu.
Povedzme, že potrebujete nájsť približnú výšku stacionárnej veže, aby mohla šíriť signál v okruhu 200 kilometrov.
AB (výška veže) = x;
BC (polomer prenosu signálu) = 200 km;
OS (polomer zemegule) = 6380 km;
OB=OA+ABOB=r+x
Aplikovaním Pytagorovej vety zistíme, že minimálna výška veže by mala byť 2,3 kilometra.
Pytagorova veta v každodennom živote
Napodiv, Pytagorova veta môže byť užitočná aj v každodenných záležitostiach, ako je napríklad určenie výšky skrine. Na prvý pohľad nie je potrebné používať také zložité výpočty, pretože môžete jednoducho vykonať merania pomocou pásky. Mnohí sú však prekvapení, prečo počas procesu montáže vznikajú určité problémy, ak boli všetky merania vykonané viac než presne.
Faktom je, že šatník je zostavený v horizontálnej polohe a až potom stúpa a je inštalovaný proti stene. Preto musí bočná stena skrine v procese zdvíhania konštrukcie voľne prechádzať pozdĺž výšky aj diagonálne miestnosti.
Predpokladajme, že existuje šatníková skriňa s hĺbkou 800 mm. Vzdialenosť od podlahy po strop - 2600 mm. Skúsený výrobca nábytku povie, že výška skrinky by mala byť o 126 mm menšia ako výška miestnosti. Ale prečo práve 126 mm? Pozrime sa na príklad.
Pri ideálnych rozmeroch skrine si overme fungovanie Pytagorovej vety:
AC \u003d √AB 2 + √BC 2
AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - všetko sa zbieha.
Povedzme, že výška skrine nie je 2474 mm, ale 2505 mm. potom:
AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.
Preto táto skrinka nie je vhodná na inštaláciu v tejto miestnosti. Keďže pri zdvíhaní do zvislej polohy môže dôjsť k poškodeniu jeho tela.
Možno, po zvážení rôznych spôsobov dokazovania Pytagorovej vety rôznymi vedcami, môžeme dospieť k záveru, že je to viac než pravda. Teraz môžete získané informácie použiť vo svojom každodennom živote a byť si úplne istí, že všetky výpočty budú nielen užitočné, ale aj správne.
Pytagoras je grécky vedec, ktorý žil asi pred 2500 rokmi (564-473 pred Kristom).
Nech je daný pravouhlý trojuholník, ktorého strany a, b a s(Obr. 267).
Po jej stranách postavíme štvorce. Plochy týchto štvorcov sú resp a 2 , b 2 a s 2. Dokážme to s 2 = a 2 +b 2 .
Zostrojme dva štvorce MKOR a M'K'O'R' (obr. 268, 269), pričom za stranu každého z nich vezmeme úsečku rovnajúcu sa súčtu ramien pravouhlého trojuholníka ABC.
Po dokončení konštrukcií znázornených na obrázkoch 268 a 269 v týchto štvorcoch uvidíme, že štvorec MKOR je rozdelený na dva štvorce s plochami a 2 a b 2 a štyri rovnaké pravouhlé trojuholníky, z ktorých každý sa rovná pravouhlému trojuholníku ABC. Štvorec M'K'O'R' je rozdelený na štvoruholník (na obrázku 269 je vytieňovaný) a štyri pravouhlé trojuholníky, z ktorých každý sa tiež rovná trojuholníku ABC. Vytieňovaný štvoruholník je štvorec, pretože jeho strany sú rovnaké (každá sa rovná prepone trojuholníka ABC, t.j. s), a uhly sú priamky ∠1 + ∠2 = 90°, odkiaľ ∠3 = 90°).
Súčet plôch štvorcov postavených na nohách (na obrázku 268 sú tieto štvorce vytieňované) sa teda rovná ploche štvorca MKOR bez súčtu plôch štyroch rovnakých trojuholníkov a plochy štvorec postavený na prepone (na obrázku 269 je tento štvorec tiež zatienený) sa rovná ploche štvorca M'K'O'R', rovná sa štvorcu MKOR, bez súčtu plôch štyri podobné trojuholníky. Preto sa plocha štvorca postaveného na prepone pravouhlého trojuholníka rovná súčtu plôch štvorcov postavených na nohách.
Dostaneme vzorec s 2 = a 2 +b 2, kde s- prepona, a a b- nohy pravouhlého trojuholníka.
Pytagorova veta sa dá zhrnúť takto:
Druhá mocnina prepony pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov nôh.
Zo vzorca s 2 = a 2 +b 2 môžete získať nasledujúce vzorce:
a 2 = s 2 - b 2 ;
b2 = s 2 - a 2 .
Tieto vzorce sa dajú použiť na nájdenie neznámej strany pravouhlého trojuholníka s dvomi jeho stranami.
Napríklad:
a) ak sú dané nohy a= 4 cm, b\u003d 3 cm, potom môžete nájsť preponu ( s):
s 2 = a 2 +b 2, t.j. s 2 = 42 + 32; s 2 = 25, odkiaľ s= √25 = 5 (cm);
b) ak je daná prepona s= 17 cm a noha a= 8 cm, potom môžete nájsť ďalšiu nohu ( b):
b 2 = s 2 - a 2, t.j. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, odkiaľ b= √225 = 15 (cm).
