Според ван дер Ваерден е много вероятно съотношението в обща форма вече да е било известно във Вавилон около 18 век пр.н.е. д.
Приблизително 400 г. пр.н.е. д., според Прокъл, Платон дава метод за намиране на питагорови тройки, комбинирайки алгебра и геометрия. Около 300 г. пр.н.е. д. в "Елементите" на Евклид се появява най-старото аксиоматично доказателство на Питагоровата теорема.
Формулировка
Основната формулировка съдържа алгебрични операции - в правоъгълен триъгълник, дължините на краката на който са равни a (\displaystyle a)и b (\displaystyle b), а дължината на хипотенузата е c (\displaystyle c), релацията е изпълнена:
.Възможна е и еквивалентна геометрична формулировка, прибягвайки до концепцията за площ фигура: в правоъгълен триъгълник площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сумата от площите на квадратите, построени върху краката. В тази форма теоремата е формулирана в Принципите на Евклид.
Обратна теорема на Питагор- твърдението за правоъгълността на всеки триъгълник, чиито дължини на страните са свързани с отношението a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Като следствие, за всяка тройка положителни числа a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)и c (\displaystyle c), така че a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), има правоъгълен триъгълник с катети a (\displaystyle a)и b (\displaystyle b)и хипотенуза c (\displaystyle c).
Доказателство за
В научната литература са записани най-малко 400 доказателства на Питагоровата теорема, което се обяснява както с фундаменталната стойност за геометрията, така и с елементарния характер на резултата. Основните насоки на доказателствата са: алгебрично използване на съотношенията на елементи триъгълник (такъв например е популярният метод на подобие), метод на площта, има и различни екзотични доказателства (например използване на диференциални уравнения).
Чрез подобни триъгълници
Класическото доказателство на Евклид има за цел да установи равенството на площите между правоъгълниците, образувани чрез разрязване на квадрата над хипотенузата с височината от прав ъгъл с квадратите над катетите.
Използваната конструкция за доказателството е следната: за правоъгълен триъгълник с прав ъгъл C (\displaystyle C), квадрати върху катетите и и квадрати върху хипотенузата A B I K (\displaystyle ABIK)височина се изгражда C H (\displaystyle CH)и лъча, който го продължава s (\displaystyle s), разделяне на квадрата над хипотенузата на два правоъгълника и . Доказателството има за цел да установи равенството на площите на правоъгълника A H J K (\displaystyle AHJK)с каре над крака A C (\displaystyle AC); равенството на площите на втория правоъгълник, който е квадрат над хипотенузата, и правоъгълника над другия катет се установява по подобен начин.
Равенство на площите на правоъгълник A H J K (\displaystyle AHJK)и A C E D (\displaystyle ACED)установени чрез конгруентност на триъгълници △ A C K (\displaystyle \триъгълник ACK)и △ A B D (\displaystyle \триъгълник ABD), площта на всеки от които е равна на половината от площта на квадратите A H J K (\displaystyle AHJK)и A C E D (\displaystyle ACED)съответно във връзка със следното свойство: площта на триъгълник е равна на половината от площта на правоъгълник, ако фигурите имат обща страна, а височината на триъгълника към общата страна е другата страна на правоъгълника. Конгруентността на триъгълниците следва от равенството на двете страни (страни на квадрати) и ъгъла между тях (съставен от прав ъгъл и ъгъл при A (\displaystyle A).
По този начин доказателството установява, че площта на квадрата над хипотенузата, съставена от правоъгълници A H J K (\displaystyle AHJK)и B H J I (\displaystyle BHJI), е равна на сумата от площите на квадратите над краката.
Доказателство за Леонардо да Винчи
Методът на площта включва и доказателството, намерено от Леонардо да Винчи. Нека има правоъгълен триъгълник △ A B C (\displaystyle \триъгълник ABC)прав ъгъл C (\displaystyle C)и квадрати A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG)и A B H J (\displaystyle ABHJ)(виж снимката). В това доказателство отстрани H J (\displaystyle HJ)последният, триъгълник е конструиран отвън, равен △ A B C (\displaystyle \триъгълник ABC), освен това, отразени както спрямо хипотенузата, така и спрямо височината към нея (т.е. J I = B C (\displaystyle JI=BC)и H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Направо C I (\displaystyle CI)разделя квадрата, построен върху хипотенузата, на две равни части, тъй като триъгълници △ A B C (\displaystyle \триъгълник ABC)и △ J H I (\displaystyle \триъгълник JHI)са равни по конструкция. Доказателството установява съответствието на четириъгълниците C A J I (\displaystyle CAJI)и D A B G (\displaystyle DABG), площта на всеки от които, от една страна, е равна на сумата от половината площи на квадратите на краката и площта на оригиналния триъгълник, от друга страна, на половината от площта на квадратът върху хипотенузата плюс площта на първоначалния триъгълник. Общо половината от сумата на площите на квадратите над краката е равна на половината от площта на квадрата над хипотенузата, което е еквивалентно на геометричната формулировка на Питагоровата теорема.
