Mocninná funkcia, jej vlastnosti a grafová lekcia. Lekcia „Mocnovinové funkcie, ich vlastnosti a grafy

Mocninná funkcia, jej vlastnosti a graf Demonštračný materiál Lekcia-prednáška Pojem funkcie. Vlastnosti funkcie. Mocninná funkcia, jej vlastnosti a graf. Trieda 10 Všetky práva vyhradené. Autorské práva s autorskými právami s

Postup lekcie: Opakovanie. Funkcia. Vlastnosti funkcií. Učenie sa nového materiálu. 1. Definícia mocninovej funkcie. Definícia mocninovej funkcie. 2. Vlastnosti a grafy mocninových funkcií Vlastnosti a grafy mocninných funkcií. Konsolidácia študovaného materiálu. Slovné počítanie. Slovné počítanie. Zhrnutie lekcie. Zadanie domácej úlohy.

Definičný obor a definičný obor funkcie Všetky hodnoty nezávislej premennej tvoria definičný obor funkcie x y=f(x) f Definičný obor funkcie Doména hodnôt funkcie Všetky hodnoty, ktoré závislá premenná tvorí doménu hodnôt funkcie Function. Vlastnosti funkcie

Graf funkcie Nech je daná funkcia, kde xY y x.75 3 0,6 4 0,5 Graf funkcie je množina všetkých bodov súradnicovej roviny, ktorých úsečky sa rovnajú hodnotám argumentu, a súradnice sa rovnajú zodpovedajúcim hodnotám funkcie. Funkcia. Vlastnosti funkcie

Y x Oblasť definície a rozsah hodnôt funkcie 4 y=f(x) Oblasť definície funkcie: Oblasť hodnôt funkcie: Funkcia. Vlastnosti funkcie

Párna funkcia y x y=f(x) Graf párnej funkcie je symetrický vzhľadom na os operačného zosilňovača. Funkcia y=f(x) sa volá aj vtedy, ak f(-x) = f(x) pre ľubovoľné x z oblasti definície funkcie Funkcia. Vlastnosti funkcie

Nepárna funkcia y x y=f(x) Graf nepárnej funkcie je symetrický vzhľadom na počiatok O(0;0) Funkcia y=f(x) sa nazýva nepárna, ak f(-x) = -f(x) pre ľubovoľné x z definície funkcie regiónu Funkcia. Vlastnosti funkcie

Definícia mocninnej funkcie Funkcia, kde p je dané reálne číslo, sa nazýva mocninná funkcia. p y=x p P=x y 0 Postup lekcie

Mocninná funkcia x y 1. Definičný obor a rozsah hodnôt mocninných funkcií tvaru, kde n je prirodzené číslo, sú všetky reálne čísla. 2. Tieto funkcie sú nepárne. Ich graf je symetrický podľa pôvodu. Vlastnosti a grafy mocninných funkcií

Mocninné funkcie s racionálnym kladným exponentom. Definičný obor sú všetky kladné čísla a číslo 0. Oborom hodnôt funkcií s takýmto exponentom sú aj všetky kladné čísla a číslo 0. Tieto funkcie nie sú párne ani nepárne . y x Vlastnosti a grafy mocninných funkcií

Mocninná funkcia s racionálnym záporným exponentom. Oblasť definície a rozsah hodnôt takýchto funkcií sú všetky kladné čísla. Funkcie nie sú párne ani nepárne. Takéto funkcie klesajú v celej svojej doméne definície. y x Vlastnosti a grafy mocninových funkcií Postup lekcie

Ciele lekcie:

Vzdelávacie:

oboznámi študentov s mocenskými funkciami a ich vlastnosťami,
naučiť zručnosti využívať vlastnosti funkcií pri grafickom riešení rovníc a porovnávaní čísel.

Vývojový:

rozvoj schopností induktívneho a deduktívneho myslenia.

Vzdelávacie:

vštepovanie zručností aktívneho učenia.

Formy práce na lekcii:

kolektív,
ústne,
napísané.

Vybavenie:

multimediálny projektor,
počítač,
prezentácia,
disk „Nové príležitosti na zvládnutie kurzu matematiky 5-11“.

