Multiplikation med samma bas. Egenskaper för examina: formuleringar, bevis, exempel

Låt oss överväga ämnet omvandling av uttryck med krafter, men först kommer vi att uppehålla oss vid ett antal transformationer som kan utföras med alla uttryck, inklusive makt. Vi kommer att lära oss hur man öppnar parenteser, ger liknande termer, arbetar med bas och exponent, använder egenskaper hos potenser.

Vad är kraftuttryck?

PÅ skolkurs få människor använder frasen "kraftuttryck", men denna term finns ständigt i samlingar för att förbereda sig för tentamen. I de flesta fall betecknar frasen uttryck som innehåller grader i sina poster. Detta är vad vi kommer att reflektera i vår definition.

Definition 1

Kraftuttryckär ett uttryck som innehåller grader.

Vi ger flera exempel på maktuttryck, som börjar med en grad med en naturlig exponent och slutar med en grad med en reell exponent.

De enklaste potensuttrycken kan betraktas som potenser av ett tal med en naturlig exponent: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Samt potenser med noll exponent: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . Och potenser med negativa heltalspotenser: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Det är lite svårare att arbeta med en examen som har rationella och irrationella exponenter: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indikatorn kan vara en variabel 3 x - 54 - 7 3 x - 58 eller en logaritm x 2 l g x − 5 x l g x.

Vi har behandlat frågan om vad maktuttryck är. Låt oss nu ta en titt på deras förvandling.

Huvudtyperna av transformationer av maktuttryck

Först och främst kommer vi att överväga de grundläggande identitetstransformationerna av uttryck som kan utföras med maktuttryck.

Exempel 1

Beräkna effektuttrycksvärde 2 3 (4 2 - 12).

Lösning

Vi kommer att utföra alla omvandlingar i enlighet med åtgärdsordningen. I det här fallet börjar vi med att utföra åtgärderna inom parentes: vi kommer att ersätta graden med ett digitalt värde och beräkna skillnaden mellan de två talen. Vi har 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Det återstår för oss att byta ut examen 2 3 dess mening 8 och beräkna produkten 8 4 = 32. Här är vårt svar.

Svar: 2 3 (4 2 - 12) = 32 .

Exempel 2

Förenkla uttryck med krafter 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Lösning

Uttrycket som ges till oss i problemets tillstånd innehåller liknande termer, som vi kan ta med: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Svar: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

Exempel 3

Uttryck ett uttryck med potenserna 9 - b 3 · π - 1 2 som en produkt.

Lösning

Låt oss representera talet 9 som en potens 3 2 och tillämpa den förkortade multiplikationsformeln:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Svar: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

Och låt oss nu gå vidare till analysen av identiska transformationer som kan tillämpas specifikt på maktuttryck.

Arbeta med bas och exponent

Graden i basen eller exponenten kan ha tal, variabler och vissa uttryck. Till exempel, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 och . Det är svårt att arbeta med sådana skivor. Det är mycket lättare att ersätta uttrycket i gradens bas eller uttrycket i exponenten med ett identiskt lika uttryck.

Omvandlingarna av graden och indikatorn utförs enligt de regler som är kända för oss separat från varandra. Det viktigaste är att som ett resultat av transformationerna erhålls ett uttryck som är identiskt med det ursprungliga.

Syftet med transformationer är att förenkla det ursprungliga uttrycket eller att få en lösning på problemet. Till exempel, i exemplet vi gav ovan, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 kan du utföra operationer för att gå till graden 4 , 1 1 , 3 . Genom att öppna parenteserna kan vi ta med liknande termer i basen av graden (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) och få ett kraftuttryck av enklare form a 2 (x + 1).

Använda Power Properties

Gradernas egenskaper, skrivna som likheter, är ett av huvudverktygen för att transformera uttryck med grader. Vi presenterar här de viktigaste, med tanke på det a och bär några positiva siffror, och r och s- godtyckliga reella tal:

Definition 2

• a r a s = a r + s;
• a r: a s = a r − s;
• (a b) r = a r b r;
• (a: b) r = a r: b r;
• (a r) s = a r s .

I fall där vi har att göra med naturliga, heltals, positiva exponenter, kan begränsningarna för talen a och b vara mycket mindre stränga. Så till exempel om vi tänker på jämställdheten a m a n = a m + n, var m och när naturliga tal, kommer det att vara sant för alla värden av a, både positivt och negativt, såväl som för a = 0.

Du kan tillämpa egenskaperna för grader utan begränsningar i de fall där gradernas baser är positiva eller innehåller variabler vars intervall av acceptabla värden är sådant att baserna endast tar positiva värden på det. Faktum är att inom ramen för skolans läroplan i matematik är elevens uppgift att välja lämplig egenskap och tillämpa den korrekt.

Vid förberedelser för antagning till universitet kan det finnas uppgifter där felaktig tillämpning av egenskaper leder till en minskning av ODZ och andra svårigheter med lösningen. I det här avsnittet kommer vi endast att behandla två sådana fall. Mer information om ämnet finns i ämnet "Omvandla uttryck med hjälp av exponentegenskaper".

Exempel 4

Representera uttrycket a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 som en examen med en bas a.

Lösning

Till att börja med använder vi exponentieringsegenskapen och transformerar den andra faktorn med den (a 2) − 3. Sedan använder vi egenskaperna för multiplikation och division av potenser med samma bas:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5, 5 ) = a 2 .

Svar: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Omvandlingen av maktuttryck enligt egenskapen grader kan göras både från vänster till höger och i motsatt riktning.

Exempel 5

Hitta värdet på potensuttrycket 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Lösning

Om vi ​​tillämpar jämställdheten (a b) r = a r b r, från höger till vänster, då får vi en produkt av formen 3 7 1 3 21 2 3 och sedan 21 1 3 21 2 3 . Låt oss lägga till exponenterna när vi multiplicerar potenser med samma baser: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Det finns ett annat sätt att göra transformationer:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Svar: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Exempel 6

Givet ett maktuttryck a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, ange en ny variabel t = a 0, 5.

Lösning

Föreställ dig graden en 1, 5 hur en 0, 5 3. Att använda examensegenskapen i en examen (a r) s = a r s från höger till vänster och få (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . I det resulterande uttrycket kan du enkelt introducera en ny variabel t = a 0, 5: skaffa sig t 3 − t − 6.

Svar: t 3 − t − 6 .

Omvandla bråk som innehåller potenser

Vi brukar behandla två varianter av potensuttryck med bråk: uttrycket är ett bråk med en grad eller innehåller ett sådant bråk. Alla grundläggande bråktransformationer är tillämpliga på sådana uttryck utan begränsningar. De kan reduceras, föras till en ny nämnare, arbeta separat med täljare och nämnare. Låt oss illustrera detta med exempel.

Exempel 7

Förenkla kraftuttrycket 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Lösning

Vi har att göra med ett bråk, så vi kommer att utföra transformationer i både täljaren och nämnaren:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Sätt ett minus framför bråket för att ändra nämnarens tecken: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Svar: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Bråk som innehåller potenser reduceras till en ny nämnare på samma sätt som rationella bråk. För att göra detta måste du hitta en ytterligare faktor och multiplicera täljaren och nämnaren för bråket med den. Det är nödvändigt att välja en ytterligare faktor på ett sådant sätt att den inte försvinner för några värden av variablerna från ODZ-variablerna för det ursprungliga uttrycket.

Exempel 8

Ta bråken till en ny nämnare: a) a + 1 a 0, 7 till nämnaren a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 till nämnaren x + 8 y 1 2 .

Lösning

a) Vi väljer en faktor som gör att vi kan reducera till en ny nämnare. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , därför, som en ytterligare faktor, tar vi en 0, 3. Intervallet av tillåtna värden för variabeln a inkluderar uppsättningen av alla positiva reella tal. Inom detta område, graden en 0, 3 går inte till noll.

Låt oss multiplicera täljaren och nämnaren för ett bråk med en 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Var uppmärksam på nämnaren:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Multiplicera detta uttryck med x 1 3 + 2 · y 1 6 , vi får summan av kuber x 1 3 och 2 · y 1 6 , d.v.s. x + 8 · y 1 2 . Detta är vår nya nämnare, till vilken vi måste ta det ursprungliga bråket.