Доказателство по метода на безкрайно малките
Има няколко доказателства, използващи техниката на диференциалните уравнения. По-специално, на Харди се приписва доказателство, използващо безкрайно малки стъпки на краката a (\displaystyle a)и b (\displaystyle b)и хипотенуза c (\displaystyle c), и запазване на сходството с оригиналния правоъгълник, тоест осигуряване на изпълнението на следните диференциални отношения:
d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).Чрез метода на разделяне на променливите от тях се извежда диференциално уравнение c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), чието интегриране дава отношението c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Приложение на началните условия a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0)дефинира константа като 0, което води до твърдението на теоремата.
Квадратната зависимост в крайната формула се появява поради линейната пропорционалност между страните на триъгълника и увеличенията, докато сумата се дължи на независимите приноси от нарастването на различните катети.
Вариации и обобщения
Подобни геометрични фигури от три страни
Важно геометрично обобщение на Питагоровата теорема е дадено от Евклид в "Началата", преминавайки от областите на квадратите отстрани към областите на произволни подобни геометрични фигури: сумата от площите на такива фигури, построени върху краката, ще бъде равна на площта на подобна на тях фигура, построена върху хипотенузата.
Основната идея на това обобщение е, че площта на такава геометрична фигура е пропорционална на квадрата на всяко от нейните линейни измерения и по-специално на квадрата на дължината на всяка страна. Следователно, за подобни фигури с области A (\displaystyle A), B (\displaystyle B)и C (\displaystyle C)изградени на крака с дължини a (\displaystyle a)и b (\displaystyle b)и хипотенуза c (\displaystyle c)съответно има връзка:
A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).Тъй като според Питагоровата теорема a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), тогава е направено.
Освен това, ако е възможно да се докаже без използване на Питагоровата теорема, че за площите на три подобни геометрични фигури от страните на правоъгълен триъгълник, отношението A + B = C (\displaystyle A+B=C), тогава използвайки обратното доказателство на обобщението на Евклид, можем да изведем доказателството на Питагоровата теорема. Например, ако върху хипотенузата построим правоъгълен триъгълник, равен на началния с площ C (\displaystyle C), а на краката - два подобни правоъгълни триъгълника с площи A (\displaystyle A)и B (\displaystyle B), тогава се оказва, че триъгълниците на краката се образуват в резултат на разделянето на първоначалния триъгълник на неговата височина, тоест сумата от две по-малки площи на триъгълниците е равна на площта на третия, по този начин A + B = C (\displaystyle A+B=C)и, прилагайки връзката за подобни фигури, се извежда Питагоровата теорема.
Косинусова теорема
Питагоровата теорема е специален случай на по-общата косинусова теорема, която свързва дължините на страните в произволен триъгълник:
a 2 + b 2 − 2 a b cos θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),където е ъгълът между страните a (\displaystyle a)и b (\displaystyle b). Ако ъгълът е 90°, тогава cos θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), а формулата се опростява до обичайната Питагорова теорема.
Произволен триъгълник
Съществува обобщение на Питагоровата теорема за произволен триъгълник, работещо единствено върху съотношението на дължините на страните, смята се, че е установено за първи път от сабийския астроном Сабит ибн Кура. В него за произволен триъгълник със страни равнобедрен триъгълник с основа на страната c (\displaystyle c), като върхът съвпада с върха на оригиналния триъгълник, срещу страната c (\displaystyle c)и ъгли при основата, равни на ъгъла θ (\displaystyle \theta )обратната страна c (\displaystyle c). В резултат на това се образуват два триъгълника, подобни на оригиналния: първият със страни a (\displaystyle a), страничната страна на вписания равнобедрен триъгълник далеч от него, и r (\displaystyle r)- странични части c (\displaystyle c); вторият е симетричен на него отстрани b (\displaystyle b)с парти s (\displaystyle s)- съответната част от страната c (\displaystyle c). В резултат на това се изпълнява връзката:
a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),която се изражда в Питагоровата теорема при θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Съотношението е следствие от сходството на образуваните триъгълници:
c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).Теорема за площта на Папус
Неевклидова геометрия
Питагоровата теорема е извлечена от аксиомите на евклидовата геометрия и е невалидна за неевклидовата геометрия - изпълнението на питагоровата теорема е еквивалентно на постулата на евклидовия паралелизъм.
