Bir doğru kesişen iki çizgiye dik ise. İki çizginin, bir doğru ve bir düzlemin dikliği için koşullar

Hemen hemen her geometrik problemde dik çizgiler görülür. Bazen çizgilerin dikliği durumdan bilinir, diğer durumlarda ise çizgilerin dikliği kanıtlanmalıdır. İki düz çizginin dikliğini kanıtlamak için herhangi bir geometrik yöntem kullanarak düz çizgiler arasındaki açının doksan dereceye eşit olduğunu göstermek yeterlidir.

Düzlemde veya üç boyutlu uzayda bu doğruları tanımlayan denklemler biliniyorsa “doğrular dik midir?” sorusuna nasıl cevap verilir?

Bunu yapmak için kullanmalısınız İki doğrunun dikliği için gerekli ve yeterli koşul. Bunu bir teorem şeklinde formüle edelim.

Teorem.

A Ve B yön vektörünün düz olması gerekli ve yeterlidir A düz çizginin yön vektörüne dikti B.

Doğruların dikliği için bu koşulun kanıtı, doğrunun yön vektörünün tanımına ve dik doğruların tanımına dayanmaktadır.

Ayrıntıları ekleyelim.

Düzlemde dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemi tanıtılsın Oksi ve bazı türdeki bir düzlem üzerindeki bir çizginin denklemleri, çizgileri tanımlayarak verilmiştir. A Ve B. Doğruların yön vektörlerini gösterelim A Ve B buna göre. Doğru denklemleriyle A Ve B bu düz çizgilerin yön vektörlerinin koordinatlarını belirleyebiliriz - ve elde ederiz. Daha sonra çizgilerin dikliği için A Ve B Vektörlerin diklik koşulunun sağlanması ve vektörlerin skaler çarpımının sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir: .

Bu yüzden, A Ve B dikdörtgen koordinat sisteminde Oksi uçakta bir form var , çizgilerin yön vektörleri nerede ve nelerdir A Ve B sırasıyla.

Bu koşulun, düz çizgilerin yön vektörlerinin koordinatları kolayca bulunduğunda ve ayrıca düz çizgiler olduğunda kullanılması uygundur. A Ve B bir düzlem üzerindeki bir doğrunun kanonik denklemlerine veya bir düzlem üzerindeki bir doğrunun parametrik denklemlerine karşılık gelir.

Örnek.

Dikdörtgen koordinat sisteminde Oksiüç puan verilir. Çizgiler dik mi? AB Ve AC?

Çözüm.

Vektörler ve çizgilerin yön vektörleridir AB Ve AC. Bir vektörün başlangıç ve bitiş noktalarının koordinatlarına dayalı makale koordinatlarına atıfta bulunarak şunu hesaplıyoruz: . Vektörler ve diktir, çünkü . Böylece doğruların dikliği için gerekli ve yeterli koşul sağlanmış olur. AB Ve AC. Bu nedenle düz AB Ve AC dik.

Cevap:

Evet, düz çizgiler diktir.

Örnek.

Düz mü ve dik?

Çözüm.

Yönlendirici vektör düz bir çizgidir ve düz bir çizginin yönlendirici vektörüdür . Vektörlerin skaler çarpımını hesaplayalım ve: . Sıfır değildir, dolayısıyla doğruların yön vektörleri dik değildir. Yani çizgilerin diklik koşulu sağlanmadığından orijinal çizgiler dik değildir.

Cevap:

hayır çizgiler dik değil.

Aynı şekilde, Doğruların dikliği için gerekli ve yeterli koşul A Ve B dikdörtgen koordinat sisteminde Oksizüç boyutlu uzayda şu şekle sahiptir , Nerede Ve - düz çizgilerin yön vektörleri A Ve B sırasıyla.

Örnek.

Dikdörtgen koordinat sisteminde çizgiler dik olarak tanımlanmış mı? Oksizüç boyutlu uzayda denklemlerle Ve ?

Çözüm.

Uzaydaki bir çizginin kanonik denklemlerinin paydalarındaki sayılar, çizginin yönlendirici vektörünün karşılık gelen koordinatlarıdır. Uzaydaki düz çizginin parametrik denklemleri ile belirlenen düz çizginin yönlendirici vektörünün koordinatları da parametrenin katsayılarıdır. Böylece, ve verilen düz çizgilerin yön vektörleridir. Dik olup olmadıklarını öğrenelim: . Skaler çarpım sıfır olduğundan bu vektörler diktir. Bu, verilen çizgilerin diklik koşulunun karşılandığı anlamına gelir.