Så vi hittade ytterligare en faktor x 1 3 + 2 · y 1 6 . Om intervallet av acceptabla värden för variabler x och y uttrycket x 1 3 + 2 y 1 6 försvinner inte, så vi kan multiplicera täljaren och nämnaren för bråket med det:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Svar: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

Exempel 9

Minska fraktionen: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Lösning

a) Använd den största gemensamma nämnaren (GCD) med vilken täljaren och nämnaren kan reduceras. För siffrorna 30 och 45 är detta 15 . Vi kan också minska x 0, 5 + 1 och på x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Vi får:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

b) Här är närvaron av identiska faktorer inte uppenbar. Du kommer att behöva utföra några transformationer för att få samma faktorer i täljaren och nämnaren. För att göra detta utökar vi nämnaren med formeln för skillnaden mellan kvadrater:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Svar: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x O, 5 + 1), b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4.

De huvudsakliga operationerna med bråk inkluderar reduktion till en ny nämnare och reduktion av bråk. Båda åtgärderna utförs i enlighet med ett antal regler. Vid addering och subtraktion av bråk reduceras först bråken till en gemensam nämnare, varefter åtgärder (addition eller subtraktion) utförs med täljare. Nämnaren förblir densamma. Resultatet av våra handlingar är ett nytt bråk, vars täljare är produkten av täljarna, och nämnaren är produkten av nämnarna.

Exempel 10

Gör stegen x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Lösning

Låt oss börja med att subtrahera bråken som står inom parentes. Låt oss ta dem till en gemensam nämnare:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Låt oss subtrahera täljarna:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Nu multiplicerar vi bråk:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Låt oss minska med en grad x 1 2, vi får 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Dessutom kan du förenkla kraftuttrycket i nämnaren med hjälp av formeln för skillnaden mellan kvadrater: kvadrater: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Svar: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Exempel 11

Förenkla kraftuttrycket x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Lösning

Vi kan minska bråkdelen med (x 2 , 7 + 1) 2. Vi får en bråkdel x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Låt oss fortsätta omvandlingar av x potenser x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Nu kan du använda effektdelningsegenskapen med samma baser: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1.

Vi går från den sista produkten till fraktionen x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Svar: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

I de flesta fall är det bekvämare att överföra multiplikatorer med negativa exponenter från täljaren till nämnaren och vice versa genom att ändra exponentens tecken. Denna åtgärd förenklar det fortsatta beslutet. Låt oss ge ett exempel: potensuttrycket (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 kan ersättas med x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Konvertera uttryck med rötter och krafter

I uppgifter finns det maktuttryck som inte bara innehåller grader med bråkexponenter, utan även rötter. Det är önskvärt att reducera sådana uttryck endast till rötter eller endast till makter. Övergången till examina är att föredra, eftersom de är lättare att arbeta med. En sådan övergång är särskilt fördelaktig när DPV för variablerna för det ursprungliga uttrycket tillåter dig att ersätta rötterna med potenser utan att behöva komma åt modulen eller dela upp DPV i flera intervall.

Exempel 12

Uttryck uttrycket x 1 9 x x 3 6 som en potens.

Lösning

Giltigt intervall för en variabel x bestäms av två olikheter x ≥ 0 och x · x 3 ≥ 0 , som definierar uppsättningen [ 0 , + ∞) .

På denna uppsättning har vi rätt att gå från rötter till makter:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Med hjälp av egenskaperna för grader förenklar vi det resulterande kraftuttrycket.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Svar: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Konvertera potenser med variabler i exponenten

Dessa omvandlingar är ganska enkla att göra om du använder gradens egenskaper korrekt. Till exempel, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Vi kan ersätta produkten av graden, i termer av vilken summan av någon variabel och ett tal finns. På vänster sida kan detta göras med den första och sista termen på vänster sida av uttrycket:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Låt oss nu dividera båda sidor av ekvationen med 7 2 x. Detta uttryck på ODZ för variabeln x tar bara positiva värden:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Låt oss reducera bråken med potenser, vi får: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Slutligen ersätts kvoten mellan potenser med samma exponenter av kvoterna, vilket leder till ekvationen 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , vilket motsvarar 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x-2 = 0.

Vi introducerar en ny variabel t = 5 7 x , som reducerar lösningen av den ursprungliga exponentialekvationen till lösningen av andragradsekvationen 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Konvertera uttryck med potenser och logaritmer

Uttryck som innehåller potenser och logaritmer finns också i problem. Exempel på sådana uttryck är: 1 4 1 - 5 log 2 3 eller log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Omvandlingen av sådana uttryck utförs med hjälp av de metoder som diskuterats ovan och egenskaperna hos logaritmer, som vi har analyserat i detalj i ämnet "Transformation av logaritmiska uttryck".

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Addition och subtraktion av potenser

Uppenbarligen kan tal med potenser läggas till som andra kvantiteter , genom att lägga till dem en efter en med deras tecken.

Så summan av a 3 och b 2 är a 3 + b 2 .
Summan av a 3 - b n och h 5 -d 4 är a 3 - b n + h 5 - d 4.

Odds samma potenser av samma variabler kan läggas till eller subtraheras.

Så summan av 2a 2 och 3a 2 är 5a 2 .

Det är också uppenbart att om vi tar två rutor a, eller tre rutor a, eller fem rutor a.

Men grader olika variabler och olika grader identiska variabler, måste läggas till genom att lägga till dem i deras skyltar.

Så summan av a 2 och a 3 är summan av a 2 + a 3 .

Det är uppenbart att kvadraten av a, och kuben av a, varken är två gånger kvadraten av a, utan två gånger kuben av a.

Summan av a 3 b n och 3a 5 b 6 är a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Subtraktion befogenheter utförs på samma sätt som addition, förutom att subtrahendens tecken måste ändras i enlighet med detta.

Eller:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Power multiplikation

Tal med potenser kan multipliceras som andra storheter genom att skriva dem efter varandra, med eller utan multiplikationstecknet mellan dem.

Så resultatet av att multiplicera a 3 med b 2 är a 3 b 2 eller aaabb.

Eller:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Resultatet i det sista exemplet kan beställas genom att lägga till samma variabler.
Uttrycket kommer att ha formen: a 5 b 5 y 3 .

Genom att jämföra flera tal (variabler) med potenser kan vi se att om två av dem multipliceras så blir resultatet ett tal (variabel) med en potens lika med belopp grader av termer.

Så, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = en 5 .

Här är 5 potensen av resultatet av multiplikationen, lika med 2 + 3, summan av termernas potenser.

Så, a n.am = a m+n.

För a n tas a som en faktor lika många gånger som potensen av n är;

Och a m , tas som en faktor lika många gånger som graden m är lika med;

Det är därför, potenser med samma baser kan multipliceras genom att addera exponenterna.

Så, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Och x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Eller:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiplicera (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Svar: x 4 - y 4.
Multiplicera (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Denna regel gäller även för tal vars exponenter är − negativ.

1. Så, a -2 .a -3 = a -5 . Detta kan skrivas som (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n y-m = y-n-m.

3. a -n .a m = a m-n .

Om a + b multipliceras med a - b, blir resultatet a 2 - b 2: det vill säga

Resultatet av att multiplicera summan eller skillnaden mellan två tal är lika med summan eller skillnaden av deras kvadrater.

Om summan och skillnaden mellan två tal höjs till fyrkant, blir resultatet lika med summan eller skillnaden av dessa siffror i fjärde grad.

Så, (a - y).(a + y) = a 2 - y2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Befogenhetsfördelning

Tal med potenser kan delas som andra tal genom att subtrahera från divisorn, eller genom att placera dem i form av ett bråk.

Så a 3 b 2 dividerat med b 2 är a 3 .

Att skriva 5 dividerat med 3 ser ut som $\frac $. Men detta är lika med en 2 . I en serie siffror
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
vilket tal som helst kan delas med ett annat, och exponenten blir lika med skillnad indikatorer för delbara tal.

När potenser divideras med samma bas, subtraheras deras exponenter..

Så, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Det vill säga $\frac = y$.

Och a n+1:a = a n+1-1 = a n . Det vill säga $\frac = a^n$.

Eller:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Regeln gäller även för nummer med negativ gradvärden.
Resultatet av att dividera en -5 med en -3 är en -2 .
Dessutom, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 eller $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Det är nödvändigt att behärska multiplikationen och divisionen av makter mycket väl, eftersom sådana operationer används mycket i algebra.