Štruktúra lekcie:

Organizovanie času
Stanovenie domácich úloh
Kontrola domácich úloh
Učenie sa nového materiálu
Aplikácia študovaného materiálu
Samostatná práca (s testovaním v triede)
Zhrnutie lekcie

Počas vyučovania

1.Inscenácia domu. úlohy

Doma: str. 22 č. 499, 501 508 (učebnica Yu.N. Makarycheva)

2.Kontrola domu. úlohy pomocou prezentácie(Príloha 1)

(študenti mali za úlohu zostaviť grafy a uviesť vlastnosti nasledujúcich funkcií: y = x, y = x 2, y = 1/x, y = vx, y = x 3

3. Štúdium nového materiálu.

Funkcia tvaru y=x k, kde k je celé číslo, sa nazýva mocninná funkcia. Tie funkcie, ktoré sa uvažovali doma, sú výkonové funkcie.

y = x, k = 1, y = 1/x, k = -1

y = x 2, k = 2 y = vx, k = 1/2

y = x 3, k = 3

Našou úlohou je zostrojiť grafy a uviesť vlastnosti mocninných funkcií pre ľubovoľné celé číslo k.

Žiaci pomocou disku pozorujú, ako sa mení graf funkcie v závislosti od k, a vyvodzujú závery, ktoré si zapíšu do zošita. (Vo virtuálnom laboratóriu disku môžete zostaviť graf ľubovoľnej funkcie, vrátane výkonovej funkcie. Ak zmeníte hodnoty indikátora, potom graf zmení svoj vzhľad, takže závery sú zrejmé).

1) y=x 2n, n €N graf funkcie paraboly

(Obrázok 1)

2)y=x 2n+ 1 graf funkcie kubickej paraboly

(Obrázok 2)

3)y = 1/ x 2n+ 1 graf funkcie hyperboly

(Obrázok 3)

4)y = 1/ x 2n graf tejto funkcie žiaci nepoznajú, zostavíme si ho v zošite a uvedieme vlastnosti tejto funkcie.

(Obrázok 4)

a) O.O.F. x-akýkoľvek okrem 0

b) E(y): y>0

c) N.F. Nie

d) dokonca

e) rastie s x< 0, а убывает при х > 0

f) neexistuje maximálna a minimálna hodnota

4. Zvážte uplatnenie vlastností funkcií pri riešení úloh.

1)Riešte rovnicu 1/x 2 =3x-2

Študenti navrhujú rôzne metódy a dospejú k záveru, že túto rovnicu možno vyriešiť graficky. Graf funkcie y = 1/x 2 je už zostrojený, ostáva už len zostrojiť graf funkcie y = 3x-2 v tej istej súradnicovej rovine.

(Obrázok 5)

Odpoveď: x=1.

2) y = x 2n, porovnaj:

f(-0,2) a f(-3)

3) y=x 2n+ 1, porovnaj:

f(-0,2) a f(-3)

(úlohu dokončuje spolu s učiteľom)

Počas riešenia sa neustále obraciame na graf požadovanej funkcie, zisťujeme, do ktorého intervalu x patrí, ako sa funkcia na tomto intervale správa

5. Samostatná práca.

Úloha na snímke.

Osobný test

Posledná úloha je určená pre pokročilejších študentov.

6. Zhrnutie lekcie.

Zhrňme si látku preberanú v lekcii. Zameriavame sa na to, že graf a vlastnosti mocninnej funkcie závisia od exponentu.

Téma lekcie: "Výkonové funkcie, ich vlastnosti a grafy"

Ciele lekcie:

Vzdelávacie:

Vytvorte podmienky na vytváranie vedomostí o vlastnostiach a vlastnostiach grafov mocninných funkcií y = x r pre rôzne hodnoty r.

Vzdelávacie:

Podporovať rozvoj informačných zručností študentov: schopnosť pracovať s textom snímky, schopnosť napísať podporné zhrnutie.

Podporovať rozvoj tvorivej a duševnej činnosti žiakov.

Pokračujte v rozvíjaní schopností jasne a jasne vyjadrovať svoje myšlienky, analyzovať a vyvodzovať závery.

Vzdelávacie:

Pokračovať v rozvoji kultúry matematickej reči.

Prispieť k formovaniu komunikatívnej kompetencie.