Cevap:

düz çizgiler diktir.

Bir düzlemdeki iki doğrunun dikliğini kontrol etmek için dikliğin başka gerekli ve yeterli koşulları da vardır.

Teorem.

Çizgilerin dikliği için A Ve B düzlemde normal vektörün düz bir çizgi olması gerekli ve yeterlidir A doğrunun normal vektörüne dikti B.

Verilen çizgi denklemleri kullanılarak çizgilerin normal vektörlerinin koordinatları kolayca bulunabiliyorsa, belirtilen çizgilerin diklik koşulunun kullanılması uygundur. Bu ifade, formun genel düz çizgi denklemine karşılık gelir. , bir doğrunun parçalar halinde denklemi ve bir doğrunun açı katsayılı denklemi.

Örnek.

Düz olduğundan emin olun ve dik.

Çözüm.

Doğruların denklemleri verildiğinde bu doğruların normal vektörlerinin koordinatlarını bulmak kolaydır. – normal çizgi vektörü . Denklemi formda yeniden yazalım. , bu çizginin normal vektörünün koordinatlarının görülebildiği yerden: .

Vektörler ve diktirler, çünkü skaler çarpımları sıfıra eşittir: . Böylece verilen çizgilerin dikliği için gerekli ve yeterli koşul sağlanmış olur, yani çizgiler gerçekten diktir.

Özellikle doğrudan ise A düzlemde, formun açısal katsayısına sahip bir düz çizginin ve düz bir çizginin denklemi belirlenir. B– şeklindeyse, bu çizgilerin normal vektörleri sırasıyla ve koordinatlarına sahiptir ve bu çizgilerin diklik koşulu, açısal katsayılar arasındaki aşağıdaki ilişkiye indirgenir.

Örnek.

Çizgiler dik mi?

Çözüm.

Düz bir çizginin eğimi eşittir ve düz bir çizginin eğimi eşittir. Açısal katsayıların çarpımı eksi bire eşit olduğundan çizgiler diktir.

Cevap:

Verilen çizgiler diktir.

Düzlemdeki çizgilerin dikliği için bir koşul daha belirtilebilir.

Teorem.

Çizgilerin dikliği için A Ve B Bir düzlemde bir doğrunun yön vektörü ile ikinci doğrunun normal vektörünün eşdoğrusal olması gerekli ve yeterlidir.

Bu koşulun, bir doğrunun yön vektörünün koordinatları ve ikinci doğrunun normal vektörünün koordinatları kolayca bulunduğunda, yani bir doğru bir kanonik denklem veya bir doğrunun parametrik denklemleri ile verildiğinde kullanılması açıkça uygundur. bir düzlem üzerinde ve ikincisi ya bir doğrunun genel denklemi ya da parçalar halinde bir doğrunun denklemi ya da açısal katsayılı bir düz çizginin denklemi ile.

Örnek.

Doğrular düz ve dik mi?

Çözüm.

Açıkçası, çizginin normal vektörüdür ve çizginin yön vektörüdür. Vektörler ve eşdoğrusal değildir, çünkü onlar için iki vektörün eşdoğrusallık koşulu karşılanmamıştır (böyle bir gerçek sayı yoktur) T, hangi). Bu nedenle verilen çizgiler dik değildir.

Cevap:

çizgiler dik değildir.

21. Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe, noktadan noktaya olan mesafeye göre belirlenir. Nasıl yapıldığını gösterelim.

Düzlemde veya üç boyutlu uzayda düz bir çizgi verilsin A ve dönem M1, düz bir çizgide değil A. Hadi noktayı çizelim M1 doğrudan B, çizgiye dik A. Doğruların kesişme noktasını gösterelim A Ve B Nasıl H 1. Çizgi segmenti M 1 H 1 isminde dik, noktadan çizilmiş M1 düz bir çizgiye A.

Tanım.

Noktadan uzaklık M1 düz bir çizgiye A noktalar arasındaki mesafeyi çağır M1 Ve H 1.