Exempel på att lösa exempel med bråk som innehåller tal med potenser

1. Minska exponenter i $\frac $ Svar: $\frac $.

2. Minska exponenterna i $\frac$. Svar: $\frac $ eller 2x.

3. Minska exponenterna a 2 / a 3 och a -3 / a -4 och ta till en gemensam nämnare.
a 2 .a -4 är en -2 första täljare.
a 3 .a -3 är a 0 = 1, den andra täljaren.
a 3 .a -4 är a -1 , den gemensamma täljaren.
Efter förenkling: a -2 /a -1 och 1/a -1 .

4. Minska exponenterna 2a 4 /5a 3 och 2 /a 4 och ta till en gemensam nämnare.
Svar: 2a 3 / 5a 7 och 5a 5 / 5a 7 eller 2a 3 / 5a 2 och 5/5a 2.

5. Multiplicera (a 3 + b)/b 4 med (a - b)/3.

6. Multiplicera (a 5 + 1)/x 2 med (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multiplicera b4/a-2 med h-3/x och a n/y-3.

8. Dividera a 4 /y 3 med a 3 /y 2 . Svar: a/y.

examensegenskaper

Vi påminner dig om att vi förstår den här lektionen examensegenskaper med naturliga indikatorer och noll. Examina med rationella indikatorer och deras egenskaper kommer att diskuteras på lektionerna för årskurs 8.

En exponent med en naturlig exponent har flera viktiga egenskaper som gör att du kan förenkla beräkningar i exponentexempel.

Fastighet #1
Produkt av makter

När potenser multipliceras med samma bas förblir basen oförändrad och exponenterna adderas.

a m a n \u003d a m + n, där "a" är ett valfritt tal och "m", "n" är alla naturliga tal.

Denna egenskap hos potenser påverkar också produkten av tre eller flera potenser.

• Förenkla uttrycket.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Presenteras som examen.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Presenteras som examen.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Observera att det i den angivna egenskapen endast handlade om att multiplicera potenser med samma baser.. Det gäller inte deras tillägg.

Du kan inte ersätta summan (3 3 + 3 2) med 3 5 . Detta är förståeligt om
beräkna (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 och 3 5 = 243

Fastighet #2
Privata examina

När man dividerar potenser med samma bas förblir basen oförändrad, och divisorns exponent subtraheras från exponenten för utdelningen.

• Skriv kvoten som en potens
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Beräkna.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Exempel. Lös ekvationen. Vi använder egenskapen partiella grader.
3 8: t = 3 4

Svar: t = 3 4 = 81

Med hjälp av egenskaper nr 1 och nr 2 kan du enkelt förenkla uttryck och utföra beräkningar.

Exempel. Förenkla uttrycket.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Exempel. Hitta värdet på ett uttryck med hjälp av gradegenskaper.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Observera att fastighet 2 endast handlade om maktdelning med samma grunder.

Du kan inte ersätta skillnaden (4 3 −4 2) med 4 1 . Detta är förståeligt om du beräknar (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, och 4 1 = 4

Fastighet #3
Exponentiering

När man höjer en potens till en potens förblir basen för potensen oförändrad, och exponenterna multipliceras.

(a n) m \u003d a n m, där "a" är valfritt tal och "m", "n" är alla naturliga tal.

Vi påminner om att en kvot kan representeras som en bråkdel. Därför kommer vi att uppehålla oss vid ämnet att höja en bråkdel till en makt mer detaljerat på nästa sida.

Hur man multiplicerar makter

Hur multiplicerar man potenser? Vilka potenser kan multipliceras och vilka kan inte? Hur multiplicerar man ett tal med en potens?

I algebra kan du hitta produkten av potenser i två fall:

1) om examina har samma grund;

2) om graderna har samma indikatorer.

När du multiplicerar potenser med samma bas måste basen förbli densamma, och exponenterna måste adderas:

När du multiplicerar grader med samma indikatorer kan den totala indikatorn tas utanför parentes:

Fundera på hur man multiplicerar potenser, med specifika exempel.

Enheten i exponenten skrivs inte, men när man multiplicerar graderna tar de hänsyn till:

Vid multiplikation kan antalet grader vara vilket som helst. Man bör komma ihåg att du inte kan skriva multiplikationstecknet före bokstaven:

I uttryck utförs exponentiering först.

Om du behöver multiplicera ett tal med en potens, måste du först utföra exponentiering, och först därefter - multiplikation:

Multiplicera potenser med samma bas

Denna videohandledning är tillgänglig med prenumeration

Har du redan ett abonnemang? Att komma in

I den här lektionen kommer vi att lära oss hur man multiplicerar potenser med samma bas. Först påminner vi om definitionen av graden och formulerar ett teorem om jämlikhetens giltighet . Sedan ger vi exempel på dess tillämpning på specifika siffror och bevisar det. Vi kommer också att tillämpa satsen för att lösa olika problem.

Ämne: Examen med en naturlig indikator och dess egenskaper

Lektion: Multiplicera potenser med samma baser (formel)

1. Grundläggande definitioner

Grundläggande definitioner:

n- exponent,

— n-te potensen av ett tal.

2. Uttalande av sats 1

Sats 1. För vilket nummer som helst a och alla naturliga n och k jämställdhet är sant:

Med andra ord: om a- vilket nummer som helst; n och k naturliga tal, då:

Därav regel 1:

3. Förklara uppgifter

Slutsats: specialfall bekräftade riktigheten av sats nr 1. Låt oss bevisa det allmänt fall, det vill säga för någon a och alla naturliga n och k.

4. Bevis för sats 1

Givet ett nummer a- någon; tal n och k- naturlig. Bevisa:

Beviset bygger på definitionen av examen.

5. Lösning av exempel med hjälp av sats 1

Exempel 1: Presenteras som examen.

För att lösa följande exempel använder vi sats 1.

och)

6. Generalisering av sats 1

Här är en generalisering:

7. Lösning av exempel med en generalisering av sats 1

8. Lösa olika problem med hjälp av sats 1

Exempel 2: Beräkna (du kan använda tabellen över grundgrader).

a) (enligt tabellen)

b)

Exempel 3: Skriv som en potens med bas 2.

a)

Exempel 4: Bestäm tecknet för siffran:

, en - negativ eftersom exponenten vid -13 är udda.

Exempel 5: Ersätt ( ) med en effekt med en bas r:

Det har vi, det vill säga.

9. Sammanfattning

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. Algebra 7. 6:e upplagan. M.: Upplysning. 2010

1. Skolassistent (Källa).

1. Uttryck som examen:

a B C D E)

3. Skriv som en potens med bas 2:

4. Bestäm tecknet för talet:

a)

5. Ersätt ( ) med en potens av ett tal med en bas r:

a) r4() = r15; b) ( ) r 5 = r 6

Multiplikation och division av potenser med samma exponenter

I den här lektionen kommer vi att studera multiplikationen av potenser med samma exponenter. Låt oss först komma ihåg de grundläggande definitionerna och satserna om att multiplicera och dividera potenser med samma baser och höja en potens till en potens. Sedan formulerar och bevisar vi satser om multiplikation och division av potenser med samma exponenter. Och sedan med deras hjälp kommer vi att lösa ett antal typiska problem.

Påminnelse om grundläggande definitioner och satser

Här a- examensbas

— n-te potensen av ett tal.

Sats 1. För vilket nummer som helst a och alla naturliga n och k jämställdhet är sant:

När potenser multipliceras med samma bas adderas exponenterna, basen förblir oförändrad.

Sats 2. För vilket nummer som helst a och alla naturliga n och k, Så att n > k jämställdhet är sant:

När man dividerar potenser med samma bas, subtraheras exponenterna, och basen förblir oförändrad.

Sats 3. För vilket nummer som helst a och alla naturliga n och k jämställdhet är sant:

Alla ovanstående satser handlade om potenser med detsamma grunder, kommer den här lektionen att överväga grader med samma indikatorer.

Exempel på att multiplicera potenser med samma exponenter

Tänk på följande exempel:

Låt oss skriva ut uttrycken för att bestämma graden.

Slutsats: Från exemplen kan du se det , men detta måste fortfarande bevisas. Vi formulerar satsen och bevisar den i det allmänna fallet, det vill säga för alla a och b och alla naturliga n.