Typ lekcie: kombinované

Formy organizovania vzdelávacích aktivít: frontálny, individuálny.

Metódy: výkladovo-ilustračné, čiastočne rešeršné.

Prostriedky vzdelávania:

počítač, mediálny projektor;

tabuľa;

prezentácie (PowerPoint), (Príloha 1);

učebnica „Algebra a začiatky analýzy“, vyd. A.G. Mordkovich;

pracovný zošit, nástroje na kreslenie;

podporné zhrnutie témy (dokument Word), (príloha 3);

V dôsledku štúdia témy by študenti mali

Vedieť: koncept mocenskej funkcie,

vlastnosti mocninovej funkcie v závislosti od exponentu.

Byť schopný: pomenovať vlastnosti mocninovej funkcie v závislosti od exponentu,

zostavte grafy (náčrty grafov) mocninových funkcií s racionálnym

indikátor

vykonávať jednoduché transformácie grafov,

vedieť napísať podporné zhrnutie,

byť schopný jasne a jasne vyjadriť svoje myšlienky, analyzovať a vyvodzovať závery.

Počas tried: Naďalej pracujeme na rozvíjaní zručností konštrukcie grafov mocninných funkcií. Množstvo takýchto funkcií poznáme z kurzu algebry pre ročníky 7-9, sú to funkcie s prirodzeným exponentom a mocninné funkcie so záporným celočíselným exponentom. V minulej lekcii sme si s vami zapísali teóriu mocninných funkcií so zlomkovými exponentmi

y = x p, kde p je dané reálne číslo

Vlastnosti a graf mocninovej funkcie závisia od vlastností mocniny s reálnym exponentom a najmä od hodnôt x a p, pre ktoré má mocnina x p zmysel.

Zovšeobecnenie vlastností mocninných funkcií. Práca s podpornou osnovou.

1. Práca na doske: vytvárať grafy funkcií. y=x 4, y=x 7, y=x -2, y=x -5, y=x 2/5, y=x 1,3, y=x -1/3

Na rade pracuje 7 ľudí, ktorí zostávajú na mieste, zjednotení v skupinách na ďalšie overenie

Nehnuteľnosti uvádzame podľa plánu.

doména.

Rozsah hodnôt (množina hodnôt).

Párna, nepárna funkcia.

Zvyšovanie, klesanie.

Na konci práce skontrolujte žiakmi, ktorí zostali na mieste (na obrazovke sa zobrazia snímky s grafmi funkcií).

2. „matematické loto“ Na obrazovke sa zobrazujú hotové grafy funkcií, na tabuľu sú napísané sady vzorcov a je potrebné nadviazať vzťahy.

Vzájomná kontrola:

Správne odpovede: č.1 578 643 192

3 Ústna práca

1. Pomocou grafov týchto funkcií nájdite intervaly, v ktorých leží graf funkcie y = x π nad (pod) grafom funkcie y = x.

2. Pomocou grafov týchto funkcií nájdite intervaly, v ktorých leží graf funkcie y = x sin 45 nad (pod) grafom funkcie y = x.

3. Pomocou obrázku nájdite intervaly, v ktorých leží graf funkcie y = x 1- π nad (pod) grafom funkcie y = x.

Prevod grafov

V mnohých prípadoch sa dajú grafy funkcií zostrojiť niektorými transformáciami už známych funkčných grafov jednoduchšej formy. Pripomeňme si niektoré z nich.

Zvážte slovnú transformáciu grafu mocninnej funkcie a potom vytvorte dva grafy.

Samostatná práca

Sami si definujte mocninovú funkciu, zakreslite ju, popíšte jej vlastnosti

V poslednej lekcii sme si zopakovali a zovšeobecnili svoje vedomosti na tému „Koncept exponentu“.

Pripomeňme si, že ak - pe delené ku je obyčajný zlomok a ku sa nerovná jednej a a je väčšie alebo rovné nule, potom výrazom a k mocnine pe delené ku rozumieme odmocninu z stupeň ku a k mocnine pe.

Napríklad číslo jeden bod tri na mocninu tri sedminy možno zapísať ako siedmu odmocninu z jednej trojky na kocky.