Ancak bir noktadan bir çizgiye olan mesafenin en yaygın tanımı dikmenin uzunluğudur.

Tanım.

Noktadan çizgiye mesafe belirli bir noktadan belirli bir doğruya çizilen dikmenin uzunluğudur.

Bu tanım, bir noktadan bir çizgiye olan mesafenin ilk tanımına eşdeğerdir.

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafenin, bu noktadan belirli bir çizgi üzerindeki noktalara olan mesafelerin en küçüğü olduğuna lütfen dikkat edin. Hadi gösterelim.

Bunu düz bir çizgide ele alalım A nokta Q, konuyla örtüşmüyor M1. Çizgi segmenti M 1 S isminde eğimli, noktadan çizilmiş M1 düz bir çizgiye A. noktasından çizilen dikmenin olduğunu göstermemiz gerekir. M1 düz bir çizgiye A, noktadan çizilen herhangi bir eğimden daha az M1 düz bir çizgiye A. Bu doğru: bir üçgen M 1 QH 1 hipotenüslü dikdörtgen M 1 S ve hipotenüsün uzunluğu her zaman herhangi bir bacağın uzunluğundan daha büyüktür, bu nedenle, .

22. R3 uzayındaki düzlem. Bir düzlemin denklemi.

Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemindeki bir düzlem aşağıdaki denklemle verilebilir: buna denir genel denklem uçak.

Tanım. Vektör düzleme diktir ve denir. normal vektör.

Dikdörtgen bir koordinat sisteminde aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktanın koordinatları biliniyorsa düzlemin denklemi şu şekilde yazılır: .

Bu determinantı hesapladıktan sonra düzlemin genel denklemini elde ederiz.

Örnek. Noktalardan geçen düzlemin denklemini yazınız.

Çözüm:

Düzlem denklemi: .

23. Düzlemin genel denkleminin incelenmesi.

Tanım 2. Bir düzleme dik olan herhangi bir vektöre o düzlemin normal vektörü denir.

Sabit bir nokta biliniyorsa M 0 (X 0 , sen 0 , z 0), belirli bir düzlemde yatıyor ve vektör belirli bir düzleme dik ise, o noktadan geçen düzlemin denklemi M 0 (X 0 , sen 0 , z 0), vektöre dik, şu forma sahiptir:

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)= 0. (3.22)

Denklemin (3.22) düzlemin (3.21) genel denklemi olduğunu gösterelim. Bunu yapmak için parantezleri açın ve serbest terimi parantez içine koyun:

.Balta + By+ Cz +(-Balta 0 -By-Cz 0)= 0

Belirledikten sonra D = -Balta 0 -By-Cz 0, denklemi elde ederiz Balta + By + Cz + D= 0.

Görev 1. A noktasından vektöre dik olarak geçen bir düzlemin denklemini yazınız. A(4, -3, 1), B(1, 2, 3).

Çözüm. Düzlemin normal vektörünü bulalım:

Düzlemin denklemini bulmak için denklem (3.22)'yi kullanırız:

Cevap: -3X + 5sen + 2z + 25 = 0.

Görev 2. Bir noktadan geçen düzlemin denklemini yazın M 0 (-1, 2, -1), eksene dik OZ.

Çözüm.İstenilen düzlemin normal vektörü olarak, OZ ekseni üzerinde bulunan herhangi bir vektörü, örneğin , ardından düzlemin denklemini alabilirsiniz.

Cevap: z + 1 = 0.

24. Bir noktadan düzleme olan mesafe.

Bir noktadan bir düzleme olan mesafe, bir noktadan bir noktaya olan mesafeyle belirlenir; bunlardan biri belirli bir noktadır, diğeri ise belirli bir noktanın belirli bir düzleme izdüşümüdür.

Üç boyutlu uzayda bir nokta verilsin M1 ve uçak. Hadi noktayı çizelim M1 doğrudan A, düzleme dik. Doğrunun kesişme noktasını gösterelim A ve benzeri uçaklar H 1. Çizgi segmenti M 1 H 1 isminde dik, noktadan düştü M1 bir düzleme ve bir noktaya H 1 – dikey tabanı.

Tanım.

belirli bir noktadan belirli bir düzleme çizilen dikmenin tabanına kadar olan mesafedir.