Påstående och bevis för sats 4

För alla siffror a och b och alla naturliga n jämställdhet är sant:

Bevis Sats 4 .

Per definition av examen:

Så det har vi bevisat .

För att multiplicera potenser med samma exponent räcker det att multiplicera baserna och lämna exponenten oförändrad.

Påstående och bevis för sats 5

Vi formulerar ett teorem för att dividera potenser med samma exponenter.

För vilket nummer som helst a och b() och alla naturliga n jämställdhet är sant:

Bevis Sats 5 .

Låt oss skriva ner och per definition av examen:

Uttalande av satser i ord

Så det har vi bevisat.

För att dela grader med samma exponenter i varandra räcker det att dela en bas med en annan och lämna exponenten oförändrad.

Lösning av typiska problem med hjälp av sats 4

Exempel 1: Uttryck som en produkt av makter.

För att lösa följande exempel använder vi sats 4.

För att lösa följande exempel, kom ihåg formlerna:

Generalisering av sats 4

Generalisering av sats 4:

Lösa exempel med hjälp av generaliserad sats 4

Fortsatte att lösa typiska problem

Exempel 2: Skriv som en produktgrad.

Exempel 3: Skriv som en potens med exponenten 2.

Beräkningsexempel

Exempel 4: Beräkna på det mest rationella sättet.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. Algebra 7 .M .: Utbildning. 2006

2. Skolassistent (Källa).

1. Presentera som en produkt av makter:

a) ; b) ; i) ; G);

2. Skriv ner som graden av produkten:

3. Skriv i form av en examen med en indikator på 2:

4. Räkna på det mest rationella sättet.

Matematiklektion på ämnet "Multiplikation och maktdelning"

Avsnitt: Matte

Pedagogiskt mål:

eleven kommer att lära sig att skilja mellan egenskaperna för multiplikation och division av potenser med en naturlig exponent; tillämpa dessa egenskaper när det gäller samma baser;

eleven får möjlighet kunna utföra transformationer av grader med olika baser och kunna utföra transformationer i kombinerade uppgifter.

Uppgifter:

organisera elevernas arbete genom att upprepa tidigare studerat material;

säkerställa reproduktionsnivån genom att utföra övningar av olika slag;

organisera självutvärdering av elever genom testning.

Aktivitetsenheter i doktrinen: bestämning av graden med en naturlig indikator; examenskomponenter; definition av privat; associativ multiplikationslag.

I. Anordnande av studenters demonstration av att bemästra befintlig kunskap. (steg 1)

a) Uppdatering av kunskap:

2) Formulera en definition av examen med en naturlig indikator.

a n \u003d a a a a ... a (n gånger)

b k \u003d b b b b a ... b (k gånger) Motivera ditt svar.

II. Organisation av självbedömning av praktikanten efter graden av innehav av relevant erfarenhet. (steg 2)

Test för självrannsakan: (enskilt arbete i två versioner.)

A1) Uttryck produkten 7 7 7 7 x x x som en potens:

A2) Uttryck som produkt graden (-3) 3 x 2

A3) Beräkna: -2 3 2 + 4 5 3

Jag väljer antalet uppgifter i provet i enlighet med förberedelsen av klassnivån.

Till testet ger jag en nyckel för självtestning. Kriterier: godkänt-underkänd.

III. Pedagogisk och praktisk uppgift (steg 3) + steg 4. (eleverna ska själva formulera egenskaperna)

beräkna: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

Förenkla: a 2 a 20 =? b 30 b 10 b 15 = ?

I samband med att lösa problem 1) och 2) föreslår eleverna en lösning, och jag som lärare organiserar en klass för att hitta ett sätt att förenkla potenserna när man multiplicerar med samma baser.

Lärare: kom på ett sätt att förenkla potenser när du multiplicerar med samma bas.

En post visas i klustret:

Temat för lektionen är formulerat. Multiplikation av potenser.

Lärare: kom på en regel för att dela grader med samma baser.

Resonemang: vilken åtgärd kontrollerar splittring? a 5: a 3 = ? att a 2 a 3 = a 5

Jag återgår till schemat - ett kluster och kompletterar posten - ..när jag delar, subtraherar och lägger till ämnet för lektionen. ...och uppdelning av grader.

IV. Kommunikation till studenter om kunskapens gränser (som ett minimum och som ett maximum).

Lärare: uppgiften med minimum för dagens lektion är att lära sig hur man tillämpar egenskaperna för multiplikation och division av potenser med samma baser, och maximum: att tillämpa multiplikation och division tillsammans.

Skriv på tavlan : a m a n = a m + n; a m: a n = a m-n

V. Organisation av studiet av nytt material. (steg 5)

a) Enligt läroboken: nr 403 (a, c, e) uppgifter med olika formuleringar

Nr 404 (a, e, f) självständigt arbete, sedan organiserar jag en ömsesidig kontroll, jag ger nycklarna.

b) För vilket värde av m har jämställdheten? a 16 a m \u003d a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Uppgift: kom på liknande exempel för division.

c) nr 417(a), nr 418 (a) Fällor för studenter: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6; a 16: a 8 \u003d a 2.

VI. Att sammanfatta vad som har lärts, utföra diagnostiskt arbete (som uppmuntrar elever, inte lärare, att studera detta ämne) (steg 6)

diagnostiskt arbete.

Testa(lägg på nycklarna baksidan testa).

Uppgiftsalternativ: presentera som examen kvoten x 15: x 3; representera som en effekt produkten (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; för vilken m är likheten a 16 a m = a 32 sant; hitta värdet på uttrycket h 0: h 2 med h = 0,2; beräkna värdet på uttrycket (5 2 5 0): 5 2 .

Sammanfattning av lektionen. Reflexion. Jag delar in klassen i två grupper.

Hitta argumenten för grupp I: till förmån för kunskap om gradens egenskaper, och grupp II - argument som säger att du klarar dig utan egenskaper. Vi lyssnar på alla svar, drar slutsatser. I efterföljande lektioner kan du erbjuda statistiska data och namnge rubriken "Det passar inte i mitt huvud!"

Genomsnittspersonen äter 32 10 2 kg gurkor under sin livstid.

Getingen är kapabel att göra en non-stop flygning på 3,2 10 2 km.

När glas spricker fortplantar sig sprickan med en hastighet av ca 5 10 3 km/h.

En groda äter över 3 ton myggor under sin livstid. Använd graden, skriv i kg.

Den mest produktiva är havsfisken - månen (Mola mola), som lägger upp till 300 000 000 ägg med en diameter på cirka 1,3 mm i en lek. Skriv detta tal med en grad.

VII. Läxa.

Historik referens. Vilka nummer kallas Fermat-nummer.

P.19. #403, #408, #417

Begagnade böcker:

Lärobok "Algebra-7", författarna Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk och andra.

Didaktiskt material för årskurs 7, L.V. Kuznetsova, L.I. Zvavich, S.B. Suvorov.

Encyclopedia of Mathematics.

Journal "Quantum".

Egenskaper för examina, formuleringar, bevis, exempel.

Efter att graden av antalet har bestämts är det logiskt att tala om examensegenskaper. I den här artikeln kommer vi att ge de grundläggande egenskaperna för graden av ett tal, samtidigt som vi berör alla möjliga exponenter. Här kommer vi att ge bevis för examens alla egenskaper, och även visa hur dessa egenskaper tillämpas vid lösning av exempel.

Sidnavigering.

Egenskaper för grader med naturliga indikatorer

Per definition av en potens med en naturlig exponent är styrkan av ett n produkten av n faktorer, som var och en är lika med a . Baserat på denna definition, och med hjälp av egenskaper för multiplikation av reella tal, kan vi erhålla och motivera följande gradegenskaper med naturlig exponent:

huvudegenskapen för graden a m ·a n =a m+n , dess generalisering a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +...+n k ;

egenskapen för partiella potenser med samma baser a m:a n =a m−n ;

produktgradsegenskap (a b) n =a n b n , dess förlängning (a 1 a 2 a k) n = a 1 n a 2 n a k n ;

kvotegendom in natura (a:b) n =a n:b n ;

exponentiering (a m) n =a m n , dess generalisering (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 ·n 2 ·... n k ;

jämföra grad med noll:

• om a>0, då a n >0 för vilket naturligt n som helst;
• om a=0 så är a n=0;
• om a 2 m >0 , om a 2 m−1 n ;
• om m och n är naturliga tal så att m>n , då är för 0m n och för a>0 olikheten a m >a n sann.