В неевклидовата геометрия връзката между страните на правоъгълен триъгълник непременно ще бъде във форма, различна от Питагоровата теорема. Например в сферичната геометрия и трите страни на правоъгълен триъгълник, които ограничават октанта на единичната сфера, имат дължина π / 2 (\displaystyle \pi /2), което противоречи на Питагоровата теорема.
Освен това Питагоровата теорема е валидна в хиперболичната и елиптичната геометрия, ако изискването триъгълникът да е правоъгълен се замени с условието сумата от два ъгъла на триъгълника да е равна на третия.
сферична геометрия
За всеки правоъгълен триъгълник върху сфера с радиус R (\displaystyle R)(например, ако ъгълът в триъгълника е прав) със страни a , b , c (\displaystyle a,b,c)отношението между страните е:
cos (c R) = cos (a R) ⋅ cos (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)).Това равенство може да се изведе като специален случай на теоремата за сферичен косинус, която е валидна за всички сферични триъгълници:
cos (c R) = cos (a R) ⋅ cos (b R) + sin (a R) ⋅ sin (b R) ⋅ cos γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch c = ch a ⋅ ch b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),където ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- хиперболичен косинус. Тази формула е специален случай на хиперболичната косинусова теорема, която е валидна за всички триъгълници:
ch c = ch a ⋅ ch b − sh a ⋅ sh b ⋅ cos γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (sh) a\cdot \име на оператор (sh) b\cdot \cos \gamma ),където γ (\displaystyle \gamma )- ъгъл, чийто връх е противоположен на страна c (\displaystyle c).
Използване на серията на Тейлър за хиперболичния косинус ( ch x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\приблизително 1+x^(2)/2)) може да се покаже, че ако хиперболичният триъгълник намалява (тоест, когато a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)и c (\displaystyle c)клонят към нула), тогава хиперболичните отношения в правоъгълен триъгълник се доближават до отношението на класическата Питагорова теорема.
Приложение
Разстояние в двумерни правоъгълни системи
Най-важното приложение на Питагоровата теорема е да се определи разстоянието между две точки в правоъгълна система координати: разстояние s (\displaystyle s)между точки с координати (a, b) (\displaystyle (a,b))и (c, d) (\displaystyle (c,d))се равнява:
s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).За комплексни числа Питагоровата теорема дава естествена формула за намиране на модул комплексно число – за z = x + y i (\displaystyle z=x+yi)тя е равна на дължината
Теорема
В правоъгълен триъгълник квадратът на дължината на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на дължините на краката (фиг. 1):
$c^(2)=a^(2)+b^(2)$
Доказателство на Питагоровата теорема
Нека триъгълник $A B C$ е правоъгълен триъгълник с прав ъгъл $C$ (фиг. 2).
Нека начертаем височина от върха $C$ до хипотенузата $A B$, означим основата на височината като $H$.
Правоъгълният триъгълник $A C H$ е подобен на триъгълник $A B C$ в два ъгъла ($\angle A C B=\angle C H A=90^(\circ)$, $\angle A$ е общ). По същия начин триъгълник $C B H$ е подобен на $A B C$.
Въвеждане на нотацията
$$B C=a, A C=b, A B=c$$
от сходството на триъгълниците получаваме това
$$\frac(a)(c)=\frac(H B)(a), \frac(b)(c)=\frac(A H)(b)$$
Следователно имаме това
$$a^(2)=c \cdot H B, b^(2)=c \cdot A H$$
Събирайки получените равенства, получаваме
$$a^(2)+b^(2)=c \cdot H B+c \cdot A H$$
$$a^(2)+b^(2)=c \cdot(H B+A H)$$
$$a^(2)+b^(2)=c \cdot A B$$
$$a^(2)+b^(2)=c \cdot c$$
$$a^(2)+b^(2)=c^(2)$$
Q.E.D.
Геометрична формулировка на Питагоровата теорема
Теорема
В правоъгълен триъгълник площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сумата от площите на квадратите, построени върху краката (фиг. 2):
Примери за решаване на проблеми
Пример
Упражнение.Даден ви е правоъгълен триъгълник $A B C$, чиито катети са 6 см и 8 см. Намерете хипотенузата на този триъгълник.