Bir noktadan bir düzleme olan mesafenin en yaygın tanımı aşağıdaki gibidir.

Tanım.

Noktadan düzleme uzaklık belirli bir noktadan belirli bir düzleme çizilen dikmenin uzunluğudur.

Noktaya olan mesafeye dikkat edilmelidir. M1 Bu şekilde tanımlanan düzleme, belirli bir noktadan olan mesafelerin en küçüğüdür M1 uçağın herhangi bir noktasına. Gerçekten, noktayı koyalım H2 düzlemde yer alır ve noktadan farklıdır H 1. Açıkçası bir üçgen M 2 H 1 H 2 dikdörtgendir, içinde M 1 H 1– bacak ve M 1 H 2– hipotenüs dolayısıyla, . Bu arada bölüm M 1 H 2 isminde eğimli, noktadan çizilmiş M1 uçağa. Dolayısıyla, belirli bir noktadan belirli bir düzleme çizilen dikme, aynı noktadan belirli bir düzleme çizilen eğik çizgiden her zaman daha küçüktür.

Verilen iki noktadan bir doğru geçiyorsa , sonra o denklemşeklinde yazılmış : .

Tanım. vektör denir kılavuzlar Bir doğrunun vektörü ona paralelse veya ona aitse.

Örnek. Verilen iki noktadan geçen doğrunun denklemini yazın .

Çözüm: Verilen iki noktadan geçen bir doğrunun genel formülünü kullanıyoruz: - ve noktalarından geçen bir doğrunun kanonik denklemi. Vektör düz bir yön vektörüdür.

26. R3 uzayındaki çizgilerin göreceli konumu.

İki çizginin uzaydaki göreceli konumu için seçeneklere geçelim.

İlk olarak, iki düz çizgi çakışabilir, yani sonsuz sayıda ortak noktaya (en az iki ortak noktaya) sahip olabilir.

İkincisi, uzayda iki çizgi kesişebilir, yani tek bir ortak noktaya sahip olabilir. Bu durumda bu iki çizgi üç boyutlu uzayın bir düzleminde yer alır. Uzayda iki doğru kesişirse, kesişen çizgiler arasındaki açı kavramına ulaşırız.

Üçüncüsü, uzaydaki iki doğru paralel olabilir. Bu durumda aynı düzlemde yer alırlar ve ortak noktaları yoktur. Paralel çizgiler, doğruların paralelliği makalesini incelemenizi öneririz.

Uzayda paralel doğruların tanımını verdikten sonra, önemi nedeniyle bir doğrunun yön vektörlerinden bahsetmemiz gerekir. Bu doğru üzerinde veya buna paralel bir doğru üzerinde bulunan sıfırdan farklı herhangi bir vektöre, doğrunun yön vektörü adı verilecektir. Düz bir çizginin yön vektörü, uzayda düz bir çizgiyle ilgili problemleri çözerken sıklıkla kullanılır.

Son olarak üç boyutlu uzayda iki doğru kesişebilir. Uzaydaki iki doğru aynı düzlemde yer almıyorsa çarpık çizgi olarak adlandırılır. Uzayda iki düz çizginin bu şekilde karşılıklı düzenlenmesi bizi kesişen düz çizgiler arasındaki açı kavramına götürür.

Üç boyutlu uzayda kesişen veya kesişen çizgiler arasındaki açının doksan dereceye eşit olması özellikle pratik öneme sahiptir. Bu tür çizgilere dik denir (dik çizgiler, çizgilerin dikliği makalesine bakın).

27. R3 uzayındaki bir düz çizginin ve bir düzlemin göreli konumu.

Düz bir çizgi belirli bir düzlem üzerinde yer alabilir, belirli bir düzleme paralel olabilir veya onu bir noktada kesebilir; aşağıdaki şekillere bakın.

Eğer öyleyse bu şu anlama gelir. Ve bu ancak düz çizginin düzlem üzerinde olması veya ona paralel olması durumunda mümkündür. Bir çizgi bir düzlem üzerinde yer alıyorsa, o zaman çizgi üzerindeki herhangi bir nokta, düzlem üzerindeki bir noktadır ve çizgi üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları, düzlemin denklemini karşılar. Bu nedenle noktanın düzlem üzerinde olup olmadığını kontrol etmek yeterlidir. Eğer öyleyse, işaret et - düzlemde yatıyor, bu da düz çizginin kendisinin düzlemde olduğu anlamına geliyor.