Vi noterar omedelbart att alla skriftliga likheter är identisk under de angivna förhållandena, och deras högra och vänstra delar kan bytas ut. Till exempel, huvudegenskapen för bråket a m a n = a m + n med förenkling av uttryck används ofta i formen a m+n = a m a n .

Låt oss nu titta på var och en av dem i detalj.

Låt oss börja med egenskapen hos produkten av två potenser med samma baser, som kallas examens huvudsakliga egenskap: för alla reella tal a och alla naturliga tal m och n är likheten a m ·a n =a m+n sann.

Låt oss bevisa gradens huvudsakliga egenskap. Genom definition av en grad med en naturlig exponent kan produkten av potenser med samma baser av formen a m a n skrivas som produkten . På grund av multiplikationens egenskaper kan det resulterande uttrycket skrivas som , och denna produkt är styrkan av a med naturlig exponent m+n , det vill säga a m+n . Detta fullbordar beviset.

Låt oss ge ett exempel som bekräftar gradens huvudegenskap. Låt oss ta grader med samma baser 2 och naturliga potenser 2 och 3, enligt gradens huvudegenskap kan vi skriva likheten 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Låt oss kontrollera dess giltighet, för vilken vi beräknar värdena för uttrycken 2 2 · 2 3 och 2 5 . Genom att utföra exponentiering har vi 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 och 2 5 =2 2 2 2 2=32 , eftersom vi får lika värden, då är likheten 2 2 2 3 = 2 5 är sant, och det bekräftar gradens huvudegenskap.

Huvudegenskapen för en grad baserad på multiplikationsegenskaperna kan generaliseras till produkten av tre eller flera grader med samma baser och naturliga exponenter. Så för vilket tal k som helst av naturliga tal n 1 , n 2 , …, n k är likheten a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +...+n k sann.

Till exempel, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 =(2.1) 17 .

Du kan gå vidare till nästa egenskap av grader med en naturlig indikator - egenskapen för partiella makter med samma grunder: för alla reella tal a som inte är noll och godtyckliga naturliga tal m och n som uppfyller villkoret m>n , är likheten a m:a n =a m−n sann.

Innan vi ger bevis på denna egenskap, låt oss diskutera innebörden av de ytterligare villkoren i uttalandet. Villkoret a≠0 är nödvändigt för att undvika division med noll, eftersom 0 n =0, och när vi bekantade oss med division var vi överens om att det är omöjligt att dividera med noll. Villkoret m>n införs för att vi inte ska gå längre än naturliga exponenter. För m>n är exponenten a m−n ett naturligt tal, annars blir det antingen noll (vilket händer när m−n) eller ett negativt tal (vilket händer när m m−n a n =a (m−n) + n = a m Av den erhållna likheten a m−n a n = a m och av relationen mellan multiplikation och division följer att a m−n är en partialpotens av a m och a n. Detta bevisar egenskapen hos partialpotenser med samma baser.

Låt oss ta ett exempel. Låt oss ta två grader med samma baser π och naturliga exponenter 5 och 2, gradens betraktade egenskap motsvarar likheten π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

Överväg nu produktgradsegenskap: den naturliga graden n av produkten av två reella tal a och b är lika med produkten av graderna a n och b n , det vill säga (a b) n =a n b n .

I själva verket, per definition av en grad med en naturlig exponent, har vi . Sista stycket baserat på egenskaperna för multiplikation kan skrivas om som , vilket är lika med a n b n .

Här är ett exempel: .

Denna egenskap sträcker sig till graden av produkten av tre eller flera faktorer. Det vill säga, den naturliga gradegenskapen n för produkten av k faktorer skrivs som (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

För tydlighetens skull visar vi den här egenskapen med ett exempel. För produkten av tre faktorer i makten 7 har vi .

Nästa fastighet är naturlig egendom: kvoten av de reella talen a och b , b≠0 till den naturliga potensen n är lika med kvoten av potenserna a n och b n , det vill säga (a:b) n =a n:b n .

Beviset kan utföras med den tidigare egenskapen. Så (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n , och av likheten (a:b) n b n =a n följer att (a:b) n är en kvot av a n till b n .

Låt oss skriva den här egenskapen med exemplet med specifika siffror: .

Låt oss nu rösta exponentieringsegenskap: för varje reellt tal a och alla naturliga tal m och n är makten av a m till potensen av n lika med potensen av a med exponent m·n , det vill säga (a m) n =a m·n .

Till exempel, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

Beviset på maktegenskapen i en grad är följande kedja av likheter: .

Den betraktade egendomen kan utökas till grad inom grad inom grad, och så vidare. Till exempel, för alla naturliga tal p, q, r och s, är likheten . För större tydlighet, låt oss ge ett exempel med specifika siffror: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Det återstår att uppehålla sig vid egenskaperna för att jämföra grader med en naturlig exponent.

Vi börjar med att bevisa jämförelseegenskapen för noll och makt med en naturlig exponent.

Låt oss först motivera att a n >0 för valfri a>0 .

Produkten av två positiva tal är ett positivt tal, enligt definitionen av multiplikation. Detta faktum och multiplikationens egenskaper gör att vi kan hävda att resultatet av att multiplicera ett valfritt antal positiva tal också blir ett positivt tal. Och styrkan av a med naturlig exponent n är per definition produkten av n faktorer, som var och en är lika med a. Dessa argument tillåter oss att hävda att för varje positiv bas a är graden av n ett positivt tal. I kraft av den bevisade egenskapen 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 och .

Det är ganska uppenbart att för varje naturligt n med a=0 är graden av ett n noll. Faktum är att 0n =0·0·…·0=0 . Till exempel, 0 3 =0 och 0 762 =0 .

Låt oss gå vidare till negativa grunder.

Låt oss börja med fallet när exponenten är ett jämnt tal, beteckna det som 2 m , där m är ett naturligt tal. Sedan . Enligt regeln om multiplikation av negativa tal är var och en av produkterna av formen a a lika med produkten av modulerna av talen a och a, vilket betyder att det är ett positivt tal. Därför kommer produkten också att vara positiv. och grad a 2 m . Här är exempel: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 och .

Slutligen, när basen av a är ett negativt tal och exponenten är ett udda tal 2 m−1, då . Alla produkter a·a är positiva tal, produkten av dessa positiva tal är också positiv, och dess multiplikation med det återstående negativa talet a resulterar i ett negativt tal. På grund av denna egenskap är (−5) 3 17 n n produkten av vänster och höger del av n verkliga olikheter a egenskaper hos ojämlikheter, den ojämlikhet som bevisas är av formen a n n . Till exempel, på grund av denna egenskap, ojämlikheterna 3 7 7 och .

Det återstår att bevisa det sista av listade fastigheter grader med naturliga indikatorer. Låt oss formulera det. Av de två graderna med naturliga indikatorer och samma positiva baser, mindre än en, är graden större, vars indikator är mindre; och av två grader med naturliga indikatorer och samma baser större än en, graden vars indikator är större är större. Vi vänder oss till beviset för denna egenskap.

Låt oss bevisa att för m>n och 0m n . För att göra detta skriver vi skillnaden a m − a n och jämför den med noll. Den skrivna skillnaden efter att ha tagit ett n inom parentes kommer att ha formen a n ·(a m−n −1) . Den resulterande produkten är negativ som produkten av ett positivt tal a n och ett negativt tal a m−n −1 (a n är positiv som en naturlig potens av ett positivt tal, och skillnaden a m−n −1 är negativ, eftersom m−n >0 på grund av initialvillkoret m>n , varav det följer att för 0m−n är det mindre än ett). Därför a m − a n m n , som skulle bevisas. Till exempel ger vi rätt ojämlikhet.

Det återstår att bevisa den andra delen av fastigheten. Låt oss bevisa att för m>n och a>1 är a m >a n sant. Skillnaden a m −a n efter att ha tagit ett n inom parentes har formen a n ·(a m−n −1) . Denna produkt är positiv, eftersom för a>1 graden av a n är ett positivt tal, och skillnaden a m−n −1 är ett positivt tal, eftersom m−n>0 på grund av initialtillståndet, och för a>1, graden av en m−n är större än en . Därför a m − a n >0 och a m >a n , vilket skulle bevisas. Denna egenskap illustreras av ojämlikheten 3 7 >3 2 .