Решение.Според условието на катета $a=6$ см, $b=8$ см. Тогава според Питагоровата теорема квадратът на хипотенузата
$c^(2)=a^(2)+b^(2)=6^(2)+8^(2)=36+64=100$
Оттук получаваме търсената хипотенуза
$c=\sqrt(100)=10$ (cm)
Отговор. 10 см
Пример
Упражнение.Намерете площта на правоъгълен триъгълник, ако е известно, че единият му катет е с 5 cm по-дълъг от другия, а хипотенузата е 25 cm.
Решение.Нека $x$ cm е дължината на по-малкия катет, тогава $(x+5)$ cm е дължината на по-големия. Тогава според Питагоровата теорема имаме:
$$x^(2)+(x+5)^(2)=25^(2)$$
Отваряме скобите, намаляваме подобни и решаваме полученото квадратно уравнение:
$x^(2)+5 x-300=0$
Според теоремата на Виета получаваме това
$x_(1)=15$ (cm) , $x_(2)=-20$ (cm)
Стойността на $x_(2)$ не удовлетворява условието на задачата, което означава, че по-малкият катет е 15 cm, а по-големият е 20 cm.
Площта на правоъгълен триъгълник е половината от произведението на дължините на краката му, т.е
$$S=\frac(15 \cdot 20)(2)=15 \cdot 10=150\left(\mathrm(cm)^(2)\right)$$
Отговор.$S=150\left(\mathrm(cm)^(2)\right)$
История справка
Питагорова теорема- една от основните теореми на евклидовата геометрия, установяваща връзката между страните на правоъгълен триъгълник.
Древната китайска книга "Джоу би суан дзин" говори за Питагоров триъгълник със страни 3, 4 и 5. Най-големият немски историк на математиката Мориц Кантор (1829 - 1920) смята, че равенството $3^(2)+4^(2 )=5^ (2) $ вече е бил известен на египтяните около 2300 г. пр.н.е. Според учения след това строителите са построили прави ъгли, използвайки правоъгълни триъгълници със страни 3, 4 и 5. Малко повече се знае за Питагоровата теорема сред вавилонците. Един текст дава приблизително изчисляване на хипотенузата на равнобедрен правоъгълен триъгълник.
Към момента в научната литература са записани 367 доказателства на тази теорема. Вероятно Питагоровата теорема е единствената теорема с толкова впечатляващ брой доказателства. Такова разнообразие може да се обясни само с фундаменталното значение на теоремата за геометрията.
В едно можете да бъдете сто процента сигурни, че когато го попитат какво е квадратът на хипотенузата, всеки възрастен смело ще отговори: „Сборът от квадратите на краката“. Тази теорема е твърдо засадена в съзнанието на всеки образован човек, но е достатъчно просто да помолите някой да я докаже и тогава могат да възникнат трудности. Затова нека си спомним и разгледаме различни начини за доказване на Питагоровата теорема.
Кратък преглед на биографията
Теоремата на Питагор е позната на почти всички, но по някаква причина биографията на човека, който я е създал, не е толкова популярна. Ще го оправим. Ето защо, преди да изучавате различните начини за доказване на Питагоровата теорема, трябва накратко да се запознаете с неговата личност.
Питагор - философ, математик, мислител, първоначално от Днес е много трудно да се разграничи биографията му от легендите, които са се развили в памет на този велик човек. Но както следва от писанията на неговите последователи, Питагор от Самос е роден на остров Самос. Баща му бил обикновен каменодел, но майка му произхождала от знатно семейство.
Според легендата раждането на Питагор е предсказано от жена на име Пития, в чиято чест е кръстено момчето. Според нейното предсказание роденото момче трябвало да донесе много ползи и добро на човечеството. Което всъщност и направи.
Раждането на една теорема
В младостта си Питагор се премества в Египет, за да се срещне с известните египетски мъдреци там. След среща с тях той е приет да учи, където научава всички велики постижения на египетската философия, математика и медицина.
Вероятно именно в Египет Питагор е бил вдъхновен от величието и красотата на пирамидите и е създал своята велика теория. Това може да шокира читателите, но съвременните историци смятат, че Питагор не е доказал своята теория. Но той само предава знанията си на своите последователи, които по-късно извършват всички необходими математически изчисления.
Както и да е, днес не е известна една техника за доказване на тази теорема, а няколко наведнъж. Днес можем само да гадаем как точно са правили своите изчисления древните гърци, затова тук ще разгледаме различни начини за доказване на Питагоровата теорема.
Питагорова теорема
Преди да започнете изчисления, трябва да разберете коя теория да докажете. Питагоровата теорема звучи така: "В триъгълник, в който един от ъглите е 90 o, сборът от квадратите на катетите е равен на квадрата на хипотенузата."