Eğer , a , o zaman doğru üzerindeki nokta düzlem üzerinde yer almıyor, bu da doğrunun düzleme paralel olduğu anlamına geliyor.

Teorem kanıtlandı.

Bu derste teoriyi tekrarlayacağız ve bir doğru ile bir düzlemin dikliğini gösteren teoremi kanıtlayacağız.
Dersin başında düzleme dik doğrunun tanımını hatırlayalım. Daha sonra, bir doğrunun ve bir düzlemin dikliğini gösteren teoremi ele alıp kanıtlayacağız. Bu teoremi kanıtlamak için dik açıortayın özelliğini hatırlayın.
Daha sonra bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği ile ilgili çeşitli problemleri çözeceğiz.

Konu: Doğru ve düzlemin dikliği

Ders: Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliğinin işareti

Bu derste teoriyi tekrarlayıp kanıtlayacağız Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliğinin teorem testi.

Tanım. Dümdüz A bu düzlemde yer alan herhangi bir çizgiye dik ise, α düzlemine dik olarak adlandırılır.

Bir doğru, bir düzlemde bulunan kesişen iki çizgiye dik ise, o zaman bu düzleme diktir.

Kanıt.

Bize bir α düzlemi verilsin. Bu düzlemde kesişen iki doğru var P Ve Q. Dümdüz A düz bir çizgiye dik P ve düz Q. çizgisinin olduğunu kanıtlamamız gerekiyor. Aα düzlemine diktir, yani a doğrusu α düzleminde yer alan herhangi bir doğruya diktir.

Hatırlatma.

Bunu kanıtlamak için bir doğru parçasına dik açıortayın özelliklerini hatırlamamız gerekir. Dik açıortay R segmente AB- bu, parçanın uçlarından eşit uzaklıktaki noktaların yeridir. Yani eğer amaç İLE dik ortaorta p üzerinde yatıyor, o zaman AC = BC.

Bırakın nokta HAKKINDA- çizginin kesişme noktası A ve α düzlemi (Şekil 2). Genelliği kaybetmeden, düz çizgilerin olduğunu varsayacağız. P Ve Q bir noktada kesişmek HAKKINDA. Doğrunun dikliğini kanıtlamamız gerekiyor A keyfi bir çizgiye Mα düzleminden.

Hadi noktayı çizelim HAKKINDA doğrudan ben, çizgiye paralel M. Düz bir çizgi üzerinde A bölümleri bir kenara bırakalım OA Ve doğum günü, Ve OA = doğum günü yani asıl nokta HAKKINDA- segmentin ortası AB. Direkt yapalım P.L., .

Dümdüz R düz bir çizgiye dik A(durumdan), (inşaat yoluyla). Araç, R AB. Nokta R düz bir çizgi üzerinde yatıyor R. Araç, RA = PB.

Dümdüz Q düz bir çizgiye dik A(durumdan), (inşaat yoluyla). Araç, Q- bir segmente dik açıortay AB. Nokta Q düz bir çizgi üzerinde yatıyor Q. Araç, Kalite Güvencesi =QB.

üçgenler ARQ Ve Sanal GerçeklikQüç tarafı eşit (RA = PB, Kalite Güvencesi =QB, PQ- ortak taraf). Yani açılar ARQ Ve Sanal GerçeklikQ eşittir.

üçgenler AP.L. Ve BPL açı bakımından eşit ve iki bitişik kenar (∠ ARL= ∠Sanal GerçeklikL, RA = PB, P.L.- ortak taraf). Üçgenlerin eşitliğinden şunu elde ederiz: AL =B.L..

Bir üçgen düşünün ABL.İkizkenardır çünkü AL =BL. Bir ikizkenar üçgende medyan LО aynı zamanda yüksekliktir, yani düz bir çizgidir LО dik AB.

Bunu doğru anladık A düz bir çizgiye dik ben, ve bu nedenle doğrudan M, Q.E.D.

Puanlar A, M, Çα düzlemine dik bir çizgi üzerinde yer alır ve noktalar O, V, S Ve Dα düzleminde yer alır (Şekil 3). Aşağıdaki açılardan hangisi dik açıdır?