Egenskaper för grader med heltalsexponenter

Eftersom positiva heltal är naturliga tal, så sammanfaller alla egenskaper hos potenser med positiva heltalsexponenter exakt med egenskaperna hos potenser med naturliga exponenter listade och bevisade i föregående stycke.

Vi definierade en grad med en negativ heltalsexponent, såväl som en grad med en nollexponent, så att alla egenskaper hos grader med naturliga exponenter uttryckta av likheter förblir giltiga. Därför är alla dessa egenskaper giltiga både för nollexponenter och för negativa exponenter, medan, naturligtvis, gradernas baser är icke-noll.

Så för alla reella och icke-nolltal a och b, såväl som alla heltal m och n, är följande sant egenskaper hos grader med heltalsexponenter:

• a m a n \u003d a m + n;
• a m: a n = a m−n ;
• (a b) n = anbn;
• (a:b) n =a n:bn;
• (a m) n = a m n;
• om n är ett positivt heltal är a och b positiva tal och a n n och a−n>b−n ;
• om m och n är heltal, och m>n, då för 0m n och för a>1, är olikheten a m >a n uppfylld.

För a=0 är potenserna a m och a n meningsfulla endast när både m och n är positiva heltal, det vill säga naturliga tal. De egenskaper som just skrivits är alltså giltiga för de fall då a=0 och talen m och n är positiva heltal.

Det är inte svårt att bevisa var och en av dessa egenskaper, för detta räcker det att använda definitionerna av graden med en naturlig och heltalsexponent, såväl som egenskaperna för åtgärder med reella tal. Som ett exempel, låt oss bevisa att maktegenskapen gäller för både positiva heltal och icke-positiva heltal. För att göra detta måste vi visa att om p är noll eller ett naturligt tal och q är noll eller ett naturligt tal, då är likheterna (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) och (a −p) −q =a (−p) (−q) . Vi gör det.

För positiva p och q bevisades likheten (a p) q =a p·q i föregående underavsnitt. Om p=0 så har vi (a 0) q =1 q =1 och a 0 q =a 0 =1 , varav (a 0) q =a 0 q . På liknande sätt, om q=0, då (a p) 0 =1 och a p 0 = a 0 = 1, varav (a p) 0 = a p 0 . Om både p=0 och q=0, då (a 0) 0 =1 0 =1 och a 0 0 =a 0 =1 , varav (a 0) 0 =a 0 0 .

Låt oss nu bevisa att (a −p) q =a (−p) q . Per definition av en grad med en negativ heltalsexponent , alltså . Genom egenskapen hos kvoten i graden har vi . Eftersom 1 p =1·1·…·1=1 och , då . Det sista uttrycket är per definition en potens av formen a −(p q) , som i kraft av multiplikationsreglerna kan skrivas som en (−p) q .

Liknande .

Och .

Enligt samma princip kan man bevisa alla andra egenskaper hos en grad med en heltalsexponent, skriven i form av likheter.

I den näst sista av de registrerade egenskaperna är det värt att uppehålla sig vid beviset för olikheten a −n >b −n , vilket är sant för alla negativa heltal −n och alla positiva a och b för vilka villkoret a . Vi skriver och transformerar skillnaden mellan vänster och höger del av denna ojämlikhet: . Eftersom genom villkor a n n , därför b n − a n >0 . Produkten a n · b n är också positiv som produkten av positiva tal a n och b n . Då är det resulterande bråket positivt som en kvot av positiva tal b n − a n och a n b n . Därav, varifrån a −n >b −n , som skulle bevisas.

Den sista egenskapen för grader med heltalsexponenter bevisas på samma sätt som den analoga egenskapen för grader med naturliga exponenter.

Egenskaper hos potenser med rationella exponenter

Vi definierade graden med en bråkdelsexponent genom att utöka egenskaperna för en grad med en heltalsexponent till den. Med andra ord, grader med bråkexponenter har samma egenskaper som grader med heltalsexponenter. Nämligen:

1. egenskapen hos produkten av makter med samma bas för a>0, och om och, sedan för a≥0;
2. egendom av partiella makter med samma baser för a>0;
3. fraktionerad produktegenskap för a>0 och b>0, och om och, sedan för a≥0 och (eller) b>0;
4. kvotegenskap till en bråkpotens för a>0 och b>0, och om, då för a≥0 och b>0;
5. grad egendom i grad för a>0, och om och, sedan för a≥0;
6. egenskapen att jämföra potenser med lika rationella exponenter: för alla positiva tal a och b, a 0 är olikheten a p p giltig, och för p p >b p ;
7. egenskapen att jämföra potenser med rationella exponenter och lika baser: för rationella tal p och q, p>q för 0p q, och för a>0, olikheten a p >a q .

Beviset för egenskaperna hos grader med bråkexponenter baseras på definitionen av en grad med en bråkdelsexponent, på egenskaperna hos den aritmetiska roten av den n:e graden och på egenskaperna hos en grad med en heltalsexponent. Låt oss ge bevis.

Per definition av graden med en bråkdel exponent och , då . Egenskaperna för den aritmetiska roten gör att vi kan skriva följande likheter. Vidare, genom att använda egenskapen för graden med en heltalsexponent, erhåller vi , varifrån vi, genom definitionen av en grad med en bråkdelsexponent, har , och exponenten för den erhållna graden kan omvandlas enligt följande: . Detta fullbordar beviset.

Den andra egenskapen för potenser med bråkexponenter bevisas på exakt samma sätt:


Resten av jämlikheterna bevisas av liknande principer:


Vi vänder oss till beviset för nästa egendom. Låt oss bevisa att för alla positiva a och b , a 0 är olikheten a p p giltig, och för p p >b p . Vi skriver det rationella talet p som m/n , där m är ett heltal och n är ett naturligt tal. Villkor p 0 i detta fall kommer att vara ekvivalenta med villkor m 0, respektive. För m>0 och am m . Från denna olikhet, genom egenskapen hos rötterna, har vi , och eftersom a och b är positiva tal, då, baserat på definitionen av graden med en bråkdelsexponent, kan den resulterande olikheten skrivas om till , det vill säga a p p .

På liknande sätt, när m m >b m , varifrån, det vill säga, och a p >b p .

Det återstår att bevisa den sista av de listade fastigheterna. Låt oss bevisa att för rationella tal p och q , p>q för 0p q , och för a>0 olikheten a p >a q . Vi kan alltid reducera de rationella talen p och q till en gemensam nämnare, låt oss få vanliga bråk och , där m 1 och m 2 är heltal, och n är ett naturligt tal. I detta fall kommer villkoret p>q att motsvara villkoret m 1 >m 2, som följer av regeln för att jämföra vanliga bråk med samma nämnare. Sedan, genom egenskapen att jämföra potenser med samma baser och naturliga exponenter, för 0m 1 m 2 och för a>1, olikheten a m 1 >a m 2 . Dessa ojämlikheter i fråga om rötternas egenskaper kan skrivas om, respektive, som och . Och definitionen av en examen med en rationell exponent tillåter oss att övergå till ojämlikheterna och resp. Härifrån drar vi den slutliga slutsatsen: för p>q och 0p q, och för a>0, olikheten a p >a q .

Egenskaper för grader med irrationella exponenter

Av hur en grad med en irrationell exponent definieras kan vi dra slutsatsen att den har alla egenskaper hos grader med rationella exponenter. Så för alla a>0 , b>0 och irrationella tal p och q gäller följande egenskaper hos grader med irrationella exponenter:

1. a p a q = a p + q;
2. a p:a q = a p−q;
3. (ab) p = apbp;
4. (a:b) p =a p:bp;
5. (a p) q = a pq;
6. för alla positiva tal a och b , a 0 är olikheten a p p giltig, och för p p >b p ;
7. för irrationella tal p och q , p>q för 0p q , och för a>0 olikheten a p >a q .

Av detta kan vi dra slutsatsen att potenser med eventuella reella exponenter p och q för a>0 har samma egenskaper.