Има общо 15 различни начина за доказване на Питагоровата теорема. Това е доста голям брой, така че нека обърнем внимание на най-популярните от тях.
Метод първи
Нека първо да определим какво имаме. Тези данни ще се отнасят и за други начини за доказване на Питагоровата теорема, така че трябва незабавно да запомните всички налични нотации.
Да предположим, че е даден правоъгълен триъгълник с катети a, b и хипотенуза, равна на c. Първият метод на доказателство се основава на факта, че трябва да се начертае квадрат от правоъгълен триъгълник.
За да направите това, трябва да начертаете отсечка, равна на крака, към дължината на крака a и обратно. Така че трябва да се окажат две равни страни на квадрата. Остава само да начертаете две успоредни линии и квадратът е готов.
Вътре в получената фигура трябва да нарисувате друг квадрат със страна, равна на хипотенузата на оригиналния триъгълник. За да направите това, от върховете ac и sv трябва да начертаете два успоредни сегмента, равни на c. Така получаваме три страни на квадрата, едната от които е хипотенузата на оригиналния правоъгълен триъгълник. Остава само да начертаете четвъртия сегмент.
Въз основа на получената фигура можем да заключим, че площта на външния квадрат е (a + b) 2. Ако погледнете вътре във фигурата, можете да видите, че освен вътрешния квадрат, тя има четири правоъгълни триъгълника. Площта на всеки е 0,5 av.
Следователно площта е: 4 * 0,5av + s 2 \u003d 2av + s 2
Следователно (a + c) 2 \u003d 2av + c 2
И следователно с 2 \u003d 2 + в 2
Теоремата е доказана.
Втори метод: подобни триъгълници
Тази формула за доказателство на Питагоровата теорема е получена въз основа на твърдение от раздела на геометрията за подобни триъгълници. Той казва, че катетът на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална на неговата хипотенуза и сегмента на хипотенузата, излизащ от върха на ъгъл от 90o.
Първоначалните данни остават същите, така че нека започнем веднага с доказателството. Нека начертаем отсечка CD, перпендикулярна на страната AB. Въз основа на горното твърдение катетите на триъгълниците са равни:
AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.
За да се отговори на въпроса как да се докаже Питагоровата теорема, доказателството трябва да се постави чрез повдигане на квадрат на двете неравенства.
AC 2 \u003d AB * HELL и SV 2 \u003d AB * DV
Сега трябва да съберем получените неравенства.
AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), където AD + DV \u003d AB
Оказва се, че:
AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB
И следователно:
AC 2 + CB 2 \u003d AB 2
Доказателството на Питагоровата теорема и различните начини за нейното решаване изискват многостранен подход към този проблем. Тази опция обаче е една от най-простите.
Друг метод за изчисление
Описанието на различни начини за доказване на Питагоровата теорема може да не каже нищо, докато не започнете да практикувате сами. Много методи включват не само математически изчисления, но и изграждането на нови фигури от оригиналния триъгълник.
В този случай е необходимо да завършите друг правоъгълен триъгълник VSD от крака на самолета. Така сега има два триъгълника с общ катет BC.
Знаейки, че площите на подобни фигури имат съотношение като квадратите на техните подобни линейни размери, тогава:
S avs * s 2 - S avd * in 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2
S avs * (от 2 до 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)
от 2 до 2 \u003d a 2
c 2 \u003d a 2 + в 2
Тъй като тази опция едва ли е подходяща от различни методи за доказване на Питагоровата теорема за 8 клас, можете да използвате следната техника.
Най-лесният начин да докажете Питагоровата теорема. Отзиви
Историците смятат, че този метод е използван за първи път за доказване на теорема в древна Гърция. Това е най-простият, тъй като не изисква абсолютно никакви изчисления. Ако нарисувате правилно картина, тогава доказателството за твърдението, че a 2 + b 2 \u003d c 2 ще бъде ясно видимо.
Условията за този метод ще бъдат малко по-различни от предишния. За да докажем теоремата, да предположим, че правоъгълният триъгълник ABC е равнобедрен.
Вземаме хипотенузата AC за страна на квадрата и начертаваме трите му страни. Освен това е необходимо да нарисувате две диагонални линии в получения квадрат. Така че вътре в него получавате четири равнобедрени триъгълника.
Към краката AB и CB също трябва да начертаете квадрат и да начертаете по една диагонална линия във всеки от тях. Начертаваме първата линия от върха A, втората - от C.
Сега трябва внимателно да разгледате получения чертеж. Тъй като на хипотенузата AC има четири триъгълника, равни на първоначалния, и два на краката, това показва верността на тази теорема.