Çözüm

Açıyı ele alalım. Dümdüz JSCα düzlemine dik ve dolayısıyla düz bir çizgi JSCçizgisi de dahil olmak üzere α düzleminde yer alan herhangi bir çizgiye dik İÇİNDE. Araç, .

Açıyı ele alalım. Dümdüz JSC düz bir çizgiye dik işletim sistemi, Araç, .

Açıyı ele alalım. Dümdüz JSC düz bir çizgiye dik HAKKINDAD, Araç, . Bir üçgen düşünün DAO. Bir üçgenin yalnızca bir dik açısı olabilir. Yani açı BARAJ- doğrudan değil.

Açıyı ele alalım. Dümdüz JSC düz bir çizgiye dik HAKKINDAD, Araç, .

Açıyı ele alalım. Bu dik üçgende bir açıdır BMO açısı olduğundan düz olamaz MOU- dümdüz.

Cevap: .

Bir üçgende ABC verilen: , AC= 6cm, Güneş= 8cm, SANTİMETRE- medyan (Şekil 4). Üst kısımdan İLE doğrudan bir çizgi çizildi SK, üçgen düzlemine dik ABC, Ve SK= 12 cm Bul KM.

Çözüm:

Uzunluğunu bulalım AB Pisagor teoremine göre: (cm).

Dik üçgenin özelliğine göre hipotenüsün orta noktası Müçgenin köşelerine eşit uzaklıkta. Yani SM = AM = VM, (santimetre).

Bir üçgen düşünün KSM. Dümdüz KS düzleme dik ABC, yani KS dik SANTİMETRE. Yani bu bir üçgen KSM- dikdörtgen. Hipotenüsü bulalım KM Pisagor teoreminden: (cm).

1. Geometri. 10-11. Sınıflar: genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı (temel ve uzmanlık seviyeleri) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. baskı, düzeltilmiş ve genişletilmiş - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: hasta.

Görevler 1, 2, 5, 6 s.57

2. Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliğini tanımlayın.

3. Küpte bir çift belirtin - bir kenar ve dik olan bir yüz.

4. Nokta İLE ikizkenar üçgen düzleminin dışında yer alır ABC ve noktalardan eşit uzaklıkta İÇİNDE Ve İLE. M- tabanın ortası Güneş. Bu çizgiyi kanıtlayın Güneş düzleme dik AKM.

Düz bir çizgi (düz bir çizginin parçası), Latin alfabesinin iki büyük harfi veya bir küçük harfiyle gösterilir. Nokta yalnızca büyük Latin harfiyle gösterilir.

Çizgiler kesişemez, kesişemez veya çakışamaz. Kesişen doğruların yalnızca bir ortak noktası vardır, kesişmeyen doğruların ortak noktası yoktur ve çakışan doğruların tüm ortak noktaları vardır.

Tanım. Dik açılarla kesişen iki doğruya dik denir. Düz çizgilerin (veya bölümlerinin) dikliği “⊥” diklik işaretiyle gösterilir.

Örneğin:

Senin AB Ve CD(Şekil 1) noktada kesişiyor HAKKINDA ve ∠ AOC = ∠VOS = ∠AOD = ∠BOİ= 90° ise AB ⊥ CD.

Eğer AB ⊥ CD(Şekil 2) ve noktada kesişiyor İÇİNDE, sonra ∠ ABC = ∠ABD= 90°

Dik çizgilerin özellikleri

1. Bir noktadan geçerek A(Şekil 3) yalnızca bir dik düz çizgi çizilebilir AB düz bir çizgiye CD; noktadan geçen kalan çizgiler A ve geçiş CD, eğimli düz çizgiler olarak adlandırılır (Şekil 3, düz çizgiler AE Ve AF).

2. Bir noktadan A dikliği düz bir çizgiye indirebilirsin CD; dikey uzunluk (segmentin uzunluğu AB), noktadan çizilmiş A direkt olarak CD, en kısa mesafedir Aönce CD(Şek. 3).

Konu: Doğru ve düzlemin dikliği

Ders: Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliğinin işareti

Bu derste teoriyi tekrarlayıp kanıtlayacağız Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliğinin teorem testi.

Tanım. Dümdüz A bu düzlemde yer alan herhangi bir çizgiye dik ise, α düzlemine dik olarak adlandırılır.