• Algebra - 10:e klass. Trigonometriska ekvationer Lektion och presentation om ämnet: "Lösning av de enklaste trigonometriska ekvationerna" Ytterligare material Kära användare, glöm inte att lämna dina kommentarer, feedback, förslag! Allt material […]
• En tävling om tjänsten "SÄLJARE - KONSULT" är öppen: Ansvar: försäljning mobiltelefoner och tillbehör till mobil kommunikation serviceunderhåll för Beeline, Tele2, MTS-abonnenter tariffplaner och tjänster Beeline och Tele2, MTS-konsulttjänster […]
• En parallellepiped med formeln En parallellepiped är en polyeder med 6 ytor, som var och en är ett parallellogram. En kuboid är en kuboid vars varje sida är en rektangel. Varje parallellepiped kännetecknas av 3 […]
• Society for Protection of Consumer Rights Astana För att få en pinkod för att komma åt detta dokument på vår webbplats, skicka ett SMS med texten zan till numret Prenumeranter hos GSM-operatörer (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) genom att skicka ett sms till rummet, […]
• STAVNING Н OCH НН I OLIKA DELAR AV TALET 2. Nämn undantagen från dessa regler. 3. Hur man skiljer ett verbalt adjektiv med suffixet -n- från ett particip med […]
• Anta lagen om familjegårdar Anta den federala lagen om gratis tilldelning till varje villig medborgare Ryska Federationen eller en familj av medborgare av en tomt för att anordna ett familjehem på den på följande villkor: 1. Tomten är avsatt för […]
• INSPEKTION AV GOSTEKHNADZOR I BRYANSK REGIONEN Kvittot på betalning av statlig tull (Nedladdning-12,2 kb) Ansökningar om registrering för enskilda (Nedladdning-12 kb) Ansökningar om registrering för juridiska personer (Nedladdning-11,4 kb) 1. Vid registrering av ny bil: 1.ansökan 2.pass […]
• Vi har inte spelat 1x1-turneringar på länge. Och det är dags att återuppta denna tradition. Tills vi kan organisera en separat stege och turneringar för 1v1-spelare, föreslår vi att du använder dina lagprofiler på hemsidan. Subtrahera eller lägg till poäng för spel i matcher [...]

Uppenbarligen kan tal med potenser läggas till som andra kvantiteter , genom att lägga till dem en efter en med deras tecken.

Så summan av a 3 och b 2 är a 3 + b 2 .
Summan av a 3 - b n och h 5 - d 4 är a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Odds samma potenser av samma variabler kan läggas till eller subtraheras.

Så summan av 2a 2 och 3a 2 är 5a 2 .

Det är också uppenbart att om vi tar två rutor a, eller tre rutor a, eller fem rutor a.

Men grader olika variabler och olika grader identiska variabler, måste läggas till genom att lägga till dem i deras skyltar.

Så summan av a 2 och a 3 är summan av a 2 + a 3 .

Det är uppenbart att kvadraten av a, och kuben av a, varken är två gånger kvadraten av a, utan två gånger kuben av a.

Summan av a 3 b n och 3a 5 b 6 är a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Subtraktion befogenheter utförs på samma sätt som addition, förutom att subtrahendens tecken måste ändras i enlighet med detta.

Eller:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Power multiplikation

Tal med potenser kan multipliceras som andra storheter genom att skriva dem efter varandra, med eller utan multiplikationstecknet mellan dem.

Så resultatet av att multiplicera a 3 med b 2 är a 3 b 2 eller aaabb.

Eller:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Resultatet i det sista exemplet kan beställas genom att lägga till samma variabler.
Uttrycket kommer att ha formen: a 5 b 5 y 3 .

Genom att jämföra flera tal (variabler) med potenser kan vi se att om två av dem multipliceras så blir resultatet ett tal (variabel) med en potens lika med belopp grader av termer.

Så, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = en 5 .

Här är 5 potensen av resultatet av multiplikationen, lika med 2 + 3, summan av termernas potenser.

Så, a n.am = a m+n.

För a n tas a som en faktor lika många gånger som potensen av n är;

Och a m , tas som en faktor lika många gånger som graden m är lika med;

Det är därför, potenser med samma baser kan multipliceras genom att addera exponenterna.

Så, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Och x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Eller:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiplicera (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Svar: x 4 - y 4.
Multiplicera (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Denna regel gäller även för tal vars exponenter är - negativ.

1. Så, a -2 .a -3 = a -5 . Detta kan skrivas som (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n y-m = y-n-m.

3. a -n .a m = a m-n .

Om a + b multipliceras med a - b, blir resultatet a 2 - b 2: det vill säga

Resultatet av att multiplicera summan eller skillnaden mellan två tal är lika med summan eller skillnaden av deras kvadrater.

Om summan och skillnaden mellan två tal höjs till fyrkant, blir resultatet lika med summan eller skillnaden av dessa siffror i fjärde grad.

Så, (a - y).(a + y) = a 2 - y2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Befogenhetsfördelning

Tal med potenser kan delas som andra tal genom att subtrahera från divisorn, eller genom att placera dem i form av ett bråk.

Så a 3 b 2 dividerat med b 2 är a 3 .

Eller:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Att skriva 5 dividerat med 3 ser ut som $\frac(a^5)(a^3)$. Men detta är lika med en 2 . I en serie siffror
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
vilket tal som helst kan delas med ett annat, och exponenten blir lika med skillnad indikatorer för delbara tal.

När potenser divideras med samma bas, subtraheras deras exponenter..

Så, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Det vill säga $\frac(yyy)(yy) = y$.

Och a n+1:a = a n+1-1 = a n . Det vill säga $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Eller:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Regeln gäller även för nummer med negativ gradvärden.
Resultatet av att dividera en -5 med en -3 är en -2 .
Dessutom, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 eller $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Det är nödvändigt att behärska multiplikationen och divisionen av makter mycket väl, eftersom sådana operationer används mycket i algebra.

Exempel på att lösa exempel med bråk som innehåller tal med potenser

1. Minska exponenterna i $\frac(5a^4)(3a^2)$ Svar: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Minska exponenterna i $\frac(6x^6)(3x^5)$. Svar: $\frac(2x)(1)$ eller 2x.

3. Minska exponenterna a 2 / a 3 och a -3 / a -4 och ta till en gemensam nämnare.
a 2 .a -4 är en -2 första täljare.
a 3 .a -3 är a 0 = 1, den andra täljaren.
a 3 .a -4 är a -1 , den gemensamma täljaren.
Efter förenkling: a -2 /a -1 och 1/a -1 .

4. Minska exponenterna 2a 4 /5a 3 och 2 /a 4 och ta till en gemensam nämnare.
Svar: 2a 3 / 5a 7 och 5a 5 / 5a 7 eller 2a 3 / 5a 2 och 5/5a 2.

5. Multiplicera (a 3 + b)/b 4 med (a - b)/3.

6. Multiplicera (a 5 + 1)/x 2 med (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multiplicera b4/a-2 med h-3/x och a n/y-3.

8. Dividera a 4 /y 3 med a 3 /y 2 . Svar: a/y.

9. Dividera (h 3 - 1)/d 4 med (d n + 1)/h.

Vi påminner dig om att vi förstår den här lektionen examensegenskaper med naturliga indikatorer och noll. Examina med rationella indikatorer och deras egenskaper kommer att diskuteras på lektionerna för årskurs 8.

En exponent med en naturlig exponent har flera viktiga egenskaper som gör att du kan förenkla beräkningar i exponentexempel.

Fastighet #1
Produkt av makter

Kom ihåg!

När potenser multipliceras med samma bas förblir basen oförändrad och exponenterna adderas.

a m a n \u003d a m + n, där "a" - vilket tal som helst och "m", "n" - alla naturliga tal.

Denna egenskap hos potenser påverkar också produkten av tre eller flera potenser.

• Förenkla uttrycket.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Presenteras som examen.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Presenteras som examen.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Viktig!

Observera att det i den angivna egenskapen endast handlade om att multiplicera potenser med samma grunder . Det gäller inte deras tillägg.

Du kan inte ersätta summan (3 3 + 3 2) med 3 5 . Detta är förståeligt om
beräkna (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 och 3 5 = 243

Fastighet #2
Privata examina

Kom ihåg!

När man dividerar potenser med samma bas förblir basen oförändrad, och divisorns exponent subtraheras från exponenten för utdelningen.