Между другото, благодарение на този метод за доказване на Питагоровата теорема се роди известната фраза: „Питагоровите панталони са равни във всички посоки“.
Доказателство от J. Garfield
Джеймс Гарфийлд е 20-ият президент на Съединените американски щати. Освен че остави своя отпечатък в историята като владетел на Съединените щати, той беше и надарен самоук.
В началото на кариерата си той е обикновен учител в народно училище, но скоро става директор на едно от висшите учебни заведения. Желанието за саморазвитие му позволи да предложи нова теория за доказателство на Питагоровата теорема. Теоремата и пример за нейното решение са както следва.
Първо трябва да начертаете два правоъгълни триъгълника върху лист хартия, така че кракът на единия да е продължение на втория. Върховете на тези триъгълници трябва да бъдат свързани, за да се получи трапец.
Както знаете, площта на трапеца е равна на произведението на половината от сбора на неговите основи и височината.
S=a+b/2 * (a+b)
Ако разгледаме получения трапец като фигура, състояща се от три триъгълника, тогава неговата площ може да се намери, както следва:
S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2
Сега трябва да изравним двата оригинални израза
2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2
c 2 \u003d a 2 + в 2
За Питагоровата теорема и как се доказва тя може да се напише повече от един том от учебник. Но има ли смисъл, когато това знание не може да се приложи на практика?
Практическо приложение на Питагоровата теорема
За съжаление съвременните училищни програми предвиждат използването на тази теорема само в геометрични задачи. Завършилите скоро ще напуснат стените на училището, без да знаят как могат да приложат знанията и уменията си на практика.
Всъщност всеки може да използва Питагоровата теорема в ежедневието си. И не само в професионалните дейности, но и в обикновените домакински задължения. Нека разгледаме няколко случая, когато теоремата на Питагор и методите за нейното доказателство могат да бъдат изключително необходими.
Връзка на теоремата и астрономията
Изглежда как звездите и триъгълниците могат да бъдат свързани на хартия. Всъщност астрономията е научна област, в която Питагоровата теорема се използва широко.
Например, разгледайте движението на светлинен лъч в пространството. Знаем, че светлината се движи в двете посоки с еднаква скорост. Наричаме траекторията AB, по която се движи светлинният лъч л. И половината от времето, необходимо на светлината да стигне от точка А до точка Б, нека наречем T. И скоростта на лъча - ° С. Оказва се, че: c*t=l
Ако погледнете същия този лъч от друга равнина, например от космически лайнер, който се движи със скорост v, тогава при такова наблюдение на телата тяхната скорост ще се промени. В този случай дори неподвижните елементи ще се движат със скорост v в обратна посока.
Да кажем, че комичният лайнер плава надясно. Тогава точките A и B, между които се втурва лъчът, ще се преместят наляво. Освен това, когато лъчът се премести от точка А до точка Б, точка А има време да се премести и съответно светлината вече ще пристигне в нова точка С. За да намерите половината от разстоянието, което точка А е изместила, трябва да умножите скорост на лайнера с половината от времето за пътуване на лъча (t ").
И за да намерите колко лъч светлина може да измине през това време, трябва да посочите половината от пътя на новите букове и да получите следния израз:
Ако си представим, че светлинните точки C и B, както и пространствената облицовка, са върховете на равнобедрен триъгълник, тогава сегментът от точка А до обвивката ще го раздели на два правоъгълни триъгълника. Следователно, благодарение на Питагоровата теорема, можете да намерите разстоянието, което може да измине един светлинен лъч.
Този пример, разбира се, не е най-успешният, тъй като само малцина могат да имат късмета да го изпробват на практика. Затова разглеждаме по-обикновени приложения на тази теорема.
Обхват на предаване на мобилен сигнал
Съвременният живот вече не може да се представи без съществуването на смартфони. Но колко биха били полезни, ако не можеха да свързват абонати чрез мобилни комуникации?!
Качеството на мобилните комуникации зависи пряко от височината, на която се намира антената на мобилния оператор. За да изчислите колко далеч от мобилна кула може да приеме сигнал телефон, можете да приложите Питагоровата теорема.
Да кажем, че трябва да намерите приблизителната височина на неподвижна кула, така че да може да разпространи сигнал в радиус от 200 километра.
AB (височина на кулата) = x;
BC (радиус на предаване на сигнала) = 200 km;
OS (радиус на земното кълбо) = 6380 km;
OB=OA+ABOB=r+x
Прилагайки теоремата на Питагор, откриваме, че минималната височина на кулата трябва да бъде 2,3 километра.