Funkcie tvaru, kde k je ľubovoľné reálne číslo, sa zvyčajne nazývajú mocninné funkcie.

Dnes budeme uvažovať o prípade, kde k je racionálny (zlomkový) exponent.

V kurze algebry pre 7. – 9. ročník ste študovali vlastnosti a grafy mocninných funkcií s prirodzeným exponentom. Funkcia (k-akékoľvek reálne číslo), mocninná funkcia.

Pre k=n (n∈N), -mocninovú funkciu s prirodzeným exponentom.

Pripomeňme si grafy takýchto funkcií.

Graf funkcie alebo y=x (y sa rovná x prvej mocnine alebo y sa rovná x) je priamka.

Graf funkcie (E sa rovná x na druhú) je parabola.

Graf funkcie (E sa rovná X cubed) je kubická parabola.

Graf mocninnej funkcie (y sa rovná x mocnine ka) v prípade párneho k je podobný parabole. Na obrázku je znázornený graf mocninovej funkcie s k rovným šiestim.

Graf mocninovej funkcie (y sa rovná x mocnine ka) v prípade nepárneho k je podobný kubickej parabole. Na obrázku je znázornený graf mocninovej funkcie s k rovným siedmim.

Ak má exponent mocninnej funkcie záporné celé číslo, dostaneme funkciu v tvare: y sa rovná x mocnine mínus en alebo y sa rovná jednej delené x na n-tou mocninou.

Ak je n párne číslo, potom graf vyzerá ako na obrázku.

Kde je zobrazená funkcia y=x-2 alebo y=?

Ak je n nepárne číslo, potom graf vyzerá takto.

Na výkrese je znázornená funkcia y=x-3 alebo y=

Ak sa exponent mocninovej funkcie rovná nule, potom funkcia bude mať tvar: Graf takejto funkcie je priamka prechádzajúca cez ordinátu jedna a rovnobežná s osou x.

Pre k=-n (n∈Z), -mocninová funkcia so záporným celočíselným exponentom.

Uvažujme mocninnú funkciu (E sa rovná x mocnine k), kde k je záporné alebo kladné zlomkové číslo.

Ako príklad si zostrojme graf mocninnej funkcie (E sa rovná x mocnine dvoch bodov tri).

Oblasť jeho definície (to znamená všetky hodnoty akceptované x) je lúč so začiatkom v bode nula.

V tejto oblasti definície vytvoríme grafy funkcií (y sa rovná x na druhú) - toto je vetva paraboly, zvýraznená svetlozelenou farbou, a (y sa rovná x cubed) - vetva kubickej paraboly, zvýraznená v tmavozelenej farbe.

Je ľahké overiť, že na intervale (0;1) sa kubická parabola nachádza pod parabolou a na otvorenom lúči (1;+) - nad.

Upozorňujeme, že grafy funkcií (y sa rovná x na druhú), (y sa rovná x mocnine dvoch bodov tri) a (y sa rovná x kocka) prechádzajú cez body (0;0) a (1;1).

Pre ostatné hodnoty argumentu x je graf funkcie (y sa rovná x mocnine dvoch bodov tri) medzi grafmi funkcií (y sa rovná x na druhú) a (y sa rovná x kocky).

Podobná situácia je s akoukoľvek mocninnou funkciou, kde je nevlastný zlomok, to znamená, že čitateľ m je väčší ako menovateľ n. Graf tejto funkcie je krivka podobná vetve paraboly.

Čím vyšší je funkčný index k, tým „strmšie“ je vetva nasmerovaná.

Obrázok ukazuje graf funkcie y sa rovná x mocnine siedmich sekúnd.

Môžeme teda rozlíšiť nasledujúce vlastnosti mocninnej funkcie igr sa rovná x mocnine em delenej en, kde čitateľ m je väčší ako menovateľ n.

1. Oblasť definície sú hodnoty x od nuly do plus nekonečna.

4.Obmedzené zdola osou x, neobmedzené zhora.

5.Funkcia nadobúda najmenšiu hodnotu nula; na tom najviac nezáleží.

8. Konvexné nadol.

Zostavme graf funkcie, kde je vlastný zlomok (čitateľ je menší ako menovateľ) a 0< <1.

Pre funkciu, kde je vlastný zlomok a 0< <1.