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44

Exempel. Lös ekvationen. Vi använder egenskapen partiella grader.
3 8: t = 3 4

T = 3 8 − 4

Svar: t = 3 4 = 81

Med hjälp av egenskaper nr 1 och nr 2 kan du enkelt förenkla uttryck och utföra beräkningar.

• Exempel. Förenkla uttrycket.
  4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
• Exempel. Hitta värdet på ett uttryck med hjälp av gradegenskaper.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Viktig!

  Observera att fastighet 2 endast handlade om maktdelning med samma grunder.

  Du kan inte ersätta skillnaden (4 3 −4 2) med 4 1 . Detta är förståeligt om vi överväger (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 och 4 1 = 4

  Var försiktig!

  Fastighet #3
  Exponentiering

  Kom ihåg!

  När man höjer en potens till en potens förblir basen för potensen oförändrad, och exponenterna multipliceras.

  (a n) m \u003d a n m, där "a" är valfritt tal och "m", "n" är alla naturliga tal.

  
  

  Egenskaper 4
  Produktexamen

  Kom ihåg!

  När man höjer en produkt till en makt, höjs var och en av faktorerna till en makt. Resultaten multipliceras sedan.

  (a b) n \u003d a n b n, där "a", "b" är alla rationella tal; "n" - vilket naturligt tal som helst.

  • Exempel 1
    (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2
    
  • Exempel 2
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  Viktig!

  Observera att egenskap nr 4, liksom andra egenskaper för grader, också tillämpas i omvänd ordning.

  (a n b n)= (a b) n

  Det vill säga, för att multiplicera grader med samma exponenter kan du multiplicera baserna och lämna exponenten oförändrad.

  • Exempel. Beräkna.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Exempel. Beräkna.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  I mer svåra exempel det kan finnas fall då multiplikation och division måste utföras på potenser med olika baser och olika exponenter. I det här fallet rekommenderar vi att du gör följande.

  Till exempel, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Exempel på exponentiering av ett decimaltal.

  4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = fyra

  Egenskaper 5
  Kvotens makt (bråk)

  Kom ihåg!

  För att höja en kvot till en potens kan du höja utdelningen och divisorn separat till denna potens, och dividera det första resultatet med det andra.

  (a: b) n \u003d a n: b n, där "a", "b" är alla rationella tal, b ≠ 0, n är vilket naturligt tal som helst.

  • Exempel. Uttryck uttrycket som partiella krafter.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Vi påminner om att en kvot kan representeras som en bråkdel. Därför kommer vi att uppehålla oss vid ämnet att höja en bråkdel till en makt mer detaljerat på nästa sida.

En av de viktigaste egenskaperna inom algebra, och faktiskt i all matematik, är en examen. Naturligtvis på 2000-talet kan alla beräkningar utföras på en online-kalkylator, men det är bättre att lära sig hur man gör det själv för utvecklingen av hjärnor.

I den här artikeln kommer vi att överväga de viktigaste frågorna angående denna definition. Vi kommer nämligen att förstå vad det är i allmänhet och vilka är dess huvudfunktioner, vilka egenskaper som finns i matematik.

Låt oss titta på exempel på hur beräkningen ser ut, vilka är de grundläggande formlerna. Vi kommer att analysera huvudtyperna av kvantiteter och hur de skiljer sig från andra funktioner.

Vi kommer att förstå hur man löser olika problem med detta värde. Vi kommer att visa med exempel hur man höjer till nollgrad, irrationellt, negativt osv.

Exponentieringsräknare online

Vad är graden av ett tal

Vad menas med uttrycket "höja en siffra till en makt"?

Graden n av ett tal a är produkten av faktorer av storlek n gånger i rad.

Matematiskt ser det ut så här:

a n = a * a * a * …a n .

Till exempel:

• 2 3 = 2 i det tredje steget. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 i steg. två = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 i steg. fyra = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 i 5 steg. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000;
• 10 4 \u003d 10 i 4 steg. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10 000.

Nedan finns en tabell med rutor och kuber från 1 till 10.

Tabell över grader från 1 till 10

Nedan visas resultaten av att höja naturliga tal till positiva potenser - "från 1 till 100".

Ch-lo	2:a klass	årskurs 3
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Examensegenskaper

Vad är utmärkande för en sådan matematisk funktion? Låt oss titta på de grundläggande egenskaperna.

Forskare har fastställt följande tecken som är karakteristiska för alla grader:

• an*am = (a) (n+m);
• a n: am = (a) (n-m);
• (a b) m = (a) (b*m).

Låt oss kolla med exempel:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Å andra sidan 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

På samma sätt: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Annars 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Vad händer om det är annorlunda? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Som ni ser fungerar reglerna.

Men hur ska man vara med addition och subtraktion? Allt är enkelt. Första exponentieringen utförs, och först därefter addition och subtraktion.

Låt oss titta på exempel:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Men i det här fallet måste du först beräkna tillägget, eftersom det finns åtgärder inom parentes: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Hur man producerar datorer i mer svåra fall ? Ordningen är densamma:

• om det finns parenteser måste du börja med dem;
• sedan exponentiering;
• utför sedan operationer av multiplikation, division;
• efter addition, subtraktion.

Det finns specifika egenskaper som inte är karakteristiska för alla grader:

1. Roten till den n:e graden från talet a till graden m kommer att skrivas som: a m / n .
2. När du höjer en bråkdel till en potens: både täljaren och dess nämnare är föremål för denna procedur.
3. När man höjer produkten av olika tal till en potens, kommer uttrycket att motsvara produkten av dessa tal till en given potens. Det vill säga: (a * b) n = a n * b n .
4. När du höjer ett tal till en negativ potens måste du dividera 1 med ett tal i samma steg, men med ett "+"-tecken.
5. Om nämnaren för ett bråk är i negativ potens, kommer detta uttryck att vara lika med produkten av täljaren och nämnaren i positiv potens.
6. Vilket tal som helst i potensen 0 = 1, och till steget. 1 = till sig själv.

Dessa regler är viktiga i enskilda fall, vi kommer att överväga dem mer i detalj nedan.

Grad med negativ exponent

Vad ska man göra med en negativ grad, det vill säga när indikatorn är negativ?

Baserat på fastigheterna 4 och 5(se punkten ovan) det visar sig:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

Och vice versa:

1/A (- n) \u003d A n, 1/2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Tänk om det är en bråkdel?

(A/B) (- n) = (B/A) n , (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Examen med en naturlig indikator

Det förstås som en grad med exponenter lika med heltal.

Saker att komma ihåg:

A0 = 1, 10 = 1; 20 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...etc.

Ai = A, 11 = 1; 21 = 2; 3 1 = 3...osv.

Dessutom, om (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2... så kommer resultatet att vara med ett "+"-tecken. Om ett negativt tal höjs till en udda potens, då vice versa.

Allmänna egenskaper, och alla de specifika egenskaper som beskrivs ovan, är också karakteristiska för dem.

Bråkdelgrad

Denna vy kan skrivas som ett schema: A m / n. Det läses som: roten till den n:te graden av talet A i m potens.

Med en bråkindikator kan du göra vad som helst: minska, bryta ner i delar, höja till en annan grad, etc.

Grad med irrationell exponent

Låt α vara ett irrationellt tal och А ˃ 0.

För att förstå essensen av graden med en sådan indikator, Låt oss titta på olika möjliga fall:

• A \u003d 1. Resultatet blir lika med 1. Eftersom det finns ett axiom - 1 är lika med en i alla makter;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 är rationella tal;

• 0˂А˂1.

I detta fall, vice versa: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 under samma förutsättningar som i andra stycket.

Exponenten är till exempel talet π. Det är rationellt.

r 1 - i detta fall är det lika med 3;

r 2 - kommer att vara lika med 4.

Sedan, för A = 1, 1 π = 1.

A = 2, sedan 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, sedan (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Sådana grader kännetecknas av alla de matematiska operationer och specifika egenskaper som beskrivs ovan.

Slutsats

Låt oss sammanfatta - vad är dessa värden för, vilka är fördelarna med sådana funktioner? Naturligtvis förenklar de först och främst livet för matematiker och programmerare när de löser exempel, eftersom de tillåter att minimera beräkningar, minska algoritmer, systematisera data och mycket mer.

Var annars kan denna kunskap vara användbar? Inom alla arbetsspecialiteter: medicin, farmakologi, tandvård, konstruktion, teknik, ingenjörskonst, design, etc.