Dôsledok: Ak v dvoch pravouhlých trojuholníkoch ABC a A 1 B 1 C 1 prepona s a s 1 sú rovnaké, a noha b trojuholník ABC je väčší ako noha b 1 trojuholník A 1 B 1 C 1,
potom nohu a trojuholník ABC je menší ako noha a 1 trojuholník A 1 B 1 C 1 .
Na základe Pytagorovej vety skutočne dostaneme:
a 2 = s 2 - b 2 ,
a 1 2 = s 1 2 - b 1 2
V písaných vzorcoch sú mínusové body rovnaké a subtrahend v prvom vzorci je väčší ako subtrahend v druhom vzorci, preto je prvý rozdiel menší ako druhý,
t.j. a 2 a 12. Kde a a 1.
Uistite sa, že trojuholník, ktorý ste dostali, je pravouhlý, pretože Pytagorova veta platí len pre pravouhlé trojuholníky. V pravouhlých trojuholníkoch má jeden z troch uhlov vždy 90 stupňov.
- Pravý uhol v pravouhlom trojuholníku je označený štvorcom namiesto krivky, ktorá predstavuje nepravé uhly.
Označte strany trojuholníka. Označte nohy ako "a" a "b" (nohy sú strany, ktoré sa pretínajú v pravom uhle) a preponu ako "c" (prepona je najväčšia strana pravouhlého trojuholníka, ktorá leží oproti pravému uhlu).
Určite, ktorú stranu trojuholníka chcete nájsť. Pytagorova veta vám umožňuje nájsť ľubovoľnú stranu pravouhlého trojuholníka (ak sú známe ďalšie dve strany). Určte, ktorú stranu (a, b, c) treba nájsť.
- Napríklad, ak je prepona rovná 5 a noha je rovná 3. V tomto prípade musíte nájsť druhú vetvu. K tomuto príkladu sa vrátime neskôr.
- Ak sú ďalšie dve strany neznáme, je potrebné nájsť dĺžku jednej z neznámych strán, aby bolo možné aplikovať Pytagorovu vetu. Na to použite základné goniometrické funkcie (ak je vám daná hodnota jedného z nepravých uhlov).
Vo vzorci a 2 + b 2 \u003d c 2 nahraďte hodnoty, ktoré vám boli pridelené (alebo hodnoty, ktoré ste našli). Pamätajte, že a a b sú nohy a c je prepona.
- V našom príklade napíšte: 3² + b² = 5².
Štvorte každú známu stranu. Alebo nechajte exponenty - čísla môžete odmocniť neskôr.
- V našom príklade napíšte: 9 + b² = 25.
Izolujte neznámu stranu na jednej strane rovnice. Za týmto účelom preneste známe hodnoty na druhú stranu rovnice. Ak nájdete preponu, potom v Pytagorovej vete je už izolovaná na jednej strane rovnice (takže nie je potrebné nič robiť).
- V našom príklade presuňte 9 na pravú stranu rovnice, aby ste izolovali neznámu b². Dostanete b² = 16.
Vezmite druhú odmocninu oboch strán rovnice. V tomto štádiu je na jednej strane rovnice neznáma (druhá mocnina) a na druhej strane priesečník (číslo).
- V našom príklade je b² = 16. Vezmite druhú odmocninu oboch strán rovnice a získajte b = 4. Takže druhá časť je 4 .
Využite Pytagorovu vetu v každodennom živote, pretože ju možno aplikovať vo veľkom množstve praktických situácií. Aby ste to dosiahli, naučte sa rozpoznávať pravouhlé trojuholníky v každodennom živote - v akejkoľvek situácii, v ktorej sa dva predmety (alebo čiary) pretínajú v pravom uhle a tretí predmet (alebo čiara) spája (diagonálne) vrcholy prvých dvoch predmetov (alebo čiary), môžete použiť Pytagorovu vetu na nájdenie neznámej strany (ak sú ostatné dve strany známe).
- Príklad: Daný rebrík opretý o budovu. Spodná časť schodiska je 5 metrov od základne steny. Vrch schodiska je 20 metrov od zeme (po stene). Aká je dĺžka rebríka?
- "5 metrov od základne steny" znamená, že a = 5; „je 20 metrov od zeme“ znamená, že b = 20 (to znamená, že máte dve nohy pravouhlého trojuholníka, pretože stena budovy a povrch Zeme sa pretínajú v pravom uhle). Dĺžka rebríka je dĺžka prepony, ktorá nie je známa.
- a² + b² = c²
- (5)² + (20)² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- c = √425
- c = 20,6. Teda približná dĺžka schodov je 20,6 metra.
- "5 metrov od základne steny" znamená, že a = 5; „je 20 metrov od zeme“ znamená, že b = 20 (to znamená, že máte dve nohy pravouhlého trojuholníka, pretože stena budovy a povrch Zeme sa pretínajú v pravom uhle). Dĺžka rebríka je dĺžka prepony, ktorá nie je známa.