Pripomeňme si tieto vlastnosti:

1. Definičnou oblasťou sú všetky hodnoty x od nuly po plus nekonečno.

2. Funkcia nie je párna ani nepárna.

3. Funkcia sa zvyšuje v celej oblasti definície.

5. Funkcia nadobúda najmenšiu hodnotu nula; na tom najviac nezáleží.

6. Funkcia je spojitá cez celý definičný obor.

7. Rozsah funkcie sú hodnoty hry od nuly po plus nekonečno.

8. Konvexné smerom nahor. funkcia, kde je vlastný zlomok (čitateľ je menší ako menovateľ) a 0<

2. Ani párne, ani nepárne.

3. Zvyšuje sa o.

4. Zospodu ohraničené osou x, zhora neobmedzené.

5. ynaim=0; na tom najviac nezáleží.

6.Nepretržitý.

8. Konvexné smerom nahor.

Uvažujme nasledujúci typ mocninnej funkcie - funkciu tvaru: y sa rovná x mocnine mínus em delené en.

Predtým sme nakreslili mocninnú funkciu so záporným celočíselným exponentom rovným x mocnine mínus k, kde k je prirodzené číslo.

Ak je x väčšie ako nula, graf tejto funkcie vyzerá ako vetva hyperboly.

Podobným spôsobom sa zostrojí graf ľubovoľnej mocninnej funkcie so záporným racionálnym (zlomkovým) exponentom.

Treba mať na pamäti, že graf takejto funkcie má dve asymptoty: horizontálna - y sa rovná nule a vertikálna asymptota - x sa rovná nule.

Takže mocninná funkcia igr sa rovná x mocnine mínus em delené en má nasledujúce vlastnosti (a x je väčšie ako nula, keďže v prípade záporného základu so záporným exponentom moc výrazu nezodpovedá dáva zmysel):

1) Oblasť definície je otvorený lúč od nuly do nekonečna.

2) Funkcia nie je párna ani nepárna.

3) Funkcia klesá v celej oblasti definície.

4) Spodná časť je ohraničená osou x, horná časť nie je ohraničená.

5) Funkcia nemá minimálnu alebo maximálnu hodnotu.

6) Funkcia je spojitá v celom definičnom obore.

7) Rozsah funkcie sú hodnoty hry od nuly po plus nekonečno.

8) Konvexné nadol.

Vlastnosti mocninovej funkcie (x 0):

2). Ani párne, ani nepárne.

3). Klesajúci.

4). Spodná je ohraničená osou x, horná nie je ohraničená.

5). Nemá najmenšiu alebo najväčšiu hodnotu.

6). Nepretržité pre

8). Konvexné smerom nadol.

Už viete, že derivácia mocninnej funkcie tvaru yrek sa rovná x mocnine en, kde n je prirodzené číslo, ktoré sa rovná n krát x mocnine n mínus jedna.

Podobne môžete vypočítať deriváciu mocninnej funkcie s racionálnym exponentom.

Platí teda nasledujúca veta:

Ak je x väčšie ako nula a r je ľubovoľné racionálne číslo, potom sa derivácia mocninnej funkcie y rovná x mocnine r a vypočíta sa podľa vzorca: derivácia x mocnine r sa rovná na r krát x na mocninu r mínus jedna.

Napríklad derivácia a na mínus tretej mocnine sa rovná mínus tri a mocnine mínus štyri.

Derivácia x na mocninu mínus dve tretiny sa rovná mínus dvom tretinám x na mocninu mínus päť tretín.

Tu bol mínus jedna reprezentovaný ako nesprávny zlomok troch tretín, potom boli pridané zlomky mínus dve tretiny a mínus tri tretiny.

Veta: ak x>0, r-racionálne číslo, tak

Nie je ťažké získať zodpovedajúci vzorec na integráciu mocninovej funkcie, keď r nie je rovné jednej. Takže neurčitý integrál x k mocnine r sa rovná x mocnine r plus jedna delené r plus jedna plus konštanta ce.

Nie je ťažké pochopiť, že funkcia sa rovná x mocnine r plus jedna, delené r plus jedna je primitívna derivácia funkcie rovnajúca sa x mocnine r. Vzorec na integráciu výkonovej funkcie:

Funkcia je priradená k funkcii.