Питагоровата теорема в ежедневието
Колкото и да е странно, Питагоровата теорема може да бъде полезна дори в ежедневни въпроси, като определяне на височината на килера, например. На пръв поглед няма нужда да използвате такива сложни изчисления, защото можете просто да направите измервания с рулетка. Но мнозина са изненадани защо възникват определени проблеми по време на процеса на сглобяване, ако всички измервания са направени повече от точно.
Факт е, че гардеробът се сглобява в хоризонтално положение и едва след това се издига и се монтира към стената. Следователно, страничната стена на шкафа в процеса на повдигане на конструкцията трябва свободно да преминава както по височината, така и по диагонала на помещението.
Да предположим, че има гардероб с дълбочина 800 мм. Разстояние от пода до тавана - 2600 мм. Опитен производител на мебели ще каже, че височината на шкафа трябва да бъде 126 мм по-малка от височината на стаята. Но защо точно 126 мм? Нека разгледаме един пример.
С идеални размери на шкафа, нека проверим действието на Питагоровата теорема:
AC \u003d √AB 2 + √BC 2
AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - всичко се събира.
Да кажем, че височината на шкафа не е 2474 мм, а 2505 мм. Тогава:
AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.
Поради това този шкаф не е подходящ за монтаж в тази стая. Тъй като при повдигането му във вертикално положение може да се причини повреда на тялото му.
Може би, след като разгледахме различни начини за доказване на Питагоровата теорема от различни учени, можем да заключим, че тя е повече от вярна. Сега можете да използвате получената информация в ежедневието си и да сте напълно сигурни, че всички изчисления ще бъдат не само полезни, но и правилни.
Питагор е гръцки учен, живял преди около 2500 години (564-473 г. пр.н.е.).
Нека е даден правоъгълен триъгълник, чиито страни а, bи с(фиг. 267).
Нека изградим квадрати от страните му. Площите на тези квадрати са съответно а 2 , b 2 и с 2. Нека докажем това с 2 = а 2 +б 2 .
Да построим два квадрата MKOR и M'K'O'R' (фиг. 268, 269), като за страна на всеки от тях вземем отсечка, равна на сбора от катетите на правоъгълния триъгълник ABC.
След като завършим конструкциите, показани на фигури 268 и 269 в тези квадрати, ще видим, че квадратът MKOR е разделен на два квадрата с площи а 2 и b 2 и четири равни правоъгълни триъгълника, всеки от които е равен на правоъгълен триъгълник ABC. Квадратът M'K'O'R' е разделен на четириъгълник (защрихован е на фигура 269) и четири правоъгълни триъгълника, всеки от които също е равен на триъгълника ABC. Защрихованият четириъгълник е квадрат, тъй като страните му са равни (всяка е равна на хипотенузата на триъгълника ABC, т.е. с), а ъглите са прави линии ∠1 + ∠2 = 90°, откъдето ∠3 = 90°).
По този начин сумата от площите на квадратите, построени върху краката (на фигура 268 тези квадрати са защриховани) е равна на площта на квадрата MKOR без сумата от площите на четири равни триъгълника и площта на квадратът, построен върху хипотенузата (на Фигура 269 този квадрат също е защрихован) е равен на площта на квадрата M'K'O'R', равен на квадрата на MKOR, без сумата от площите на четири подобни триъгълника. Следователно площта на квадрата, изграден върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равна на сумата от площите на квадратите, изградени върху краката.
Получаваме формулата с 2 = а 2 +б 2, където с- хипотенуза, аи b- катети на правоъгълен триъгълник.
Питагоровата теорема може да се обобщи по следния начин:
Квадратът на хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равен на сумата от квадратите на катетите.
От формулата с 2 = а 2 +б 2 можете да получите следните формули:
а 2 = с 2 - b 2 ;
b 2 = с 2 - а 2 .
Тези формули могат да се използват за намиране на неизвестната страна на правоъгълен триъгълник при дадени две от страните му.
Например:
а) ако са дадени крака а= 4 см, b\u003d 3 cm, тогава можете да намерите хипотенузата ( с):
с 2 = а 2 +б 2 , т.е. с 2 = 4 2 + 3 2 ; с 2 = 25, откъдето с= √25 = 5(cm);
б) ако е дадена хипотенузата с= 17 см и крак а= 8 см, тогава можете да намерите друг крак ( b):
b 2 = с 2 - а 2 , т.е. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, откъдето b= √225 = 15 (cm).