Bir doğru, bir düzlemde bulunan kesişen iki çizgiye dik ise, o zaman bu düzleme diktir.

Kanıt.

Hatırlatma.

Dümdüz R düz bir çizgiye dik A(durumdan), (inşaat yoluyla). Araç, R AB. Nokta R düz bir çizgi üzerinde yatıyor R. Araç, RA = PB.

Dümdüz Q düz bir çizgiye dik A(durumdan), (inşaat yoluyla). Araç, Q- bir segmente dik açıortay AB. Nokta Q düz bir çizgi üzerinde yatıyor Q. Araç, Kalite Güvencesi =QB.

üçgenler ARQ Ve Sanal GerçeklikQüç tarafı eşit (RA = PB, Kalite Güvencesi =QB, PQ- ortak taraf). Yani açılar ARQ Ve Sanal GerçeklikQ eşittir.

üçgenler AP.L. Ve BPL açı bakımından eşit ve iki bitişik kenar (∠ ARL= ∠Sanal GerçeklikL, RA = PB, P.L.- ortak taraf). Üçgenlerin eşitliğinden şunu elde ederiz: AL =B.L..

Bir üçgen düşünün ABL.İkizkenardır çünkü AL =BL. Bir ikizkenar üçgende medyan LО aynı zamanda yüksekliktir, yani düz bir çizgidir LО dik AB.

Bunu doğru anladık A düz bir çizgiye dik ben, ve bu nedenle doğrudan M, Q.E.D.

Puanlar A, M, Çα düzlemine dik bir çizgi üzerinde yer alır ve noktalar O, V, S Ve Dα düzleminde yer alır (Şekil 3). Aşağıdaki açılardan hangisi dik açıdır?

Çözüm

Açıyı ele alalım. Dümdüz JSCα düzlemine dik ve dolayısıyla düz bir çizgi JSCçizgisi de dahil olmak üzere α düzleminde yer alan herhangi bir çizgiye dik İÇİNDE. Araç, .

Açıyı ele alalım. Dümdüz JSC düz bir çizgiye dik işletim sistemi, Araç, .

Açıyı ele alalım. Dümdüz JSC düz bir çizgiye dik HAKKINDAD, Araç, .

Açıyı ele alalım. Bu dik üçgende bir açıdır BMO açısı olduğundan düz olamaz MOU- dümdüz.

Cevap: .

Bir üçgende ABC verilen: , AC= 6cm, Güneş= 8cm, SANTİMETRE- medyan (Şekil 4). Üst kısımdan İLE doğrudan bir çizgi çizildi SK, üçgen düzlemine dik ABC, Ve SK= 12 cm Bul KM.

Çözüm:

Uzunluğunu bulalım AB Pisagor teoremine göre: (cm).

Dik üçgenin özelliğine göre hipotenüsün orta noktası Müçgenin köşelerine eşit uzaklıkta. Yani SM = AM = VM, (santimetre).

Bir üçgen düşünün KSM. Dümdüz KS düzleme dik ABC, yani KS dik SANTİMETRE. Yani bu bir üçgen KSM- dikdörtgen. Hipotenüsü bulalım KM Pisagor teoreminden: (cm).

Görevler 1, 2, 5, 6 s.57

2. Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliğini tanımlayın.

3. Küpte bir çift belirtin - bir kenar ve dik olan bir yüz.

Doğrudan hakkında ön bilgi

Düz çizgi kavramı ve nokta kavramı geometrinin temel kavramlarıdır. Bildiğiniz gibi temel kavramlar tanımlanmamıştır. Bu, düz çizgi kavramına bir istisna değildir. Bu nedenle bu kavramın özünü, yapısı üzerinden ele alalım.

Bir cetvel alın ve kaleminizi kaldırmadan istediğiniz uzunlukta bir çizgi çizin. Ortaya çıkan çizgiye düz çizgi adını vereceğiz. Ancak burada şunu belirtmek gerekir ki bu düz çizginin tamamı değil, yalnızca bir kısmıdır. Düz çizginin kendisi her iki uçta da sonsuzdur.

Düz çizgileri küçük bir Latin harfiyle veya parantez içindeki iki noktasıyla göstereceğiz (Şekil 1).