Uvažujme o aplikácii nadobudnutých poznatkov pri konštrukcii grafu mocninnej funkcie.

Zostrojte graf funkcie y sa rovná x plus dva k mocnine jednej polovice.

1. Zostrojme graf funkcie x na mocninu jednej polovice. Toto je funkcia tvaru, kde je vlastný zlomok (čitateľ je menší ako menovateľ) a 0< <1.График такой функции мы уже строили, на рисунке график выделен красным цветом.

2. Je zrejmé, že graf funkcie y sa rovná x plus dva mocnine jednej polovice je zostrojený pomocou paralelného posunu vzhľadom na os x o dve jednotky doľava. Na obrázku je graf zvýraznený zelenou farbou.

Graf funkcie

1. - špeciálny prípad pre funkciu tvaru, kde - je vlastný zlomok (čitateľ je menší ako menovateľ) a 0< <1.

2. Graf bol získaný paralelným posunom pozdĺž osi X 2 jednotky doľava.

Plán lekcie:

"Funkcia výkonu, jej vlastnosti a graf"

Celé meno Stadnik Elena Ivanovna

Miesto výkonu práce Petrohrad, Puškinskij okres GBOU škola č.606

hĺbkové štúdium angličtiny.

Názov práce učitelia matematiky

Položka Matematici

Trieda 10

Téma a číslo v téme"Funkcia výkonu, jej vlastnosti a grafy"

2 lekcie v danej téme (spolu 2 lekcie)

Základný návod Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, Yu.V. Sidorov, N.E. Fedorova a ďalší.

„Algebra a začiatky analýzy 10-11“, učebnica pre vzdelávacie inštitúcie Odporúčané Ministerstvom školstva Ruskej federácie: 9. vydanie Moskovské vzdelávanie 2007.

Účel lekcie: Formovanie zručností pri aplikácii vedomostí na túto tému pri riešení štandardných a neštandardných algebraických problémov. Formovanie schopnosti integrovať poznatky z rôznych tém v kurze matematiky

Úlohy:

Vzdelávacie: (vznik kognitívneho UUD)

vedieť porovnávať čísla, riešiť nerovnice pomocou grafov a (alebo) vlastností mocninných funkcií

Vzdelávacie: (formovanie komunikačných a osobnostných vzdelávacích zručností)

pestovať udržateľný záujem o predmet, formovať komunikatívnu kompetenciu žiakov, pestovať zodpovednosť a presnosť

Typ lekcie: zovšeobecňovanie a systematizácia poznatkov

Metódy: diskusia, pozorovanie, porovnávanie, skúsenosť.

Vybavenie: tabuľa, multimediálna technika, interaktívna tabuľa, počítač, učebné materiály, plagát s grafmi k č. 126(2;3)

Počas tried:

1. Organizačný bod:(2 min.) zopakovať teóriu pomocou podporných poznámok.

2.Kontrola domácich úloh v skupinách.(10 min.)

Povinná úroveň (1 skupina)

№№119(2,4,6);124(2);128(2;4)

č. 119 (2,4,6) z miesta označte D (f), E (f) vo forme číselných intervalov a čísla obrazca podľa nosnej osnovy. .(pozri prílohu 1)

Vzorová odpoveď:

Č. 119(2): D(f)=(); E(f) =(), Obr.2

Č. 119(4): D(f)=(),(0; ),

E (f) = (0;), Obr

Č. 119(6): D(f)=; ); E(f) =; ), obr

č. 124 ods. 2 z miesta

Vzorová odpoveď:

Podľa obr. 13 z učebnice graf

leží nad grafom funkcie

č. 128. Žiak 1 na tabuľu zapisuje odpovede na otázky a zostrojuje schematické grafy funkcií.

Vzorové odpovede

2) ; D(f)=; );

E(f) =; );

4); D(f)=(-1;); E(f) = (0;);

Pokročilá úroveň (skupina 2) Kým učiteľ so skupinou 1 kontroluje D/Z, žiaci skupiny 2 dopĺňajú kartičky. A jeden študent pri tabuliČ. 129(2,4) Vzorová odpoveď:

D()=R; E () =; );