Следствие: Ако в два правоъгълни триъгълника ABC и A 1 B 1 C 1 хипотенуза си с 1 са равни, а катетът bтриъгълник ABC е по-голям от катета b 1 триъгълник A 1 B 1 C 1,
след това крака атриъгълник ABC е по-малък от катета а 1 триъгълник A 1 B 1 C 1 .
Наистина, въз основа на Питагоровата теорема получаваме:
а 2 = с 2 - b 2 ,
а 1 2 = с 1 2 - b 1 2
В написаните формули умалените са равни, а изваждаемото в първата формула е по-голямо от изважданото във втората формула, следователно първата разлика е по-малка от втората,
т.е. а 2 а 1 2 . Където а a 1 .
Уверете се, че триъгълникът, който ви е даден, е правоъгълен триъгълник, тъй като Питагоровата теорема се прилага само за правоъгълни триъгълници. В правоъгълните триъгълници един от трите ъгъла винаги е 90 градуса.
- Прав ъгъл в правоъгълен триъгълник се обозначава с квадрат вместо крива, която представлява неправи ъгли.
Маркирайте страните на триъгълника.Обозначете краката като "a" и "b" (катетите са страни, пресичащи се под прав ъгъл), а хипотенузата като "c" (хипотенузата е най-голямата страна на правоъгълен триъгълник, която лежи срещу правия ъгъл).
Определете коя страна на триъгълника искате да намерите.Теоремата на Питагор ви позволява да намерите която и да е страна на правоъгълен триъгълник (ако другите две страни са известни). Определете коя страна (a, b, c) трябва да бъде намерена.
- Например, дадена е хипотенуза, равна на 5, и даден катет, равен на 3. В този случай трябва да намерите втория катет. Ще се върнем към този пример по-късно.
- Ако другите две страни са неизвестни, е необходимо да се намери дължината на една от неизвестните страни, за да може да се приложи Питагоровата теорема. За да направите това, използвайте основните тригонометрични функции (ако ви е дадена стойността на един от неправите ъгли).
Заменете във формулата a 2 + b 2 \u003d c 2 стойностите, които са ви дадени (или стойностите, които сте намерили).Запомнете, че a и b са катети, а c е хипотенузата.
- В нашия пример напишете: 3² + b² = 5².
Квадратирайте всяка известна страна.Или оставете степенните степени - можете да повдигнете числата на квадрат по-късно.
- В нашия пример напишете: 9 + b² = 25.
Изолирайте неизвестната страна от едната страна на уравнението.За да направите това, прехвърлете известните стойности от другата страна на уравнението. Ако намерите хипотенузата, тогава в Питагоровата теорема тя вече е изолирана от едната страна на уравнението (така че нищо не трябва да се прави).
- В нашия пример преместете 9 в дясната страна на уравнението, за да изолирате неизвестното b². Ще получите b² = 16.
Вземете корен квадратен от двете страни на уравнението.На този етап има неизвестно (на квадрат) от едната страна на уравнението и пресечена точка (число) от другата страна.
- В нашия пример b² = 16. Вземете корен квадратен от двете страни на уравнението и получете b = 4. Така че вторият крак е 4 .
Използвайте Питагоровата теорема в ежедневието, тъй като тя може да се приложи в голям брой практически ситуации. За да направите това, научете се да разпознавате правоъгълни триъгълници в ежедневието - във всяка ситуация, в която два обекта (или линии) се пресичат под прав ъгъл, а трети обект (или линия) свързва (по диагонал) върховете на първите два обекта (или линии), можете да използвате Питагоровата теорема, за да намерите неизвестната страна (ако другите две страни са известни).
- Пример: дадена е стълба, облегната на сграда. Дъното на стълбите е на 5 метра от основата на стената. Горната част на стълбите е на 20 метра от земята (нагоре по стената). Каква е дължината на стълбата?
- "5 метра от основата на стената" означава, че a = 5; "е на 20 метра от земята" означава, че b = 20 (т.е. дадени са ви два крака на правоъгълен триъгълник, тъй като стената на сградата и повърхността на Земята се пресичат под прав ъгъл). Дължината на стълбата е дължината на хипотенузата, която е неизвестна.
- a² + b² = c²
- (5)² + (20)² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- c = √425
- с = 20,6. Така приблизителната дължина на стълбите е 20,6 метра.
- "5 метра от основата на стената" означава, че a = 5; "е на 20 метра от земята" означава, че b = 20 (т.е. дадени са ви два крака на правоъгълен триъгълник, тъй като стената на сградата и повърхността на Земята се пресичат под прав ъгъл). Дължината на стълбата е дължината на хипотенузата, която е неизвестна.