Düz çizgi ve nokta kavramları üç geometri aksiyomu ile birbirine bağlanır:

Aksiyom 1: Her rastgele doğrunun üzerinde en az iki nokta vardır.

Aksiyom 2: Aynı doğru üzerinde yer almayan en az üç nokta bulabilirsiniz.

Aksiyom 3: Düz bir çizgi her zaman 2 rastgele noktadan geçer ve bu düz çizgi benzersizdir.

İki düz çizgi için bunların göreceli konumu önemlidir. Üç durum mümkündür:

İki düz çizgi çakışıyor. Bu durumda bir doğrunun her noktası diğer doğrunun da noktası olacaktır.
İki çizgi kesişiyor. Bu durumda bir doğrunun yalnızca bir noktası diğer doğruya da ait olacaktır.
İki doğru paraleldir. Bu durumda, bu çizgilerin her birinin birbirinden farklı kendi noktaları vardır.

Çizgilerin dikliği

İki keyfi kesişen çizgiyi düşünün. Açıkçası, kesiştikleri noktada 4 açı oluşuyor. Daha sonra

Tanım 1

Kesişmelerinin oluşturduğu en az bir açı $90^0$'a eşitse kesişen doğrulara dik diyeceğiz (Şekil 2).

Tanım: $a⊥b$.

Aşağıdaki sorunu göz önünde bulundurun:

örnek 1

Aşağıdaki şekilde 1, 2 ve 3 numaralı açıları bulun

Açı 2 bize verilen açıya göre diktir, dolayısıyla

Açı 1 açı 2'ye komşu olduğundan

$∠1=180^0-∠2=180^0-90^0=90^0$

Açı 3, açı 1'e diktir, dolayısıyla

$∠3=∠1=90^0$

Bu problemden şu yorumu yapabiliriz

Not 1

Dik çizgiler arasındaki tüm açılar 90^0$'a eşittir.

Dik doğruların temel teoremi

Aşağıdaki teoremi tanıtalım:

Teorem 1

Üçüncüye dik olan iki çizgi ayrık olacaktır.

Kanıt.

Şekil 3'e problem koşullarına göre bakalım.

Bu rakamı zihinsel olarak $(ZP)$ düz çizgisinin iki parçasına bölelim. Sağ tarafı sola koyalım. Daha sonra, $(NM)$ ve $(XY)$ doğruları $(PZ)$ doğrusuna dik olduğundan ve dolayısıyla aralarındaki açılar dik olduğundan, $NP$ ışını tamamen $ ışınının üzerine bindirilecektir. PM$ ve $XZ $ ışını tamamen $YZ$ ışınının üzerine bindirilecektir.

Şimdi bunun tersini varsayalım: Bu çizgilerin kesişmesine izin verin. Genelliği kaybetmeden, bunların sol tarafta kesiştiğini varsayalım, yani $NP$ ışınının $YZ$ ışınıyla $O$ noktasında kesişmesine izin verin. Daha sonra, yukarıda açıklanan yapıya göre, $PM$ ışınının $YZ$ ışınıyla $O"$ noktasında kesiştiğini elde edeceğiz. Ama sonra bunu iki $O$ ve $O"$ noktası aracılığıyla elde ederiz, $(NM)$ ve $(XY)$ olmak üzere iki düz çizgi vardır ve bu, 3 düz çizgi aksiyomuyla çelişir.

Bu nedenle $(NM)$ ve $(XY)$ doğruları kesişmez.

Teorem kanıtlandı.

Örnek görev

Örnek 2

Kesişme noktası olan iki doğru verilmiştir. Bunlardan hiçbirine ait olmayan bir noktadan biri yukarıda anlatılan çizgilerden birine dik, diğeri diğerine dik iki düz çizgi çizilir. Aynı olmadıklarını kanıtlayın.

Sorunun durumuna göre bir resim çizelim (Şekil 4).

Sorunun koşullarına göre elimizde $m⊥k,n⊥l$ bulunur.

Bunun tersini varsayalım, $k$ ve $l$ satırlarının çakıştığını varsayalım. Düz $l$ olsun. Daha sonra koşula göre $m⊥l$ ve $n⊥l$. Dolayısıyla Teorem 1'e göre $m$ ve $n$ doğruları kesişmez. Bir çelişki elde ettik, bu da $k$ ve $l$ satırlarının çakışmadığı anlamına geliyor.